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64 è un quadrato ed è formato da cifre pari. Anche 484 è un quadrato
composto da cifre pari.
Ebbene, nessun quadrato maggiore di 9 è formato unicamente da cifre
dispari.

Questa proprietà si deduce da alcune osservazioni che il bolognese
Rafael Bombelli ha inserito nella sua Algebra, un'opera del XVI secolo
(costituita da più libri) che ho scoperto con grande piacere molti anni fa.
Le osservazioni si trovano nel Libro primo, in una sezione in cui Bombelli
insegna al lettore a "conoscere quali siano li numeri quadrati" per non
perder tempo in calcoli.

A voi la dimostrazione!

Bruno

non so se è una dimostrazione, in senso stretto, ma
le cifre delle unità dei numeri quadrati, se devono essere dispari e se devono appartenere a numeri maggiori di nove possono derivare solo dalla "quadratura"
di 5 (e sarà finale 5)
di 7 (e sarà finale 9)
di 9 ( e sarà finale 1)
in tutti i casi ci sarà un riporto alla casella delle decine di una quantità pari (rispettivamente 2 ; 4 ;
ripetendo il ragionamento per la penultima cifra, essa sarà dispari e lo rsteràanche se aumentata dlla quantità pari riportata, ma
quando il numero finisce, la quantità pari riportata resterà nuda

Ripeto: non so se il ragionamento copre tutte le possibilità; nel caso che sia una boiata, scustae

...

Al contrario, Enrico: secondo me la tua riflessione è tutt'altro che una "boiata"!
Se ben ho capito il tuo ragionamento, credo che meriti di essere esplorato.

Bruno

ovviamente la faccina corrisponde ad un "otto"
chissà perchè è uscita...

Dalla mera osservazione:
i numeri genaratori di quadrati, a partire da 4, generano quadrati di almeno 2 cifre: i generatori pari generano sempre numeri quadrati con almeno l'ultima cifra pari, mentre i generatori dispari generano certamente quadrati con almeno l'ultima cifra dispari, che può terminare con 1, 5 o 9.
I generatori dispari ad una sola cifra (5,7,9) generano 25, 49 e 81, che hanno la penultima cifra pari.
Tutti gli altri generatori dispari hanno almeno 2 cifre e le ultime 2 cifre di un prodotto dipendono dalla ultime due cifre del moltiplicando e del moltiplicatore, che in questo caso coincidono.
E' sufficiente quindi osservare la tabella dei 45 quadrati dei numeri dispari compresi fra 1 e 99, per rendersi conto che la penultima cifra è sempre pari: tutti gli altri numeri dispari avranno la stessa caratteristica, cioè genereranno quadrati con l'ultima cifra dispari (1,5,9) e la penultima pari.

delfo52 ha scritto:ovviamente la faccina corrisponde ad un "otto"
chissà perchè è uscita...

è il codice di

OT

Per evitare che una espressione o parte di una espressione venga considerata come uno "smile" (Emoticons), dovete spuntare la casella "disabilita smilies in questo messaggio" che si trova sotto il modulo in cui si inserisce il testo.

Admin

Come dicevo sopra, in un prodotto le ultime due cifre dipendono dalle ultime due cifre dei fattori e quindi ai nostri fini è sufficiente esaminare fra i numeri dispari generatori di quadrati quelli che hanno le ultime due cifre terminanti con PD (Pari-Dispari) e DD (Dispari-Dispari)

Operiamo il quadrato di tali numeri:

…….PD x
…….PD
_______
……PD
….PP=
_______
……PD



…….DD x
…….DD
_______
……DD
…DD=
_______
……PD


Come si vede, la penultima cifra è sempre pari, esista o non esista riporto nel prodotto delle cifre delle unità, in quanto il riporto, se c'è, è sempre pari e quindi non influisce sul risultato: infatti, 5x5=25; 7x7=49; 9x9=81 e P+P=P; D+P=D.

...

Grazie, Pasquale!
La tua dimostrazione mi sembra bella e chiara, oltre che semplice.
Forse anche Enrico, se non ho capito male il suo ragionamento, aveva
in mente qualcosa del genere. Sbaglio?

In alternativa (riconsiderando alcune cose dette sopra), potremmo
osservare, innanzitutto, che ogni numero quadrato dispari segue
sempre di un'unità un multiplo di $\displaystyle 4$, essendo:

$\displaystyle (2h+1)^2 = 4h(h+1)+1.$

D'altra parte, i numeri dispari finiscono con $\displaystyle 1$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 7$ e $\displaystyle 9$ e l'ultima cifra dei
loro quadrati, pertanto, può essere solo $\displaystyle 1$, $\displaystyle 5$ oppure $\displaystyle 9$, com'è stato messo
già in evidenza.
Ora, anche questi ultimi tre numeri sono del tipo $\displaystyle 4a+1$ e allora possiamo
scrivere:

$\displaystyle 4h(h+1)+1 = 10b+4a+1 \,\,$ (con $\displaystyle \, 4a+1 \, < \, 10 \,$)

Si vede così che $\displaystyle 10b$ dev'essere un multiplo di $\displaystyle 4$, quindi $\displaystyle b$ non può essere
dispari e non può esserlo nemmeno, di conseguenza, la penultima cifra
del numero quadrato.

Un saluto a tutti!

Bruno

Si, questa mi piace di più.