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Ciao a tutti mentre eseguivo un solitario con le carte ho cominciato a pensare e ad ideare la balzana scommessa che riporto qui sotto; sarà poi una cosa seria? Mah....

Due scommettitori A e B giocano contro,ad ogni turno ciascuno sceglie (tenendola segreta all'avversario) una carta fra 3; l'asso il re o la donna di cuori per A,l'asso il re o la donna di fiori per B.
Di seguito si registra la matrice dei pagamenti per A e B a seconda delle carte giocate da ognuno:

$\begin{bmatrix} *&A&K&Q\\ A&+5&-8&+6\\ K&-4&+5&-3\\ Q&+11&-9&+2 \end{bmatrix}$
In positivo i guadagni di A (perdite di B),in negativo i guadagni di B (perdite di A)
Esempio se entrambi giocano gli assi A riceve 5 euro da B, se A gioca il re e B l'asso allora A darà 4 euro a B e così via.
Un arbitro registra ad ogni turno il risultato e alla fine degli n turni di gioco redige il resoconto dei pagamenti.
Analizzando la tabella e temendo che B giochi sempre il re il giocatore A pensa di giocare in maniera casuale 1/6 delle volte l'asso,1/6 delle volte la donna e per il resto il re,ipotizzando altresì di acquisire a lungo termine un vantaggio anche nel caso B giochi invece,aleatoriamente le sue tre carte con ugual frequenza.(1/3 asso,1/3 re, 1/3 donna)
Il ragionamento di A risulta corretto?
B può adottare una strategia contrastante?

chi è in riga e chi è in colonna?

In positivo i guadagni di A (perdite di B),in negativo i guadagni di B (perdite di A)
Esempio se entrambi giocano gli assi A riceve 5 euro da B, se A gioca il re e B l'asso allora A darà 4 euro a B e così via.
Dunque A in colonna e B in riga
Ciao

Ho provato a fare una simulazione di gioco nel lungo periodo ed a me risulta che sia già vincente per B la strategia 1/3, 1/3, 1/3 contro quella di A (1/6, 1/6, 4/6); quindi, se tanto viene confermato, bisognerebbe vedere se A può adottare una strategia vincente, supponendo che B adotti quella di 1/3, 1/3, 1/3.

Il ragionamento è corretto Pasquale,bisogna stabilire se il guadagno atteso per A è sempre negativo ad esempio cosa succede se A invece di giocare la strategia fallace 1/6 1/6 4/6 gioca invece:
2/3 delle volte il re 1/3 delle volte la donna? (decidendo di non prendere mai l'asso)

Bye

Nel nuovo caso prospettato, accade che A vince e perde.

Mi spiego meglio:

nel lungo periodo, per un sottoperiodo x, A vince, ma poi perde in un successivo sottoperiodo y; tali alternanze pare che si ripetano, per cui A vince o perde, secondo il momento in cui si ferma il gioco.

In realtà A potrebbe giocare anche soltanto Asso e Donna (1/3 e 2/3, o 1/2 e 1/2), oppure anche le tre carte a 1/3, 1/3, 1/3 (sempre che B continui a giocare 1/3, 1/3, 1/3).

Insomma, nel lungo periodo, ognuno dei due può aggiustare il tiro, se riesce a capire o prevedere cosa sta facendo l'altro.
Ad esempio e semplificando, se B giocasse sempre K, A potrebbe contrastare anche giocando sempre K, ma a questo punto B potrebbe iniziare a giocare sempre Asso.

in effetti, se le strategie possono essere modificate in corsa, il gioco credo sia indecidibile.
Si potrebbero porre dei vincoli, del tipo "se hai deciso una certa ripartizione, questa deve essere applicata per un numero prefissato di mani, e si può cambiare "percentuali" solo dopo 3, o 30, o 100 partite"
Certo, l'ultima estrazione risulterebbe obbligata-
Altra variante: non è possibile ripetere la stessa giocata per più di n volte; al limite si può proibire anche la semplice sequenza di due carte uguali

Secondo Nash questo è un classico confronto fra 2 giocatori,in un gioco a somma zero, che per trarre, entrambi, i massimi benefici dagli esiti delle prove devono attenersi a una scrupolosa strategia mista, ossia di scelte di gioco ponderate dal caso.(Ma come abbiamo visto non completamente casuali)

Questo esempio ove non vi è un punto di equilibrio e dunque non c'è una strategia pura adottabile cioè una strategia che sia la migliore di un'altra ad ogni turno, porta a stabilire una serie casuale fra un insieme di strategie pure (ossia scelte ponderate)ovvero la determinazione delle probabilità da assegnare a ciascuna strategia pura.

Il gioco è a somma 0 e perciò le vincite di uno devono corrispondere alle perdite dell'altro.
Questo comporta che l'esistenza di un valor medio del gioco deve essere accettato da entrambi i giocatori in termini di vincita e perdita,poichè qualsiasi altra strategia che li devi da tale valore è potenzialmente negativa per i loro interessi.(Teorema del Minimax)

Il problema rilevante del gioco è il calcolo di questo valor medio m ( che in realtà potrebbe anche essere 0) ove per un giocatore è da intendersi come +m e per l'altro co me -m.

Nell'esempio proposto il giocatore A potrebbe ritenere che dopo aver fatto 30 può arrivare a 31 (nel vero senso della parola)
Giocando aleatoriamente i 31/48 delle volte il re e per i restanti 17/48 la donna egli acquisisce un vantaggio sia contro la strategia mista di B 1/3,1/3,1/3, sia contro quella pura di giocare sempre il re.
"Del resto con una somma dei guadagni (5+6+5+11+2) ben superiore alla somma delle perdite(-8-4-3-9) come potrebbe essere altrimenti ?" pensa un A gongolante
Purtroppo per lui non è così che il signor Nash ha insegnato a B a vedere aldilà della griglia!