Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
fabtor
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 226
Iscritto il: mar nov 17, 2009 3:59 pm

Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Messaggio da fabtor »

Se
  • F è il punto medio di DC
    ABCD è un trapezio isoscele con base minore AB tale che la sua superficie sia AB^2* Rad(3)
    ABF è un triangolo equilatero
Allora superficie di ABCD = 3* superficie di ABF

Dimostrarlo. ;) (Lo so questa volta è facile).
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

Info
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 377
Iscritto il: lun nov 21, 2005 1:11 pm
Contatta:

Re: Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Messaggio da Info »

l'area del trapezio e`
$A=\frac{\left\(\overline{AB}+\overline{CD}\right\)\cdot h}2$

ricavo i valori (indico con H la proiezione di F su $\overline{AB}$
$\overline{FH}=\overline{BF}\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)\\\overline{AB}=\overline{BF}$

sostituisco i valori nell'area
$A=\frac{\left\(\overline{BF}+\overline{CD}\right\)\cdot\overline{BF}\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)}2$

ricavo $\overline{CD}$ usando l'area del trapezio $A=\overline{BF}^2\cdot\sqrt{3}$

$\overline{BF}^2\cdot 2\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)=\frac{\left\(\overline{BF}+\overline{CD}\right\)\cdot\overline{BF}\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)}2$

$\overline{CD}=\frac{\overline{BF}^2\cdot 2\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)-\overline{BF}^2\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)\cdot\frac12}{\overline{BF}\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)\cdot\frac12}$

$\overline{CD}=\frac{\overline{BF}\cdot 2-\overline{BF}\cdot\frac12}{\frac12}=\overline{BF}\cdot 2\cdot\left\(2-\frac12\right\)=3\cdot\overline{BF}$

Info
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 377
Iscritto il: lun nov 21, 2005 1:11 pm
Contatta:

Re: Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Messaggio da Info »

quindi l'area del trapezio e` $A=\frac{\left\(\overline{BF}+3\cdot\overline{BF}\right\)\cdot\overline{BF}\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)}2=2\cdot\overline{BF}^2\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)$

l'area del triangolo centrale e` $\frac{\overline{FH}\cdot\overline{BF}}2=\frac12\cdot\overline{BF}^2\cdot\sin\left\(\frac{\pi}3\right\)$

quindi l'area del trapezio e`4 volte l'area del triangolo centrale

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Messaggio da Pasquale »

Se indico con x la misura di AB=AF=BF, dichiarandosi che l'area del trapezio è tripla di quella del triangolo, dovrebbe essere:

$x^2\sqrt{3} = \frac{3}{4}x^2\sqrt{3}$, cioè $1= \frac{3}{4}$, ovvero 4=3 :evil:

Invece, il rapporto fra l'area del trapezio e quella del triangolo è:

$\fs{5}\frac{x^2\sqrt{3}}{\fs{3}\frac{x^2\sqrt{3}}{4}}=\fs{6}4$ :mrgreen:
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

fabtor
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 226
Iscritto il: mar nov 17, 2009 3:59 pm

Re: Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Messaggio da fabtor »

Chiedo venia per l'errore di battitura (ho le dita troppo grosse per i tasti di questa tastiera!!!! :evil: ): l'ugualianza tra la superficie del trapezio e quella del triplo della superficie del triangolo dato vale se la prima è 3/2*AB^2rad(3) che implica a sua volta, se non erro, che 2AB = CD.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Messaggio da Pasquale »

Scusa Fab, tutto il problema è in funzione di AB (base minore del trapezio e lato del triangolo equilatero); come sia fatto il trapezio non importa; se l'area del triangolo è $\frac{AB}{4}\sqrt{3}$, quella del trapezio, per essere tripla di quella del triangolo, deve essere $3\frac{AB}{4}\sqrt{3}$.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

fabtor
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 226
Iscritto il: mar nov 17, 2009 3:59 pm

Re: Trapezio Isoscele e triangoli equilateri

Messaggio da fabtor »

Si, hai ragione Pasquale, mi sono espresso male: nel caso ora riportato la condizione di "isoscelità" del trapezio implica non solo l'identità riportata a livello di superfici, ma anche che è possibile dividere fisicamente il trapezio nei tre triangoli equilateri di cui sopra (chiamiamola implicazione strutturale), cosa che invece non è (o meglio non credo che sia) possibile per la prima versione del problema dove "l'ugualianza superficiale" era in rapporto 1/4, poiché quel trapezio era divisibile al più nel triangolo equilatero dato e in due isosceli con superficie pari a 3/2 di quella del suddetto equilatero.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

Rispondi