Una sequenza un po' matta
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Una sequenza un po' matta
Non so come possano venire in mente certe
cose, ma mi sono imbattuto in questo tipo di
sequenza:
$\blu 1,\, 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, 9,\, 10,\, 12,\, 14,\, 16,\, 18,\, 20,\, 22,\,24,\,25,\,26,\, 28,\, \cdots$
In sostanza si tratta dei numeri quadrati e dei
numeri pari riuniti e ordinati.
Chi riesce a trovare un'unica formula (ma non
ricorsiva) capace di fornire ogni termine di questa
sequenza?
Io devo ancora ragionarci sopra
cose, ma mi sono imbattuto in questo tipo di
sequenza:
$\blu 1,\, 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, 9,\, 10,\, 12,\, 14,\, 16,\, 18,\, 20,\, 22,\,24,\,25,\,26,\, 28,\, \cdots$
In sostanza si tratta dei numeri quadrati e dei
numeri pari riuniti e ordinati.
Chi riesce a trovare un'unica formula (ma non
ricorsiva) capace di fornire ogni termine di questa
sequenza?
Io devo ancora ragionarci sopra
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
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Re: Una sequenza un po' matta
Bruno, ho una curiosità da chiederti su questa sequenza:
Premetto che al momento non ci ho ancora provato, ma mi incuriosiva la specificazione "non ricorsiva": Messa giù così sembra quasi che la possibile soluzione ricorsiva debba essere qualcosa di banale (che al momento comunque mi sfugge), ma magari è invece un suggerimento dell'autore del testo del problema. Puoi dirci qualcosa in merito?
Fab
Premetto che al momento non ci ho ancora provato, ma mi incuriosiva la specificazione "non ricorsiva": Messa giù così sembra quasi che la possibile soluzione ricorsiva debba essere qualcosa di banale (che al momento comunque mi sfugge), ma magari è invece un suggerimento dell'autore del testo del problema. Puoi dirci qualcosa in merito?
Fab
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]
Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]
Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg
Re: Una sequenza un po' matta
No, Fab, non è affatto banale, e poi ormai sai
qual è il mio punto di vista sulla parola "banale".
Ma nello studio delle sequenze numeriche, di
solito, è molto importante riuscire a determinare
ogni termine senza aver prima dovuto calcolare
altri termini.
Però se ti viene in mente qualcosa di ricorsivo,
siamo qui
qual è il mio punto di vista sulla parola "banale".
Ma nello studio delle sequenze numeriche, di
solito, è molto importante riuscire a determinare
ogni termine senza aver prima dovuto calcolare
altri termini.
Però se ti viene in mente qualcosa di ricorsivo,
siamo qui
(Bruno)
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Re: Una sequenza un po' matta
Si conosco il tuo punto di vista su questo termine , anche perchè di fatto per quanto mi riguarda è pienamente condivisibile.Bruno ha scritto:No, Fab, non è affatto banale, e poi ormai sai
qual è il mio punto di vista sulla parola "banale".
Ma nello studio delle sequenze numeriche, di
solito, è molto importante riuscire a determinare
ogni termine senza aver prima dovuto calcolare
altri termini.
Però se ti viene in mente qualcosa di ricorsivo,
siamo qui
Tuttavia, ormai su molti testi (nonchè su molti appunti di colleghi) è talmente usato (ed abusato) che in questo caso l'ho utilizzato nella sua concezione neo-matematica (o dovrei dire scienziagginistica ? ).
Tornando a noi, al momento non ho in mano proprio nulla, ne di ricorsivo ne di non ricorsivo (giusto un po' di mal di testa ricorrente ^___^): avevo un ipotesi di lavoro per un aprroccio non ricorsivo, ma l'ho dovuta scartare adesso devo vedere se riesco a recuperarla in sua una versione più generale, ma stando ai primi risultati credo che dovrò invece "inventarmi" qualcosa di nuovo.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]
Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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Re: Una sequenza un po' matta
Ho trovato una formula abbastanza brutta e complicata che forse potrebbe fare al caso nostro (tuttavia sottolineo il forse).
Infatti ho provato a verificarne la correttezza su excel, tuttavia i valori intermedi sono tali per cui anche il pc dopo pochi passaggi mi ha chiesto pietà (ed onestamente fare delle prove manuali mi è un po' complicato visto che lo spazio che al momento ho a disposizione è un taccuino da tasca).
Cmq io provo a postarvela, magari voi avete mezzi informatici più potenti dei miei, nonchè competenze matematiche migliori delle mie (ma per questo non ci vuole poi molto in realtà) così da potere eventualmente correggerla o magari (se mi è andata bene) metterla in una forma più semplice. Si insomma, io, per il momento, sono arrivato fino a qui (sperando che quello che ho trovato abbia un qualche senso):
$\displaystyle\int \{INT\lfloor{\frac{{\sum_{k=0}^{\infty}}{\sum_{n=0}^{4k+3}}2*10^{n-1}+10^{4k+4}}{\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{4k+5} 9*10^{n+1} }*10^{m+1}}\rfloor (mod 10)\}$
ATTENZIONE QUESTA FORMULA E' SBAGLIATA, VEDETE IL MIO POST SUCESSIVO PER DELUCIDAZIONI E SCUSE.
Infatti ho provato a verificarne la correttezza su excel, tuttavia i valori intermedi sono tali per cui anche il pc dopo pochi passaggi mi ha chiesto pietà (ed onestamente fare delle prove manuali mi è un po' complicato visto che lo spazio che al momento ho a disposizione è un taccuino da tasca).
Cmq io provo a postarvela, magari voi avete mezzi informatici più potenti dei miei, nonchè competenze matematiche migliori delle mie (ma per questo non ci vuole poi molto in realtà) così da potere eventualmente correggerla o magari (se mi è andata bene) metterla in una forma più semplice. Si insomma, io, per il momento, sono arrivato fino a qui (sperando che quello che ho trovato abbia un qualche senso):
$\displaystyle\int \{INT\lfloor{\frac{{\sum_{k=0}^{\infty}}{\sum_{n=0}^{4k+3}}2*10^{n-1}+10^{4k+4}}{\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{4k+5} 9*10^{n+1} }*10^{m+1}}\rfloor (mod 10)\}$
ATTENZIONE QUESTA FORMULA E' SBAGLIATA, VEDETE IL MIO POST SUCESSIVO PER DELUCIDAZIONI E SCUSE.
Ultima modifica di fabtor il gio lug 01, 2010 5:18 pm, modificato 1 volta in totale.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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Re: Una sequenza un po' matta
Accidenti fabtor mi sembra una della formule di Ramanujan, potente ed esoterica, non so come tu abbia fatto a scovarla,io a dir la verità dopo aver letto il problema di Bruno e aver tentato senza successo un approccio modulare ho pensato bene di lasciar perdere.
Se fosse corretta ( così di primo acchito potrebbe essere) sarebbe davvero qualcosa di ammirevole.
Bye David
Se fosse corretta ( così di primo acchito potrebbe essere) sarebbe davvero qualcosa di ammirevole.
Bye David
Re: Una sequenza un po' matta
Purtroppo invece quella sopra riportata è sbagliata!!!David ha scritto:Accidenti fabtor mi sembra una della formule di Ramanujan, potente ed esoterica, non so come tu abbia fatto a scovarla,io a dir la verità dopo aver letto il problema di Bruno e aver tentato senza successo un approccio modulare ho pensato bene di lasciar perdere.
Se fosse corretta ( così di primo acchito potrebbe essere) sarebbe davvero qualcosa di ammirevole.
Bye David
Rifacendo tutti i conti ho scovato che per un banale errore di indicizzazione (le serie doppie non sono mai state il mio forte) quello che ottengo non è quanto cercato .
Chiedo venia a tutti coloro che hanno provato a capirci qualcosa basandosi una castroneria di proporzioni apocalittiche, tuttavia qui sotto vi riporto la versione corretta (stavolta sono molto confidente che lo sia davvero):
$\displaystyle\int \{INT\lfloor{\frac{{\sum_{k=0}^{\infty}}{\sum_{n=0}^{4k+2}}2*10^{n}+10^{4k+3}}{\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{4k+4} 9*10^{n} }*10^{4K+5}}\rfloor (mod 10)\}dk$
Scusate ancora per quella porcheria del mio precedente post (non ho trovato l'emoticon dell'autoflagellazione ma spero mi perdoniate ugualmente).
Fab
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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Re: Una sequenza un po' matta
Ho trovato questa formula
$\fs{5} x=2n-k-2+2FP(\frac{k}{2})+2FP(\frac{k+1}{2})*INT(\frac{2k-1}{\sqrt{8n-7}})$
con
$\fs{5} k=CEIL(\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2})$
n: termine della sequenza
FP: parte decimale
CEIL: intero immediatamente successivo
S.E. & O.
Ciao
$\fs{5} x=2n-k-2+2FP(\frac{k}{2})+2FP(\frac{k+1}{2})*INT(\frac{2k-1}{\sqrt{8n-7}})$
con
$\fs{5} k=CEIL(\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2})$
n: termine della sequenza
FP: parte decimale
CEIL: intero immediatamente successivo
S.E. & O.
Ciao
Re: Una sequenza un po' matta
Mi pare di capire che la tua sequenza parta da n=1 (dove x=1), ma per n=2, se non ho sbagliato i conti, x=1 e non 2 (tuttavia non ho verificato cosa succeda facendo partire la sequenza da n = 2...
... Comunque, l'utilizzo degli operatori CEIL e FP, a mio modesto parere, mi pare geniale (ammetto che non ci avrei mai pensato nemmeno in mille anni!!!!).
... Comunque, l'utilizzo degli operatori CEIL e FP, a mio modesto parere, mi pare geniale (ammetto che non ci avrei mai pensato nemmeno in mille anni!!!!).
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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Re: Una sequenza un po' matta
Per
n=1 ---> x=0
n=2 ---> x=1
n=3 ---> x=2
ecc.
Se si vuol fare iniziare la sequenza con x=1
basta sostituire a n ---> n+1
in tal caso le formule si trasformano in:
k=CEIL((SQR(8*n+9)-1)/2)
x=2*n-k+2*FP(k/2)+2*FP((k+1)/2)*INT((2*k-1)/SQR(8*n+1))
con x=1 per n=1
In pratica
x=(2n-k) +1(se k è dispari) +1(se k è pari e 8n+1 quadrato perfetto)
n=1 ---> x=0
n=2 ---> x=1
n=3 ---> x=2
ecc.
Se si vuol fare iniziare la sequenza con x=1
basta sostituire a n ---> n+1
in tal caso le formule si trasformano in:
k=CEIL((SQR(8*n+9)-1)/2)
x=2*n-k+2*FP(k/2)+2*FP((k+1)/2)*INT((2*k-1)/SQR(8*n+1))
con x=1 per n=1
In pratica
x=(2n-k) +1(se k è dispari) +1(se k è pari e 8n+1 quadrato perfetto)
Re: Una sequenza un po' matta
Allora devo aver sbagliato il primo conto: a me veniva 1 anche per n = 1 .Edmund ha scritto:Per
n=1 ---> x=0
n=2 ---> x=1
n=3 ---> x=2
ecc.
Se si vuol fare iniziare la sequenza con x=1
basta sostituire a n ---> n+1
in tal caso le formule si trasformano in:
k=CEIL((SQR(8*n+9)-1)/2)
x=2*n-k+2*FP(k/2)+2*FP((k+1)/2)*INT((2*k-1)/SQR(8*n+1))
con x=1 per n=1
In pratica
x=(2n-k) +1(se k è dispari) +1(se k è pari e 8n+1 quadrato perfetto)
Bene, fra l'altro il tutto è cmq meno "incasinato" di quello che avevo trovato io.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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Re: Una sequenza un po' matta
Edmund è ben noto per la sua abilità in queste cose
Prendendo allora: $\;k\,=\,\lceil \frac{\sqr{8\cdot n+9}-1}{2} \rceil\,=\, \lfloor \frac 12 + \sqrt{2\cdot n+4}\rfloor$
possiamo scriverla anche così, la sua formula:
$a_n \,=\, 2\cdot \[ \;n- \lfloor \frac k2\rfloor+ \(\frac{k+1}{2} -\lfloor\frac{k+1}{2}\rfloor \)\cdot \lfloor \frac{2\cdot k-1}{\sqr{8\cdot n+1}}\rfloor\ \;\]$
o meglio:
$a_n \,=\, 2\cdot n- 2\cdot \lfloor \frac k2\rfloor+ \frac{1+(-1)^k}{2}\cdot \lfloor \frac{2\cdot k-1}{\sqr{8\cdot n+1}}\rfloor\$
partendo da $\, a_{\tiny 1}\,=\,1$ (*).
Non ho verificato l'espressione di Fabtor, però concordo
con David: ha un non so che di esoterico e potente
Siete eccezionali!
A questo punto potreste proporre le vostre formule
al grande Neil Sloane di Oeis e integrare questa voce
Un caro saluto a tutti!
__________________________________________________
(*) La stessa formula scritta per Excel (A1=1, A2=2, A3=3...):
2*A1-2*INT((INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1)/2)+((1+(-1)^(INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1))/2)*INT((2*(INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1)-1)/RADQ(8*A1+1))
Prendendo allora: $\;k\,=\,\lceil \frac{\sqr{8\cdot n+9}-1}{2} \rceil\,=\, \lfloor \frac 12 + \sqrt{2\cdot n+4}\rfloor$
possiamo scriverla anche così, la sua formula:
$a_n \,=\, 2\cdot \[ \;n- \lfloor \frac k2\rfloor+ \(\frac{k+1}{2} -\lfloor\frac{k+1}{2}\rfloor \)\cdot \lfloor \frac{2\cdot k-1}{\sqr{8\cdot n+1}}\rfloor\ \;\]$
o meglio:
$a_n \,=\, 2\cdot n- 2\cdot \lfloor \frac k2\rfloor+ \frac{1+(-1)^k}{2}\cdot \lfloor \frac{2\cdot k-1}{\sqr{8\cdot n+1}}\rfloor\$
partendo da $\, a_{\tiny 1}\,=\,1$ (*).
Non ho verificato l'espressione di Fabtor, però concordo
con David: ha un non so che di esoterico e potente
Siete eccezionali!
A questo punto potreste proporre le vostre formule
al grande Neil Sloane di Oeis e integrare questa voce
Un caro saluto a tutti!
__________________________________________________
(*) La stessa formula scritta per Excel (A1=1, A2=2, A3=3...):
2*A1-2*INT((INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1)/2)+((1+(-1)^(INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1))/2)*INT((2*(INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1)-1)/RADQ(8*A1+1))
(Bruno)
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Re: Una sequenza un po' matta
In realtà la mia formula non mi soddisfa appieno: come dite voi è si "esoterica", ma secondo me lo è fin troppo!!! (potente non so) io tendenzialmente amo cose semplici ed immediate e mi piacerebbe riuscire a semplificarla un po'.
Le mie conoscenze matematiche, tuttavia, non sono troppo elevate; le congruenze aritmentiche ad esempio, pur conoscendole (anche se solo molto approssimativamente) ho imparato a maneggiarle (e solo sommariamente) ed a comprendere le loro potenzialità (ma credo ancora solo molto parzialmente) da quando frequento base cinque, prima non ero in grado di farci niente o quasi se non guardarle come un bambino guarda un vulcano che erutta e più stupito che spaventato per via della sua incoscenza si chiede:"e adesso?". In buona sostanza il cammino che devo percorrere è ancora mooolto lungo se voglio sperare di approdare da qualche parte!!!! (ed il tempo non gioca troppo a mio vantaggio, anzi).
Le mie conoscenze matematiche, tuttavia, non sono troppo elevate; le congruenze aritmentiche ad esempio, pur conoscendole (anche se solo molto approssimativamente) ho imparato a maneggiarle (e solo sommariamente) ed a comprendere le loro potenzialità (ma credo ancora solo molto parzialmente) da quando frequento base cinque, prima non ero in grado di farci niente o quasi se non guardarle come un bambino guarda un vulcano che erutta e più stupito che spaventato per via della sua incoscenza si chiede:"e adesso?". In buona sostanza il cammino che devo percorrere è ancora mooolto lungo se voglio sperare di approdare da qualche parte!!!! (ed il tempo non gioca troppo a mio vantaggio, anzi).
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
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Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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