dimosdimostr

[apritisesamo]

Considerato che nella sequenza di Fibonacci $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$, dimostrare che $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{4^{n+1}}=\frac{1}{11}$
Grazie, ciao

[karl]

Non sono stati indicati i valori iniziali della successione di Fibonacci ,percui
ritengo che siano quelli più comuni:

$\displaystyle a_1=a_2=1$

In questo caso,com'è noto, per la suddetta successione risulta:

$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{(1+\sqrt{5})^n}{2^n}$$-\frac{(1-\sqrt{5})^n}{2^n})$

Pertanto,indicando con S la somma richiesta,si ha:

$\displaystyle S=\frac{1}{4\sqrt{5}}[\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{(1+\sqrt{5}}{8})^n-\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1-\sqrt{5}}{8})^n]$


Ora le due sommatorie sono relative ciascuna ad una serie geometrica infinita di ragione <1 in valore assoluto
e dunque ciascuna di esse è uguale a $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ dove a_1 è il primo termine e q la ragione.

Avremo quindi :

$\displaystyle S=\frac{1}{4\sqrt{5}}\cdot [\frac{1+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}$$-\frac{1-\sqrt{5}}{7+\sqrt{5}}]=\frac{1}{11}$