BASE CINQUE FORUM

l'anno appena cominciato è primo.
basta consultare un elenco dei numeri primi per constatare come la ricorrenza di questi è abbastanza "regolare nella sua irregolarità".
Esistono formule che descrivono la frequenza dei numeri primi, che come tutti sappiamo si diradano, ma mooooolto lentamente.
Chi ha una certa età è stato oltre venti anni senza incontrarne nemmeno uno, e i nostri figli, e i figli dei nostri figli non potranno fare di meglio per quasi due secoli.

Se andiamo a vedere i "distacchi" tra due numeri primi consecutivi, vediamo che il "distacco 2" appare per la prima volta tra 3 e 5 (non è stato difficile!); che 7 e 11 sono i primi a essere distanziati di quattro; tra 17 e 23 per la prima volta il distacco è 6.
Esiste una lista dei progressivi "record" di distanza ?
Tale primato viene sempre migliorato solo della quantità minima, cioè di 2 in 2 ?

Aggiunta:
ho dato una rapida occhiata alla lista fino a 5000.

ho scoperto che dopo le coppie citate, si passa a

89-97 distanza 8 ; 113-127 distanza 14 ;523-541 distanza 18 ;1129-1151 dist. 22
1327-1361 costituiscono un record di 34 che rimane imbattuto per migliaia di anni

Pare che certi "distacchi" non appaiano mai (20- 30 se non mi sono distratto)

Qualche anno fa i matematici Green e Tao hanno dimostrato che esistono sequenze aritmetiche di primi lunghe quanto si vuole,
ovviamente tale teorema non dice dove possiamo trovarle,esisterà una progressione aritmetica del tipo:
p2-p1=p3-p2=p4-p3=......=p100-p99,logico che sequenze così lunghe ci possiamo attendere di trovarle
per numeri primi immensamente grandi ancora fuori dalla nostra portata.
Delle progressioni semplici sono ad esempio:

7,37,67,97,127,157
11,71,131,191,251,311
13,223,433,643,853,1063

che sono progressioni aritmetiche di lunghezza 6 e di ragione rispettivamente 30,60,210

I primi numeri primi consecutivi con distacco 20 e 30 sono :

887,907 e 4297,4327

ovviamente il primo distacco 6 si ha per 23,29 e non per 17,23 visto che si ha 19 nel mezzo

Qui, come al solito, un sacco di informazioni e successioni (ad esempio questa è ricca e precisa).
Si vede che 20 compare nella "lista dei record", per la precisione tra 887 e 907. 30 invece non rientra, ma sicuramente esisteranno due primi la cui differenza è pari a 30 (chi vuole dimostrarlo? ). Il buco di 34 tra 1327 e 1361 è insuperabile fino al decimo millennio. Il "buco di Delfo(52)", tra il 1951 e il 1973, è a sua volta imbattibile almeno fino al buco di 24 del 2179 (ragguardevole, in tempi più prossimi, il gap 2039-2053).

Buon primo...dell'anno a tutti i b5ini!
Salumi,
0-§

P.S. David mi ha battuto sul tempo... la mia offerta per una dimostrazione elementare dell'esistenza di un buco lungo (almeno) k, con k intero a piacere, è nondimeno ancora valida.

http://www.math.unipr.it/~zaccagni/psfi ... zac_IV.pdf" target="_blank

è un po' troppo specialistico per me

L'esistenza di una ragione (almeno) k fra 2 numeri primi successivi è una conseguenza diretta della dimostrazione dell'infinità dei primi dedotta da Euclide, infatti pensiamo ad un numero k qualsiasi allora:

k!-1 è un numero dispari (non sappiamo se primo o no)
k!-2 è divisibile per 2
K!-3 è divisibile per 3
....
....
....
k!-k è divisibile per k
k!-k-1 è un numero dispari (non sappiamo se primo o no)

Allora (k!-1)-(k!-k-1)=k

Abbiamo ottenuto un "buco" di lunghezza k arbitraria che sicuramente non contiene numeri primi