Consecutivi

[apritisesamo]

Trovare 3 interi consecutivi, di cui il primo multiplo del quadrato di un primo, il secondo multiplo del cubo di un primo ed il terzo multiplo della quarta potenza di un primo.

[panurgo]

Con la forza bruta:

$\left(350,351,352\right) \\ \left(1375,1376,1377\right) \\ \left(11150,11151,11152\right) \\ \left(13374,13375,13376\right) \\ \left(17575,17576,17577\right) \\ \left(21950,21951,21952\right) \\ \vdots$

[panurgo]

Due considerazioni al volo (volanti, volatili?)...

$\left.1\right)$ non è necessario che i tre numeri di partenza siano primi: con $\left(5,6,7\right)$ otteniamo la tripla $\left(8588375,8588376,8588377\right)$; è necessario che i tre numeri di partenza siano primi tra di loro: infatti, se

$\left\{\begin{array}{lC+40} k_{\script 1}\/\left(q\/p_{\script 1}\right)^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/\left(q\/p_{\script 2}\right)^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \end{array}\right.$

cioè

$\left\{ \begin{array}{lC+40} k_{\script 1}\/q^{\script 2}\/\left(p_{\script 1}\right)^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/q^{\script 2}\/\left(q\/p_{\script 2}^{\script 3}\right)\/=\/n\/+\/1 \end{array}\right.$

allora $q^{\script 2}$ deve dividere sia $n$ sia $n\/+\/1$ cosa che implica $q\/=\/1$. Lo stesso vale, mutatis mutandis, per $p_{\script 2}$ e $p_{\script 3}$.

$\left.2\right)$ Quando troviamo una terna di numeri che soddisfa alle condizioni poste allora ne troviamo un'infinità in progressione aritmetica perché se

$\left\{\begin{array}{lC+40} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \\ k_{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right.$

allora anche


$\left\{\begin{array}{lC+40} \left(m\/p_{\script 2}^{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/+\/k_{\script 1}\right)\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/N_{\script m}\/+\/n \\ \left(m\/p_{\script 1}^{\script 2}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/+\/k_{\script 2}\right)\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/N_{\script m}\/+\/n\/+\/1 \\ \left(m\/p_{\script 1}^{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/+\/k_{\script 3}\right)\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/N_{\script m}\/+\/n\/+\/2 \end{array}\right.$

con $N_{\script m}\/=\/m\/p_{\script 1}^{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}$

[Pasquale]

Ho provato anch'io a giocare in modo brutale; tutte le terne trovate sono composte da multipli di potenze seconde, terze e quarte di numeri primi, come da esempio:


350 = 2*5*5*7
351 = 3*3*3*13
352 = 2*2*2*2*2*11

1375 = 5*5*5*11
1376 = 2*2*2*2*2*43
1377 = 3*3*3*3*17

2023 = 7*17*17
2024 = 2*2*2*11*23
2025 = 3*3*3*3*5*5

11150 = 2*5*5*223
11151 = 3*3*3*7*59
11152 = 2*2*2*2*17*41

11374 = 2*11*11*47
11375 = 5*5*5*7*13
11376 = 2*2*2*2*3*3*79

12446 = 2*7*7*127
12447 = 3*3*3*461
12448 = 2*2*2*2*2*389

13310 = 2*5*11*11*11
13311 = 3*3*3*17*29
13312 = 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*13

13374 = 2*3*3*743
13375 = 5*5*5*107
13376 = 2*2*2*2*2*2*11*19

15631 = 7*7*11*29
15632 = 2*2*2*2*977
15633 = 3*3*3*3*193

17575 = 5*5*19*37
17576 = 2*2*2*13*13*13
17577 = 3*3*3*3*7*31

19550 = 2*5*5*17*23
19551 = 3*7*7*7*19
19552 = 2*2*2*2*2*13*47

21248 = 2*2*2*2*2*2*2*2*83
21249 = 3*3*3*787
21250 = 2*5*5*5*5*17

21463 = 13*13*127
21464 = 2*2*2*2683
21465 = 3*3*3*3*5*53


21950 = 2*5*5*439
21951 = 3*3*3*3*271
21952 = 2*2*2*2*2*2*7*7*7

22382 = 2*19*19*31
22383 = 3*3*3*829
22384 = 2*2*2*2*1399

25038 = 2*3*3*13*107
25039 = 7*7*7*73
25040 = 2*2*2*2*5*313

25623 = 3*3*3*13*73
25624 = 2*2*2*3203
25625 = 5*5*5*5*41

26702 = 2*13*13*79
26703 = 3*3*3*23*43
26704 = 2*2*2*2*1669

27950 = 2*5*5*13*43
27951 = 3*7*11*11*11
27952 = 2*2*2*2*1747

29790 = 2*3*3*5*331
29791 = 31*31*31
29792 = 2*2*2*2*2*7*7*19

29887 = 11*11*13*19
29888 = 2*2*2*2*2*2*467
29889 = 3*3*3*3*3*3*41

.
.
.
.
.

100009646 = 2*11*11*413263
100009647 = 3*3*3*3*1234687
100009648 = 2*2*2*2*643*9721
.
.
.
.

100000001150 = 2*5*5*7*7*107*381461
100000001151 = 3*3*23*23*23*913217
100000001152 = 2*2*2*2*2*2*2*1489*524681

100000001374 = 2*7*13*17*17*347*5479
100000001375 = 5*5*5*800000011
100000001376 = 2*2*2*2*2*3*3*11*31*1018247
.
.
.

[Pasquale]

...e se volessimo ampliare la ricerca a quartine di consecutivi, con il quarto numero multiplo di una quinta potenza?

In questo caso, bisogna cercare fra numeri più alti, ove si possono trovare distanze più ampie fra un primo ed il successivo e quindi sequenze di numeri consecutivi più lunghe, fra le quali aumenta la probabilità di trovare una delle quartine che interessano.

E' possibile trovare la prima quartina valida oltre i 3 milioni:


3531869 = 11*11*17*17*101
3531870 = 2*3*3*3*5*103*127
3531871 = 7*7*7*7*1471
3531872 = 2*2*2*2*2*19*37*157

3649373 = 7*7*13*17*337
3649374 = 2*3*3*3*3*3*3*2503
3649375 = 5*5*5*5*5839
3649376 = 2*2*2*2*2*114043

4734366 = 2*3*7*13*13*23*29
4734367 = 11*11*11*3557
4734368 = 2*2*2*2*2*147949
4734369 = 3*3*3*3*3*19483

Quale sarà la prima cinquina di consecutivi, in cui il quinto numero è un multiplo di una sesta potenza?

[panurgo]

Trovare 3 interi consecutivi, di cui il primo multiplo del quadrato di un primo, il secondo multiplo del cubo di un primo ed il terzo multiplo della quarta potenza di un primo.

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \\ k_{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right.$

Per prima cosa, dalla soluzione di questo sistema di equazioni possiamo ottenere quella di infiniti altri con i coefficienti in progressione aritmetica. Infatti, posto $N\/=\/p_{\script 1}^{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}$, abbiamo

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \\ k_{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right. \qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{lC+30} \left(m\/p_{\script 2}^{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/+\/k_{\script 1}\right)\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/\left(m\/N\/+\/n\right) \\ \left(m\/p_{\script 1}^{\script 2}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/+\/k_{\script 2}\right)\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/\left(m\/N\/+\/n\right)\/+\/1 \\ \left(m\/p_{\script 1}^{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/+\/k_{\script 3}\right)\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/\left(m\/N\/+\/n\right)\/+\/2 \end{array}\right.$

Questo ci consente di limitarci ai soli coefficienti per cui $0\/<\/k_{\script i}\/<\/p_{\script j}^{\script j+1}\/p_{\script k}^{\script k+1}\/<\/N$.
Inoltre, non è necessario che i tre $p_{\script i}$ siano primi ma è necessario che siano primi tra loro: sia $q_{\script ij}\/=\/\left(p_{\script i},\/p_{\script j}\right)$ il massimo comun divisore di $p_{\script i}$ e $p_{\script j}$ allora, per esempio

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \end{array}\right. \qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{lC+30} q_{\script 12}^{\script 2}\/k_{\script 1}\/\left(p'_{\script 1}\right)^{\script 2}\/=\/n \\ q_{\script 12}^{\script 2}\/k_{\script 2}\/q_{\script 12}\/\left(p'_{\script 2}\right)^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \end{array}\right.$

cioè $q_{\script 12}^{\script 2}$ divide sia $n$ sia $n\/+\/1$ e dal fatto che $\left(n,n\/+\/1\right)\/=\/1$ (cfr. la dimostrazione di Euclide dell’infinità dei numeri primi) segue $q_{\script 12}\/=\/1$ mentre per

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right. \qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{lC+30} q_{\script 13}^{\script 2}\/k_{\script 1}\/\left(p'_{\script 1}\right)^{\script 2}\/=\/n \\ q_{\script 13}^{\script 2}\/k_{\script 3}\/q_{\script 13}^{\script 2}\/\left(p'_{\script 3}\right)^{\script 4}\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right.$

cioè $q_{\script 13}^{\script 2}$ divide sia $n$ sia $n\/+\/2$ e dal fatto che, per $n$ dispari, $\left(n,n\/+\/2\right)\/=\/1$, segue $q_{\script 13}\/=\/1$ mentre per $n$ pari, $\left(n,n\/+\/2\right)\/=\/2$ (due numeri pari consecutivi sono entrambi divisibili per $2$ $-$ sono pari! $-$ ma non per $4$), ma $q_{\script 13}^{\script 2}\/\neq\/2$ quindi, di nuovo, $q_{\script 13}\/=\/1$.
Ne consegue che dalla

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \\ k_{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right.$

segue la condizione $\compose{\LARGE \text O}{\normalsize 1}$

$\left(p_{\script 1},\/p_{\script 2}\right)\/=\/\left(p_{\script 1},\/p_{\script 3}\right)\/=\/\left(p_{\script 2},\/p_{\script 3}\right)\/=\/1$

La condizione $\compose{\LARGE \text O}{\normalsize 1}$ è chiaramente soddisfatta se i $p_{\script i}$ sono tre numeri primi diversi.

Ora possiamo rovesciare la domanda: dati i tre numeri $P\/\equiv\/\left\{p_{\script 1},\/p_{\script 2},\/p_{\script 3}\right\}$ primi tra loro (condizione $\compose{\LARGE \text O}{\normalsize 1}$) trovare tre numeri $K\/\equiv\/\left\{k_{\script 1},\/k_{\script 2},\/k_{\script 3}\right\}$ tali che

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 2}\/p_{\script 2}^{\script 3}\/=\/n\/+\/1 \\ k_{\script 3}\/p_{\script 3}^{\script 4}\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right.$

E, per prima cosa, dimostrare che per ogni terna $P$ esiste una terna $K$ che soddisfa il sistema.

Semplifichiamo la notazione ponendo

$\left\{\begin{array}{lC+30} a\/=\/p_{\script 1}^{\script 2} \\ b\/=\/p_{\script 2}^{\script 3} \\ c\/=\/p_{\script 3}^{\script 4} \end{array}\right.$

dalla

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/a\/=\/n \\ k_{\script 2}\/b\/=\/n\/+\/1 \\ k_{\script 3}\/c\/=\/n\/+\/2 \end{array}\right.$

segue che $k_{\script 2}\/b\/\equiv\/1\,\left({\text mod}\; a\right)$. La congruenza è valida per infiniti valori di $k_{\script 2}$ e chiamiamo $r$ il più piccolo naturale che la soddisfa: a tale numero corrisponde $r'$, il coefficiente di $a$ nell’equazione

$r\/b\/-\/r'\/a\/=\/1$

Tali coefficienti esistono sempre per qualunque valore al secondo membro perchè se due numeri sono primi tra di loro (cioè non hanno fattori primi comuni) anche le loro potenze lo sono quindi $\left(a,\/b\right)\/=\/1$.
Chiameremo altresì $s$ il più piccolo naturale che soddisfa la congruenza $k_{\script 3}\/c\/\equiv\/2\,\left({\text mod}\; a\right)$ e $s'$ il coefficiente di $a$ nell’equazione

$s\/c\/-\/s'\/a\/=\/2$

I valori per i quali le due congruenze sono valide sono quindi

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 2}\/=\/r\/+\/a\/x \\ k_{\script 3}\/=\/s\/+\/a\/y \end{array}\right.$

e abbiamo

$\left(r\/+\/a\/x\right)\/b\/-\/1\/=\/\left(s\/+\/a\/y\right)\/c\/-\/2$

Poiché $r\/b\/-\/1\/=\/r'\/a$ e $s\/c\/-\/2\/=\/s'\/a$ possiamo scrivere

$r'\/a\/+\/a\/b\/x\/=\/s'\/a\/+\/a\/c\/y$

da cui segue

$b\/x\/-\/c\/y\/=\/s'\/-\/r'$

Anche $x$ e $y$ esistono sicuramente perché $\left(b,\/c\right)\/=\/1$: con ciò è dimostrato che la condizione $\compose{\LARGE \text O}{\normalsize 1}$ è necessaria e sufficiente per l’esistenza della terna $K$.

La dimostrazione precedente ci fornisce altresì un algoritmo per trovare la terna $K$ data la terna $P$.

${\text Step}\, 1.$ Calcoliamo $\left\{a,\/b,\/c\right\}$ e determiniamo quale dei tre è il minore: ciò perché i valori che si debbono esplorare sono tutti minori del modulo della congruenza quindi è conveniente scegliere il minore dei tre.

${\text Step}\, 2.$ Troviamo $r$ e $s$ tali da soddisfare le opportune congruenze e i corrispondenti $r'$ e $s'$.

${\text Step}\, 3.$ Risolviamo l’equazione $b\/x\/-\/c\/y\/=\/s'\/-\/r'$ (o $a\/x\/-\/c\/y\/=\/s'\/-\/r'$ o $a\/x\/-\/b\/y\/=\/s'\/-\/r'$, come è ovvio).

${\text Step}\, 4.$ Con $x$ e $y$ calcoliamo i valori dei due coefficienti coinvolti nelle congruenze e troviamo il terzo calcolandolo all’indietro dal terzo numero, $n$, $n\/+\/1$ o $n\/+\/2$: i coefficienti ricercati sono $k_{\script i}\/=\/k'_{\script i}\;{\text mod}\;p_{\script j}^{\script j+1}\/p_{\script k}^{\script k+1}$.

Per esempio, consideriamo la terna $P\/\equiv\/\left\{5,\/3,\/2\right\}$ cui corrisponde $\left\{25,\/27,\/16\right\}$. Le congruenze da sfruttare sono

$\begin{array}{l150C} \left\{\begin{array}{lC+30} 25\/k_{\script 1}\/\equiv\/-2 \\ 27\/k_{\script 2}\/\equiv\/-1 \end{array}\right. & \left({\text mod}\;16\right) \end{array}$

La prima equazione è $25\/r\/-\/16\/r'\/=\/-\/2$: applichiamo l’algoritmo di Euclide per il minimo comune multiplo

$\left\{\begin{array}{lC+30} 25\/=\/1\/\times\/16\/+\/9 \\ 16\/=\/1\/\times\/9\/+\/7 \\ 9\/=\/1\/\times\/7\/+\/2 \\ 7\/=\/3\/\times\/2\/+\/1 \end{array}\right.$

riscriviamo il tutto come

$\left\{\begin{array}{lC+30} 9\/=\/25\/-\/1\/\times\/16 \\ 7\/=\/16\/-\/1\/\times\/9 \\ 2\/=\/9\/-\/1\/\times\/7 \\ 1\/=\/7\/-\/3\/\times\/2 \end{array}\right.$

sostituiamo all’indietro

$\left\{\begin{array}{lC+30} 1\/=\/7\/-\/3\/\times\/\left(9\/-\/1\/\times\/7\right)\/ =\/4\/\times\/7\/-\/3\/\times\/9 \\ 1\/=\/4\/\times\/\left(16\/-\/1\/\times\/9\right)\/-\/3\/\times\/9\/ =\/4\/\times\/16\/-\/7\/\times\/9 \\ 1\/=\/4\/\times\/16\/-\/7\/\times\/\left(25\/-\/1\/\times\/16\right)\/ =\/11\/\times\/16\/-\/7\/\times\/25 \end{array}\right.$

e moltiplichiamo per $-\/2$ ottenendo $25\/\times\/\left(14\right)\/-\/16\/\times\/\left(22\right)\/=\/-\/2$ cioè $r\/=\/14$ e $r'\/=\/22$.

La seconda equazione è $27\/s\/-\/16\/s'\/=\/-\/1$.
Procediamo come prima

$\left\{\begin{array}{l+200C+30} 27\/=\/1\/\times\/16\/+\/11 & 11\/=\/27\/-\/1\/\times\/16 \\ 16\/=\/1\/\times\/11\/+\/5 & 5\/=\/16\/-\/1\/\times\/11 \\ 11\/=\/2\/\times\/5\/+\/1 & 1\/=\/11\/-\/2\/\times\/5 \end{array}\right.$

sostituiamo all’indietro

$\left\{\begin{array}{lC+30} 1\/=\/11\/-\/2\/\times\/\left(16\/-\/1\/\times\/11\right)\/ =\/3\/\times\/11\/-\/2\/\times\/16 \\ 1\/=\/3\/\times\/\left(27\/-\/1\/\times\/16\right)\/-\/2\/\times\/16\/ =\/3\/\times\/27\/-\/5\/\times\/11 \end{array}\right.$

e moltiplichiamo per $-\/1$ ottenendo $27\/\times\/\left(-\/3\right)\/-\/16\/\times\/\left(-\/5\right)\/=\/27\/\times\/\left(13\right)\/-\/16\/\times\/\left(22\right)\/=\/-\/1$ cioè $s\/=\/13$ e $s'\/=\/22$.

La terza equazione è $25\/x\/-\/27\/y\/=\/22\/-\/22\/=\/0$ che vediamo subito essere soddisfatta per i valori $x\/=\/0$ e $y\/=\/0$:

$\left\{\begin{array}{l+60C+30} 5 & 25 & 14 & 350 \\ 3 & 27 & 13 & 351 \\ 2 & 16 & 22 & 352 \end{array}\right.$

Consideriamo ora un caso un po’ più complesso: $P\/\equiv\/\left\{7,\/5,\/3\right\}\qquad\Longrightarrow\qquad \left\{49,\/125,\/81\right\}$.
Congruenze

$\begin{array}{l150C} \left\{\begin{array}{lC+30} 125\/k_{\script 2}\/\equiv\/1 \\ 81\/k_{\script 3}\/\equiv\/2 \end{array}\right. & \left({\text mod}\;49\right) \end{array}$

Prima equazione

$125\/r\/-\/49\/r'\/=\/1$

Euclide

$\left\{\begin{array}{l+200C+30} 125\/=\/2\/\times\/49\/+\/27 & 27\/=\/125\/-\/2\/\times\/49 \\ 49\/=\/1\/\times\/27\/+\/22 & 22\/=\/49\/-\/1\/\times\/27 \\ 27\/=\/1\/\times\/22\/+\/5 & 5\/=\/27\/-\/1\/\times\/22 \\ 22\/=\/4\/\times\/5\/+\/2 & 2\/=\/22\/-\/4\/\times\/5 \\ 5\/=\/2\/\times\/2\/+\/1 & 1\/=\/5\/-\/2\/\times\/2 \end{array}\right.$

Sostituzione all’indietro

$\left\{\begin{array}{lC+30} 1\/=\/5\/-\/2\/\times\/\left(22\/-\/4\/\times\/5\right)\/ =\/9\/\times\/5\/-\/2\/\times\/22 \\ 1\/=\/9\/\times\/\left(27\/-\/1\/\times\/22\right)\/-\/2\/\times\/22\/ =\/9\/\times\/27\/-\/11\/\times\/22 \\ 1\/=\/9\/\times\/27\/-\/11\/\times\/\left(49\/-\/1\/\times\/27\right)\/ =\/20\/\times\/27\/-\/11\/\times\/49 \\ 1\/=\/20\/\times\/\left(125\/-\/2\/\times\/49\right)\/-\/11\/\times\/49\/ =\/20\/\times\/125\/-\/51\/\times\/49 \end{array}\right.$

Moltiplicazione per $1$

$125\/\times\/\left(20\right)\/-\/49\/\times\/\left(51\right)\/=\/1\qquad\Longrightarrow\qquad r\/=\/20,\/r'\/=\/51$.

Seconda equazione

$81\/s\/-\/49\/s'\/=\/2$

Euclide

$\left\{\begin{array}{l+200C+30} 81\/=\/1\/\times\/49\/+\/32 & 32\/=\/81\/-\/1\/\times\/49 \\ 49\/=\/1\/\times\/32\/+\/17 & 17\/=\/49\/-\/1\/\times\/32 \\ 32\/=\/1\/\times\/17\/+\/15 & 15\/=\/32\/-\/1\/\times\/17 \\ 17\/=\/1\/\times\/15\/+\/2 & 2\/=\/17\/-\/1\/\times\/15 \\ 15\/=\/7\/\times\/2\/+\/1 & 1\/=\/15\/-\/7\/\times\/2 \end{array}\right.$

Sostituzione all’indietro

$\left\{\begin{array}{lC+30} 1\/=\/15\/-\/7\/\times\/\left(17\/-\/1\/\times\/15\right)\/ =\/8\/\times\/15\/-\/7\/\times\/17 \\ 1\/=\/8\/\times\/\left(32\/-\/1\/\times\/17\right)\/-\/7\/\times\/17\/ =\/8\/\times\/32\/-\/15\/\times\/17 \\ 1\/=\/8\/\times\/32\/-\/15\/\times\/\left(49\/-\/1\/\times\/32\right)\/ =\/23\/\times\/32\/-\/15\/\times\/49 \\ 1\/=\/23\/\times\/\left(81\/-\/1\/\times\/49\right)\/-\/15\/\times\/49\/ =\/23\/\times\/81\/-\/38\/\times\/49 \end{array}\right.$

Moltiplicazione per $2$

$81\/\times\/\left(46\right)\/-\/49\/\times\/\left(76\right)\/=\/2\qquad\Longrightarrow\qquad s\/=\/46,\/s'\/=\/76$.

Terza equazione

$125\/x\/-\/81\/y\/=\/76\/-\/51\/=\/25$

Euclide

$\left\{\begin{array}{l+200C+30} 125\/=\/1\/\times\/81\/+\/44 & 44\/=\/125\/-\/1\/\times\/81 \\ 81\/=\/1\/\times\/44\/+\/37 & 37\/=\/81\/-\/1\/\times\/44 \\ 44\/=\/1\/\times\/37\/+\/7 & 7\/=\/44\/-\/1\/\times\/37 \\ 37\/=\/5\/\times\/7\/+\/2 & 2\/=\/37\/-\/5\/\times\/7 \\ 7\/=\/3\/\times\/2\/+\/1 & 1\/=\/7\/-\/3\/\times\/2 \end{array}\right.$

Sostituzione all’indietro

$\left\{\begin{array}{lC+30} 1\/=\/7\/-\/3\/\times\/\left(37\/-\/5\/\times\/7\right)\/ =\/16\/\times\/7\/-\/3\/\times\/37 \\ 1\/=\/16\/\times\/\left(44\/-\/1\/\times\/37\right)\/-\/3\/\times\/37\/ =\/16\/\times\/44\/-\/19\/\times\/37 \\ 1\/=\/16\/\times\/44\/-\/19\/\times\/\left(81\/-\/1\/\times\/44\right)\/ =\/35\/\times\/44\/-\/19\/\times\/81 \\ 1\/=\/35\/\times\/\left(125\/-\/1\/\times\/81\right)\/-\/19\/\times\/81\/ =\/35\/\times\/125\/-\/54\/\times\/81 \end{array}\right.$

Moltiplicazione per $25$

$125\/\times\/\left(875\right)\/-\/81\/\times\/\left(1350\right)\/=\/25\qquad\Longrightarrow\qquad x\/=\/875,\/y\/=\/1350$.

I coefficienti sono

$\left\{\begin{array}{lC45C+30} k'_{\script 1}\/=\/\frac {125\times 42895 - 1} {49}\/=\/\frac {81\times 66196 - 2} {49}\/=\/109426 \\ k'_{\script 2}\/=\/20\/+\/49\/\times\/875\/=\/42895 \\ k'_{\script 3}\/=\/46\/+\/49\/\times\/1350\/=\/66196 \end{array}\right. \qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/=\/ k'_{\script 1}\;{\text mod}\;125\/\times\/81\/=\/8176 \\ k_{\script 2}\/=\/ k'_{\script 2}\;{\text mod}\;49\/\times\/81\/=\/3205 \\ k_{\script 3}\/=\/ k'_{\script 3}\;{\text mod}\;49\/\times\/125\/=\/4946 \end{array}\right.$

e quindi

$\left\{\begin{array}{l+60C+30} 7 & 49 & 8176 & 400624 \\ 5 & 125 & 3205 & 400625 \\ 3 & 81 & 4946 & 400626 \end{array}\right.$

Ancora qualche considerazione. Le terne di primi diversi sono un sottoinsieme delle terne di interi primi tra loro quindi questo mio scritto risponde alla domanda di apritisesamo: poiché maneggiare gli interi è molto più facile che maneggiare i numeri primi ho preferito risolvere il caso più generale; l’algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore è estremamente efficiente ed è tuttora quello usato.

Per quel che riguarda le proposte di Pasquale confido che questa mia dimostrazione, opportunamente modificata, sia sufficiente anche per il caso della quartina: per il caso della cinquina prevedo difficoltà legate al fatto che

$\left\{\begin{array}{lC+30} k_{\script 1}\/p_{\script 1}^{\script 2}\/=\/n \\ k_{\script 5}\/p_{\script 5}^{\script 6}\/=\/n\/+\/4 \end{array}\right. \qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{lC+30} q_{\script 15}^{\script 2}\/k_{\script 1}\/\left(p'_{\script 1}\right)^{\script 2}\/=\/n \\ q_{\script 15}^{\script 2}\/k_{\script 5}\/q_{\script 15}^{\script 4}\/\left(p'_{\script 5}\right)^{\script 6}\/=\/n\/+\/4 \end{array}\right.$

consente che sia $q_{\script 15}^{\script 2}\/=\/4 \qquad\Longrightarrow\qquad q_{\script 15}\/=\/2$ e i numeri generatori non devono più necessariamente essere primi fra loro.

Un’ultima chicca: dalla terna $P\/\equiv\/\left\{1,\/1,\/1\right\}$ per la quale vale ovviamente la condizione $\compose{\LARGE \text O}{\normalsize 1}$ è una terna valida con

$\left\{\begin{array}{l+60C+30} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right.$

[panurgo]

Forse la mia dimostrazione non è molto chiara in questo punto

La congruenza è valida per infiniti valori di $k_{\script 2}$ e chiamiamo $r$ il più piccolo naturale che la soddisfa: a tale numero corrisponde $r'$, il coefficiente di $a$ nell’equazione

$r\/b\/-\/r'\/a\/=\/1$

Tali coefficienti esistono sempre per qualunque valore al secondo membro perchè se due numeri sono primi tra di loro (cioè non hanno fattori primi comuni) anche le loro potenze lo sono quindi $\left(a,\/b\right)\/=\/1$.

Questa affermazione è una conseguenza del teorema di Bézout: dati $a,\/b$ interi essendo $\left(a,\/b\right)$ il loro massimo comun divisore, esistono $h,\/k$ interi tali che

$h\/a\/+\/k\/b\/=\/\left(a,\/b\right)$

Quindi, ovviamente,

$\left(m\/h\right)\/a\/+\/\left(m\/k\right)\/b\/=\/m$

dato che, ribadisco, nel nostro caso $\left(a,\/b\right)\/=\/1$.
In definitiva, la condizione $\compose{\LARGE \text O}{\normalsize 1}$

$\left(p_{\script 1},\/p_{\script 2}\right)\/=\/\left(p_{\script 1},\/p_{\script 3}\right)\/=\/\left(p_{\script 2},\/p_{\script 3}\right)\/=\/1$

garantisce che esistano i coefficienti delle equazioni

$\left\{\begin{array}{lC+30}r\/b\/-\/r'\/a\/=\/1 \\ s\/c\/-\/s'\/a\/=\/2 \\ b\/x\/-\/c\/y\/=\/s'\/-\/r' \end{array}\right.$

oppure

$\left\{\begin{array}{lC+30}r\/a\/-\/r'\/b\/=\/-\/1 \\ s\/c\/-\/s'\/b\/=\/1 \\ a\/x\/-\/c\/y\/=\/s'\/-\/r' \end{array}\right.$

oppure

$\left\{\begin{array}{lC+30}r\/a\/-\/r'\/c\/=\/-\/2 \\ s\/b\/-\/s'\/c\/=\/-\/1 \\ a\/x\/-\/b\/y\/=\/s'\/-\/r' \end{array}\right.$

P.S.: questa mattina, per gioco, ho affrontato con carta e penna la terna $P\/\equiv\/\left\{9,\/8,\/7\right\}$; mi ci sono voluti circa tre quarti d’ora per trovare

$\left\{\begin{array}{r30r60r60r90C+30} 9 & 81 & 414543 & 33577983 \\ 8 & 512 & 65582 & 33577984 \\ 7 & 2401 & 13985 & 33577985 \end{array} \right.$