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9 recipienti parallelepipedi regolari sono colmi d'acqua.

L'altezza accomuna tutti quanti, essa misura 1 dm,le basi sono tutte quadrate con spigolo pari a x dm (con x intero) per il primo,con spigolo di x+1 dm per il secondo, x+2 dm per il terzo e così via fino ad arrivare al nono con spigolo di x+8 dm.

Si vuole travasare tutta la totalità del liquido da essi contenuto in p contenitori ( con p primo) cubici tutti uguali fra loro aventi lo spigolo pari a y dm. ( con y intero)

Tale operazione si può eseguire?

Salutoni

se ho "tradotto" bene,
esistono nove numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati è pari ad un cubo moltiplicato per un numero primo?

Il volume dei 9 parallelepipedi é:

$3(3X^2+24x+68)$

e deve essere divisibile per $py^3$, ovvero deve risultare intero il rapporto $\frac{3(3x^2+24x+68)}{py^3}$

Affinché tanto sia possibile, è necessario che il denominatore sia multiplo di 3K, con K=1 , considerato che l'espressione $3X^2+24x+68$ non può essere mutipla di 3.
Dunque, l'unico elemento del denominatore che può contenere utilmente il 3 è il fattore p, che conseguentemente non può essere primo.

In conclusione il travaso, alle condizioni richieste, non è possibile.



Nota, per completezza

se p fosse primo, il 3 dovrebbe essere contenuto in $y^3$, ma si avrebbe la seguente situazione:

posto y=3A, $y^3=3\cdot{9}\cdot{A^3}$ ed allora dovrebbe essere $3x^2+24x+68$ divisibile per $9pA^3$, mentre non è divisibile nemmeno per 3, perché

$3x^2+24x+68 = 3(x^2+8x)+68$

Pasquale ha scritto:Dunque, l'unico elemento del denominatore che può contenere utilmente il 3 è il fattore p, che conseguentemente non può essere primo.

Ho un dubbio: e se p fosse in effetti uguale a 3? Non mi è riuscito di trovare un esempio, però non possiamo escluderlo...
L'equazione sarebbe allora $y^3=3x^3+24x+68$, ovviamente con x, y interi.
Chi ci prova?

Giusto! Distratto da altri ragionamenti, non ho considerato che 3 è un primo: in questo caso, se p=3, bisognerebbe trovare un x intero, tale che $3x^2+24x+68$ sia un cubo, o dimostrare che non può esserlo (chiedo scusa per la dichiarata completezza , non completa... l'occhio di zerinf è sempre attento).
In pratica questi sono i nuovi termini in cui si traduce il quesito originale.

Adesso, non so se dico un'altra stupidaggine.......(si, l'ho detta e la cancello)

(OMISSIS)

Intanto, ho visto che se scegliamo un x=496.407.443 dm e 3 contenitori con y=904203 dm, immaginando di dover travasare vino, avremo la gradita sorpresa di poterci bere 20 litri di vino prima di procedere al travaso dei 496 milioni e passa di litri di vino.
Il bello è che esistono infinite combinazioni x,y che mi consentono di bere sempre 20 litri di vino precisi e poi effettuare un travaso preciso col restante (es: x=6.130.644.323, y=4.831.083).
Questo lascia "sospettare" che un travaso preciso, senza ubriacarsi, non sia possibile;
ora, se esistono infinite possibilità di tracannare 20 litri di vino, allora togliendo 20 litri dal totale dei 9 contenitori, si dovrebbero ottenere dei cubi precisi.
Vale a dire che se trasformo la mia equazione in $3x^2+24x+(68-20)$, trovo infiniti cubi perfetti, come ad esempio per i seguenti valori di x,y:

20 12
77 27
188 48
371 75
644 108
1025 147
1532 192
2183 243
2996 300
...
...
...
570328121 991875
573308924 995328
576300095 998787

In conclusione, se $3x^2+24x+48=y^3$ mi fornisce infinite soluzioni intere, è plausibile che $3x^2+24x+68=y^3$ ne fornisca di non intere, perché 20 è troppo piccolo per generare un cubo di ordine superiore.

Nota:

i suddetti valori sono stati trovati, dando in pasto al p.c. la ricerca di soluzioni intere delle seguenti relazioni:

$x=\frac{-12+sqrt{3y^3-60}}{3}$ e $x=\frac{-12+sqrt{3y^3}}{3}$

derivanti da:

$3x^2+24x+68-y^3=0$ e $3x^2+24x+48-y^3=0$

es:
FOR y=4 TO 1000000
LET x=(-12+SQR(3*y^3))/3
IF x=INT(x) THEN PRINT x;y
next Y

Effettivamente nemmeno se p= 3 è possibile il travaso poichè:

$(x-4)^2+(x-3)^2+....(x+4)^2=py^3$
$9x^2+60=py^3$ ; se p=3:
$9x^2+60=3y^3$
$3x^2+20=y^3$
$3(x^2+18)+2=y^ 3$ ; posto $x^2+18=k$
$3k+2=y^3$
ora y=3k ; y=3k+1 o y=3k+2 e i rispettivi cubi sono:
$y^3=3k \ y^3=3k+1\ e\ y^3=3k+1 ; \\mai \\3k+2$

Bye David

Proseguo sul precedente ragionamento ed esamino l'equazione

$3x^2+24x+48=y^3$

posso scrivere:

$3(x+4)^2=y^3$
$x+4=sqrt{\frac{y^3}{3}}$
$x=sqrt{\frac{y^3}{3}}-4$

Affinché x sia intero, necessita che sia $y^3=27k^6$ ($y=3k^2$)

tale relazione è accettabile, perché effettivamente rappresenta un cubo ed inoltre consente di rendere quadrato perfetto il radicando e dunque x intero.

Scriviamo quindi:

$x=sqrt{9k^6}-4$

$x=3k^3-4$

da cui avremo soluzioni infinite per tutti i k>1

il primo cubo rappresentabile è 1728 (per k=2) e seguono 19.683, 110.592.....naturalmente sempre maggiori dei precedenti

Con questo si dimostra che l'equazione

$3x^2+24x+48=y^3$ ha soluzioni e che cioè il primo membro può essere un cubo.

La nostra equazione però era

$3x^2+24x+68=y^3$

ed allora scriviamo:

$3(x+4)^2+20=y^3$

se il primo membro dell'altra equazione poteva essere un cubo, in questa equazione, al primo membro, avremo sempre 20 unità in più di un cubo e con questo si dimostra che la nuova equazione non ha soluzioni e spiega perché precedentemente, con altri mezzi, s'era trovato che occorreva bersi sempre preventivamente 20 litri di vino.
Meglio ancora possiamo dire che se prima $3(x+4)^2=y^3$ era un cubo, allora 20 unità meno di un cubo non possono essere uguali a 3(x+4)^2, cioè non può avere soluzioni la relazione $3(x+4)^2=y^3-20$