X=§ o x=2§?

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fabtor
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X=§ o x=2§?

Messaggio da fabtor »

Questo è una domanda che mi ha lasciato un po' perplesso, infatti la soluzione riportata dal testo è X = §, tuttavia a me pare che dovrebbe essere X = 2§. Quindi chiedo qualche lume a chiunque se ne intenda:

La misura in radianti dell'angolo acuto ECD è §.
C è il centro della circonferenza a raggio unitario.
AE e BD sono due segmenti che si tagliano in C.
BD taglia la circonferenza in F.
AB è tangente al cerchio in A.

Se 0<§<Pi/2 la condizione necessaria e sufficiente affinchè il settore circolare ECD copra la stessa superficie della figura mistilinea chiusa FBA è tg§ = X. Trovare X
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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apritisesamo
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da apritisesamo »

Magari un disegnino sarebbe utile.

fabtor
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da fabtor »

apritisesamo ha scritto:Magari un disegnino sarebbe utile.
Al momento posso aggiungere, per maggior chiarezza, che E e D giacciono sulla circonferenza di raggio unitario con centro in C.
Per il disegno, beh al momento è fuori dalla mia portata, ma credo che lo si possa dedurre senza ambiguità dal testo ora.

Ciao
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apritisesamo
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da apritisesamo »

Che E e D giacciono sulla circonferenza, era l'unica cosa che si capiva, non essendo specificato altro. Invece per mia incapacità non sono riuscito a capire dove si trovano A e B (stanno sulla circonferenza? dentro? fuori? Il testo è scritto proprio così, o è un riassunto?).
Per il disegno, se hai un programma che lo fa, lo salvi come file jpg, oppure se hai uno scanner, fai il disegno a mano su un pezzo di carta, lo scannerizzi e poi lo salvi come file jpg.
A questo punto, una volta che hai il file jpg contenente il disegno, lo carichi nel post utilizzando l'utility del sito, che si trova sotto la finestrella in cui scrivi, dove si vede: "Per caricare un'immagine: Clicca qui". L'utility ti presenta un link che tu copi e incolli nella finestra di scrittura; poi lo evidenzi e vai a cliccare sul pulsante "Img" che sta sopra la finestra; quindi clicchi sul pulsante "Anteprima" che sta sotto la finestra e ti guardi l'anteprima, per vedere il risultato prima di inviarlo. Ogni cosa in più che impari, tutto fa brodo. Ciao

----------------

Va bene, ho capito il testo, adesso disegno la figura e poi mi dici se è così.

Ecco:

Immagine

fabtor
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da fabtor »

A parte il punto T (che non era citato dal testo) per il resto va bene (l'originale è ruotato in modo che il segmento EA giaccia sulla verticale e con DB che taglia il I ed il III quadrante (conseguentemente BA è parallela al tuo BD), ma poco importa.

P.S. Non ho un programma per disegnare e ho lo scanner in riparazione, per questo ho scritto quel "Al momento". ;).
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da Info »

i triangoli CAB e CDT sono uguali avendo un lato (il raggio) e due angoli (la tangente sempre perpendicolare al raggio e l'angolo interno $\xi$)

l'esercizio chiede quindi di trovare l'angolo $\xi$ per cui $2\cdot\A_{CDE}=2\cdot\A_{TDE}=\cdot\A_{CDT}$

$A_{ECD}=2\cdot\xi\cdot \overline{CD}^2$

$\tan\(\xi\)=\frac{\overline{TD}}{\overline{CD}}\;\rightarrow\;\overline{TD}=\tan\(\xi\)\cdot\overline{CD}$

$A_{TCD}=\frac{\overline{TD}\cdot\overline{CD}}{2}=\frac12\cdot \tan\(\xi\)\cdot\overline{CD}^2$

sostituisco all'area TCD 2 volte l'area ECD

$2\cdot 2\cdot\xi\cdot \overline{CD}^2=\frac12\cdot \tan\(\xi\)\cdot\overline{CD}^2$

$\xi=\frac18\cdot \tan\(\xi\)$

fabtor
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da fabtor »

Mmmh, ma l'area del settore circolare CDE non è A(CDE)= CD^2*(§/2)? :? :?:

Scrivo quella che era la mia idea di soluzione per maggior chiarezza:

Area del triangolo ABC = (AB*CA)/2 = (CA*CA*tg§)/2 = [(CA^2)*(tg§)]/2 con CA=1 si ha quindi:

Area del triangolo ABC = (1/2)*(tg§)

Area del settore circolare CDE = CD^2*(§/2) con CD = 1 si ha quindi:

Area del settore circolare CDE = §/2

Dal disegno si osserva che:

Area della figura mistilinea ABF = Area del triangolo ABC - Area del settore circolare CDE =
= (1/2)*(tg§) - §/2


Il problema impone che: Area della figura mistilinea ABF = Area del settore circolare CDE quindi:

(1/2)*(tg§) - §/2 = §/2 da cui:

(1/2)*(tg§) = 2*(§/2)
(1/2)*(tg§) = §
tg§ = 2*§
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da Info »

errore mio...

$A_{ECD}=\frac12\cdot\xi\cdot \overline{CD}^2$

sostituisco all'area TCD 2 volte l'area corretta di ECD

$2\cdot\frac12\cdot\xi\cdot \overline{CD}^2=\frac12\cdot \tan\(\xi\)\cdot\overline{CD}^2$

$\tan\(\xi\)=2\cdot \xi$
adesso ci siamo ;-)

apritisesamo
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da apritisesamo »

Se 0<§<Pi/2 la condizione necessaria e sufficiente affinchè il settore circolare ECD copra la stessa superficie della figura mistilinea chiusa FBA è tg§ = X. Trovare X
Posto che l'angolo § non avrebbe mai potuto essere uguale alla tangente, se non per §=0, quando cioè la figura mistilinea non esiste, dal testo ho capito una cosa diversa, cioè che il settore circolare CDE=CAF deve "graficamente" coprire la figura ABF=DET.

In tal senso, mi sembra che il problema abbia infinite soluzioni per 0 < X <= 1, in corrispondenza di 0 < § <= pi/4

Infatti, facendo riferimento alla figura che segue, in cui DT=AB, tracciata la perpendicolare AH a BC, di dimostra che il triangolo ABH, contenente la figura ABF, è simile al triangolo ABC e quindi allo stesso sovrapponibile, previa rotazione ed eventuale capovolgimento, facendo coincidere A con C (praticamente, si può tagliare ABH con le forbici e giocarci).
Se AB>AC, la figura ABF non entra tutta nel settore CAF=CDE, mentre vi entra per intero se AB<=AC, ove AB=AC quando §=pi/4=45° e dunque X=1.

Immagine

Ciao

panurgo
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da panurgo »

Per quel che riesco a capire, dato che i due triangoli sono congruenti il problema richiede di trovare l'angolo in $\text C$ per cui un triangolo rettangolo in $\text B$ è diviso a metà dall'arco circolare di raggio $\text BC$ centrato in $\text C$

Immagine

cioè $\frac{r\times r\tan\gamma}2\/=\/2\frac{r^{\script 2}\gamma}2\qquad\Longrightarrow\qquad \tan\gamma\/=\/2\gamma\qquad\Longrightarrow\qquad\gamma\/\approx\/66,7818^{\circ}$

P.S.: per disegnare, GeoGebra...
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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fabtor
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da fabtor »

Panurgo, siccome nonostante tutto ho ancora qualche problema con le equazioni trigonometriche, mi chiedevo se puoi esplicitarmi (magari anche in pm per non sporcare troppo il thread) come hai calcolato la soluzione § =67,78,18.

Io sono solo riuscito a verificarla con excel :oops:
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panurgo
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da panurgo »

Avrei dovuto scrivere $\gamma\/\approx\/66^{\circ}\/46'\/54"$... :wink:
il panurgo

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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da fabtor »

panurgo ha scritto:Avrei dovuto scrivere $\gamma\/\approx\/66^{\circ}\/46'\/54"$... :wink:
Beh, poco mi cambia: il mio non è un problema di conversione da base decimale a base sessaggesimale... Purtroppo è proprio un problema di essere mooolto arruginito con le equazioni trigonometriche o con quelle inverse... (lo so sono molto ignorante :oops: :oops: :oops: )
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Pasquale
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da Pasquale »

Potresti trovare il risultato in radianti, facendo girare il seguente programmino di calcolo, scritto per Decimal Basic:


PRINT "Attribuisci all'angolo § il valore corrispondente alla minore differenza fra tng§ e 2§ :"
PRINT
PRINT


LET i=1/1000000
LET b=PI/2-i
FOR a=1 TO b STEP i
LET x=TAN(a)
LET y=ABS(x-2*a)
IF y<=0.00001 THEN
LET p=INT(1000000*a)/1000000
LET p$=STR$(p)
LET lu=LEN(p$)
IF lu<8 THEN
FOR m=1 TO 8-lu
LET p$=p$&"0"
NEXT M
END IF
LET q=INT(x*1000000)/1000000
LET q$=STR$(q)
LET lu=LEN(q$)
IF lu<8 THEN
FOR m=1 TO 8-lu
LET q$=q$&"0"
NEXT M
END IF
LET r=INT(2*a*1000000)/1000000
LET r$=STR$(r)
LET lu=LEN(r$)
IF lu<8 THEN
FOR m=1 TO 8-lu
LET r$=r$&"0"
NEXT M
END IF
PRINT "§=";p$;" 2§=";r$;" tng§=";q$;" Diff. fra tng§ e 2§ =";ABS(q-r)
END IF
NEXT A

Il programma è stato affinato, dopo qualche prova, per velocizzarlo e non farti perdere tempo, ma se vuoi al posto di “FOR a=1 TO….” puoi scrivere “FOR a=0 TO….”.
Vengono fuori 5 risultati (chiaramente approssimativi), fra i quali scegli quello meno approssimato:

1,165561 da cui:

1,165561*180/PI = 66°,781726 = 66°46',90356 = 66°46' 54",2136....



In alternativa, per utilizzare la funzione arcotangente, è sufficiente apportare al programma una piccola modifica (cambiano la 4^ e 5^ riga e l'attribuzione del valore alla variabile "q"; quindi vengono fuori più risultati, fra cui scegliere quello più preciso, ovvero lo stesso di prima):


LET i=1/1000000
LET b=PI/2-i
FOR a=1 TO b STEP i
LET x=ATN(2*a)
LET y=ABS(a-x)
IF y<=0.00001 THEN
LET p=INT(1000000*a)/1000000
LET p$=STR$(p)
LET lu=LEN(p$)
IF lu<8 THEN
FOR m=1 TO 8-lu
LET p$=p$&"0"
next M
END IF
LET q=INT(TAN(a)*1000000)/1000000
LET q$=STR$(q)
LET lu=LEN(q$)
IF lu<8 THEN
FOR m=1 TO 8-lu
LET q$=q$&"0"
next M
END IF
LET r=INT(2*a*1000000)/1000000
LET r$=STR$(r)
LET lu=LEN(r$)
IF lu<8 THEN
FOR m=1 TO 8-lu
LET r$=r$&"0"
next M
end if
PRINT "§=";p$;" 2§=";r$;" tng§=";q$;" Diff. fra tng§ e 2§ =";ABS(q-r)
END IF

NEXT A


In riferimento a come Panurgo giunge alla soluzione, devo aggiungere che, come suole dirsi, "più semplice di così si muore" $\red \fs{6}(\text {semplicemente meraviglioso})$: $\text \tan\gamma=2\gamma --> \gamma=\arctan(2\gamma)$
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

fabtor
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Re: X=§ o x=2§?

Messaggio da fabtor »

Provo ad essere più chiaro.

Studiando la Funzione tgx = 2x (sfruttando il procedimento delle derivate e fermandomi al primo quadrante) sono riuscito a determinare che la funzione ha un minimo a pi.greco/4 con f(pi.greco/4) < 0 e poichè a pi.greco/2 f(x) va a +inf ho dimostrato l'esistenza di un intersezione tra f(x) e " l'asse x" nell'intervallo pi.greco/4 < x < pi.greco/2 oltre alla soluzione banale x = 0.

Tuttavia non sono riuscito ad andare oltre se non per tentativi e solo restringendo l'intervallo in cui deve cadere la x che mi verifica l'ugualianza data.
Mi chiedevo quindi se è possibile e come procedere analiticamente per giungere al valore determinato da Panurgo, ma "in funzione di pi.greco".
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