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Nel triangolo ABC, il punto R divide BC in parti uguali, mentre il punto S di AC è tale che CS=3AS. Con T su AB, l'area del triangolo RST è tripla di quella di BRT. Trovare il valore di $\frac{AT}{BT}$

http://imageshack.us/photo/my-images/546/dase51.jpg/" target="_blank
Non avendo trovato una dimostrazione puramente geometrica ( che forse pure c'è) ,ripiego sui calcoli.
Pongo:
$\displaystyle AT=x,TB=y,BR=RC=p,CS=3q,SA=q$
Inoltre indico con a,b,c gli angoli del triangolo ( vedi figura allegata).
Osservo che l'area del triangolo ABC è la somma di 4 volte l'area del
triangolo BRT con le aree dei triangoli CRS e AST .
Per una nota formula dell'area di un triangolo si può scrivere allora che :

(1) $\displaystyle \frac{1}{2}qx\sin(a)+4\cdot \frac{1}{2}py\sin(b)+\frac{1}{2}\cdot 3pq\sin(c)=\frac{1}{2}\cdot (2p)(4q)\sin(c)$

Inoltre per il teorema dei seni si ha pure:

(2) $\displaystyle \frac{x+y}{\sin(c)}=\frac{2p}{\sin(a)}$

Riunendo (1) e (2) si ottiene il sistema:

$\displaystyle \begin{cases} (q\sin(a))x+(4p\sin(b))y=5pq\sin(c) \\ (\sin(a))x+(\sin(a))y=2p\sin(c)\end{cases}$

Risolvendo si ricava che :

$\displaystyle \begin{cases} Dx=5pq\sin(a)\sin(c)-8p^2\sin(b)\sin(c)\\ Dy=-3pq\sin(a)\sin(c)\end{cases}$

dove è $\displaystyle D=q\sin^2(a)-4p\sin(a)\sin(b)$

Dividendo membro a membro avviene che :

$\displaystyle \frac{x}{y}=-\frac{5}{3}+\frac{8}{3} \cdot \frac{p}{q}\cdo\frac{\sin(b)}{\sin(a)}$

Ma ,sempre per il teorema dei seni, ho :

$\displaystyle \frac{4q}{2p}=\frac{\sin(b)}{\sin(a)$

E dunque sostituendo :

$\displaystyle \frac{x}{y}=-\frac{5}{3}+\frac{8}{3}\cdot\frac{p}{q}\cdot \frac{4q}{2p}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$

Si conclude infine che :

$\displaystyle \frac{AT}{BT}=\frac{11}{3}$

Salve a tutti,
voglio proporre una soluzione semplice al quesito di apritisesamo.

Costruiamo attorno al triangolo ABC una "griglia" così fatta:

1) prolunghiamo il lato TR del triangolo RST
2) tracciamo le rette parallele a TR passanti per i punti A, B e C e passanti per i punti D es E del lato AC tali che

AS=SD=DE=EC

e siano M, N, O, P le intersezioni di tali rette con il lato AB, risulterà

AM=MN=NO=OP e
PT=TB

3) prolunghiamo il lato ST del triangolo RST
4) tracciamo le rette parallele a ST passanti per i punti A, B e C e per i punti M ed R

Qualunque sia il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT, tale rapporto sarà lo stesso tra le aree dei parallelogrammi RKST e LRTQ e
di conseguenza per i lati ST e TQ e quindi tra MT e TB

La figura renderà tutto più chiaro

upload/TRIANGOLO5.png
Posto

$TB=x \\ AM=y$

risulta

$MT=MN+NO+OP+PT=3y+x$

se il rapporto tra le aree dei triangoli RST/BRT è 3 risulterà

$\frac{Area RST}{Area BRT}=\frac{MT}{TB}=\frac{(3y+x)}{x}=3\frac{y}{x}+1=3$

$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$

troviamo adesso il rapporto richiesto cioè AT/TB

$AT=AM+MT=y+3y+x=4y+x$

$\frac{AT}{TB}=\frac{(4y+x)}{x}=4\frac{y}{x}+1=4\frac{2}{3}+1=\frac{11}{3}$

Generalizziamo il problema:
siano p e q le suddivisioni in parti uguali dei lati BC ed AC e sia r il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT

$AT=py+(q-1)x$
$TB=x$

$\frac{AT}{TB}=p\frac{(r-1)}{3}+q-1$


Per adesso è tutto

Salve a tutti,
voglio proporre una soluzione semplice al quesito di apritisesamo.

Costruiamo attorno al triangolo ABC una "griglia" così fatta:

1) prolunghiamo il lato TR del triangolo RST
2) tracciamo le rette parallele a TR passanti per i punti A, B e C e passanti per i punti D es E del lato AC tali che

AS=SD=DE=EC

e siano M, N, O, P le intersezioni di tali rette con il lato AB, risulterà

AM=MN=NO=OP e
PT=TB

3) prolunghiamo il lato ST del triangolo RST
4) tracciamo le rette parallele a ST passanti per i punti A, B e C e per i punti M ed R

Qualunque sia il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT, tale rapporto sarà lo stesso tra le aree dei parallelogrammi RKST e LRTQ e
di conseguenza per i lati ST e TQ e quindi tra MT e TB

La figura renderà tutto più chiaro
Posto

$TB=x \\ AM=y$

risulta

$MT=MN+NO+OP+PT=3y+x$

se il rapporto tra le aree dei triangoli RST/BRT è 3 risulterà

$\frac{Area RST}{Area BRT}=\frac{MT}{TB}=\frac{(3y+x)}{x}=3\frac{y}{x}+1=3$

$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$

troviamo adesso il rapporto richiesto cioè AT/TB

$AT=AM+MT=y+3y+x=4y+x$

$\frac{AT}{TB}=\frac{(4y+x)}{x}=4\frac{y}{x}+1=4\frac{2}{3}+1=\frac{11}{3}$

Generalizziamo il problema:
siano p e q le suddivisioni in parti uguali dei lati BC ed AC e sia r il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT

$AT=py+(q-1)x$
$TB=x$

$\frac{AT}{TB}=p\frac{(r-1)}{3}+q-1$


Per adesso è tutto

Faccio una correzione sulla generalizzazione del quesito:


siano p e q le suddivisioni in parti uguali dei lati BC ed AC e sia r il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT

$AT=py+(q-1)x$
$TB=x$

$MT=(p-1)y+(q-1)x$

$\frac{MT}{TB}=r$

$r=\frac{(p-1)y+(q-1)x}{x}=(p-1)\frac{y}{x}+q-1$

$\frac{y}{x}=\frac{r-q+1}{p-1}$

$\frac{AT}{TB}=p\frac{y}{x}+q-1$

la formula generale è quindi:

$\frac{AT}{TB}=(r-q+1)\frac{p}{p-1}+q-1$

Inizio con una premessa.
In un triangolo ABC si considerano due punti P e Q rispettivamente sui lati AB e AC. Si vuole calcolare il rapporto tra le aree dei triangoli QAP e CAB.
Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

Traccio le altezze PK e BH dei triangoli APQ e ABC.
Risulta $\frac{\Delta\left(QAP\right)}{\Delta\left(CAB\right)}=\frac{AQ\cdot KP}{AC\cdot HB}$ . Ma, dalla similitudine dei triangoli APK e ABH, risulta $\frac{KP}{HB}=\frac{AP}{AB}$ da cui $\frac{\Delta\left(QAP\right)}{\Delta\left(CAB\right)}=\frac{AQ}{AC}\cdot\frac{AP}{AB}$ .
In altre parole il rapporto tra le aree dei triangoli QAP e CAB è il prodotto dei rapporti tra AQ e AC e tra AP e AB.

Passo ora al problema proposto in forma generale.

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

Pongo $\frac{BR}{BC}=p$ , $\frac{CS}{CA}=q$ , $\frac{AT}{AB}=x$ da cui $\frac{CR}{CB}=1-p$, $\frac{AS}{AC}=1-q$, $\frac{BT}{BA}=1-x$ .
Da quanto detto in precedenza si ha $\frac{\Delta\left(AST\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=x\cdot\left(1-q\right)$ , $\frac{\Delta\left(BRT\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=p\cdot\left(1-x\right)$, $\frac{\Delta\left(CSR\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=q\cdot\left(1-p\right)$.
Inoltre
$\frac{\Delta\left(STR\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=1-\frac{\Delta\left(AST\right)}{\Delta\left(ABC\right)}-\frac{\Delta\left(BRT\right)}{\Delta\left(ABC\right)}-\frac{\Delta\left(CSR\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=\left(x\cdot p+x\cdot q+p\cdot q-x-p-q+1\right)$.

Ponendo $\Delta\left(STR\right)=t\cdot\Delta\left(TBR\right)$ e risolvendo si ottiene $x=\frac{p\cdot\left(t-q+1\right)+q-1}{p\cdot\left(t+1\right)+q-1}$ , $1-x=\frac{p\cdot q}{p\cdot\left(t+1\right)+q-1}$ e infine $\frac{AT}{BT}=\frac{p\cdot\left(t-q+1\right)+q-1}{p\cdot q}$.

Per quanto riguarda il problema numerico si ha $p=\frac{1}{2}$ , $q=\frac{3}{4}$ , t=3 quindi $\frac{AT}{BT}=\frac{11}{3}$