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Acutangolo...ma non troppo

Inviato: mar mag 17, 2011 8:17 pm
da David
In un triangolo isoscele acutangolo il rapporto fra il raggio R della circonferenza circoscrittibile ed il raggio r della circonferenza inscrittibile vale R/r; ossia una frazione irriducibile con numeratore e denominatore formati entrambi da un numero di 4 cifre.

Si indichi il valore del suddetto rapporto affinchè la differenza fra lato lungo e lato corto del triangolo sia minima

Re: Acutangolo...ma non troppo

Inviato: mer mag 18, 2011 9:43 am
da panurgo
La differenza tra lato lungo e lato corto è minima quando vale $0$. E cio accade quando il triangolo è equilatero. In un triangolo equilatero $R/r\/=\/2$, in un triangolo isoscele non equilatero $R/r\/>\/2$: la frazione richiesta è quella che più si avvicina a $2$,

$9999/4999\/=\/2,0002\ldots$

Non ho tempo ora per formalizzare le dimostrazioni :(

ImmagineImmagineImmagine

$f\/=\/\frac Rr\/=\/\frac {2r + 1}r\\f^{\script \prime}\/=\/-\frac1{r^{\script 2}}$
$f$è monotona decrescente quindi è minima per il valore massimo di $r$: $2r\/+\/1\/=\/9999\quad\Rightarrow\quad r\/=4999$

Re: Acutangolo...ma non troppo

Inviato: mer mag 18, 2011 8:44 pm
da David
Aggiudicato pan,
ora una questione solo un pò più difficile:
nel triangolo acutangolo in questione trovare R/r (sempre 2 numeri di 4 cifre) affinchè la differenza fra metà del lato minore e la sua altezza relativa sia minima.

Ciao

Re: Acutangolo...ma non troppo

Inviato: gio mag 19, 2011 6:12 pm
da panurgo
Intendi dire che sia minima la differenza tra l'altezza $h$ relativa al lato minore $b$ e metà di tale lato: in un triangolo isoscele acutangolo l'altezza è sempre maggiore di metà lato minore quindi se faccio $b/2 \/- \/h$ ottengo un numero negativo che sarà minimo quando $b\/=\/0$ e $h\/=\/2R$. :roll:

Re: Acutangolo...ma non troppo

Inviato: gio mag 19, 2011 9:56 pm
da David
Ciao pan intendevo l'incontrario che la differenza h-(b/2) ,sia minima,sostanzialmente trovare il triangolo acutangolo che più si avvicina ad un triangolo rettangolo,trovare il rapporto R/r affinchè tale differenza sia minima con la condizione delle 4 cifre a numeratore e denominatore
Bye David