BASE CINQUE FORUM

Nessuno penso se ne avrà a male se sotto l'ombrellone in un caldo pomeriggio d'agosto al riparo dal solleone,
chiudendo gli occhi,fra frizzi e lazzi di rumorosi bagnanti in riva al mare,ho pensato ad una parabola un pò speciale:

Si consideri la funzione: $y= Ax^2+Bx+C$
ove A,B,C sono 3 numeri diversi da 0 appartenenti all'insieme Z degli interi relativi.
a)Scegliendo opportunatamente A;B;C dire per quali valori di n, ove n>1 risulta un numero appartenente all'insieme Z+ dei naturali, si possa affermare:
$\left{y(0)\,\equiv\,0\;(Mod\, {n})\\y(1)\,\equiv\,1\;(Mod\, {n})\\y(2)\,\equiv\,2\;(Mod\, {n})\\.....\\.....\\.....\\y(n-2)\,\equiv\,n-2\;(Mod\, {n})\\y(n-1)\,\equiv\,n-1\;(Mod\, {n})$

b) Nel caso n=6, posta la veridicità delle uguaglianze sopra esposte, indicare 3 valori A,B,C tali che sia:
A+B+C=1; A>B>C; A+C>0

c) Proporre 3 valori A,B,C diversi fra loro tali che le uguaglianze del punto a) siano soddisfatte simultaneamente per 29 valori
differenti di n

Bye David

Purtroppo anch'io sono stato sulla spiaggia, ma ho preso troppo sole ed ho sepolto la parabola sotto la sabbia...mi dispiace, mi si risolveva solo la parabola $Ax^2+Bx$

Ho ripescato questo quesito rimasto sepolto nella sabbia ...

a) Se poniamo

$\left{A\,\equiv\,0\;\pmod{n}\\B\,\equiv\,1\;\pmod{n}\\C\,\equiv\,0\;\pmod{n}$

le uguaglianze sono vere per ogni $n>1 \in \mathbb{Z}+$

Dati $p, q, r \in \mathbb{Z}+$

$\left{A\,=\,pn\\B\,=\,qn+1\\C\,=\,rn\$

$y(x)=pnx^2+qnx+x+rn=n(px^2+qx+r)+x\,\equiv\,x\;(mod\, {n})$ per $x<n$


b) A = 12; B = -5; C = -6

$y(x)=12x^2-5x+6$

$\left{y(0) = 0\\y(1) = 1\\y(2) = 32\\.....\\.....\\.....\\y(5) = 269$

c) Poniamo B = 1, A e C devono essere multipli di tutti i valori per cui le uguaglianze devono essere vere simultaneamente.
E' sufficiente scegliere un numero che abbia 29 divisori, ad es. 30! oppure 2^29.
Perché C sia diverso da A basta porre ad esempio C = -A oppure C = 2A

SE&O