Le 2 adunate

[David]

In una cittadella militare, i soldati ogni santo giorno,per l'alzabandiera al mattino e per l'ammainabandiera alla sera,si riuniscono nel grande piazzale centrale per la canonica adunata.
Al mattino essi si dispongono in 2 formazioni quadrate ognuna di n*n uomini (e donne...) per tutto identiche fra loro,costituendo in tal modo 2 griglie ciascuna di n righe e di n colonne di militi perfettamente allineati.
Alla sera lo schieramento concede qualcosa in più allo spettacolo.
Lo stesso numero di commilitoni che c'era al mattino, si ritrova e va a realizzare 5 figure geometriche, ossia 3 quadrati uguali fra loro ognuno di m*m elementi, un rettangolo di lati 20*29 unità (580 presenze) e infine il resto si dispone in un'ulteriore figura rettangolare di lati 47*m unità ove m è lo stesso numero di militari che costituiscono il lato di uno qualsiasi dei 3 quadrati testè citati.

Si domanda qual'è il massimo numero di soldati che si possono contare ad ogni adunata?

Da "Quanti,gatti e numeri"

Ciao boys

[delfo52]

partendo da 315 e sommando in sequenza addendi pari a 28-31-34-37-40 (con incremento costante di 3), arriviamo in otto passaggi a 625, che è il primo quadrato perfetto.
1250 è perciò il numero minimo.
Per il massimo, è più difficile...
(nella vita reale 1250 è già un buon numero per una caserma!)

[David]

Enrico se ai 1250 soldati togliamo i 580 che formano uno dei 2 rettangoli della seconda adunata otteniamo 670 che dovrebbero andare divisi in 3 quadrati uguali fra loro e un rettangolo che ha un lato di 47 e l'altro uguale al lato dei 3 quadrati.
Ciò non risulta possibile dovendo essere le linee formate da numeri naturali.

Ciao

[delfo52]

pardon...avevo semplicemente sbagliato a fare una somma, arrivando a 625 invece che a 675
la cosa diventa un bel po' più lunga !
e la caserma diventa un bel po' più affollata....a occhio 11250
sempre come numero minimo.
per il massimo, non saprei

[franco]

Io ho fatto questo ragionamento:

$x = 2n^2 \cr x = 3m^2 + 47m + 580 \cr 3m^2 + 47m + \left( {580 - 2n^2 } \right) = 0 \cr m = {{ - 47 + \sqrt {47^2 - 12\left( {580 - 2n^2 } \right)} } \over 6} = {{ - 47 + \sqrt {24n^2 - 4751} } \over 6}$
(trascurando la soluzione negativa)

A questo punto sono andato di forza bruta provando tutti i valori di $n<4000$ (32 milioni di soldati mi sembravano anche troppi per una "cittadella militare"!) ed ho trovato che le uniche accoppiate di $n$ ed $m$ interi erano:
n = 145 , m = 110 --> x = 42050
n = 332 , m = 263 --> x = 220448

Sinceramente non mi trovo con gli 11250 soldati che ha ipotizzato Enrico; secondo i miei calcoli corrisponderebbero ad $n=75$ e $m=52,32$ circa

ciao

[David]

I tuoi valori sono corretti Franco, lo schieramento "minimo" consta di 42050 militari. Il valore successivo è proprio 220448.
Effettivamente prendendo alla lettera l'enunciato del dilemma già il primo valore è esorbitante per un cittadella.
Diciamo che la cosa interessante era analizzare quel tipo di equazione e prospettare un metodo per la sua risoluzione e soprattutto dire se sia possibile trovare una coppia risolutiva {m,n} più grande di ogni altra.
Tuttavia mi inchino alla visione profonda del calcolatore, a proposito qual'è il prossimo valore di n, pari?

Ciao Franco

Let's get rocked!

[franco]

Dispari!

Se con la "forza bruta" di excel mi ero limitato ad esplorare i valori di n sino a 4000, con decimal basic posso agevolmente provare tutti i valori sino a n=10 milioni! (e per arrivare a duecentomilamiliardi di soldati dovremmo forse arruolare tutta la galassia!).

Le formazioni sono fattibili per:
n=145 m=110 x=42050
n=332 m=263 x=220448
n=14175 m=11566 x=401861250
n=32518 m=26543 x=2114840648
n=1389005 m=1134110 x=3858669780050
n=3186432 m=2601703 x=20306697781248

ciao

[franco]

decimal basic ...

FOR n=20 TO 10000000
LET m=(-47+(24*n^2-4751)^0.5)/6
IF INT(m)=m THEN PRINT n,m,2*n*n
NEXT n
END



riciao

[David]

Esatto Franco possiamo procedere a oltranza dimostrando che non c'è una coppia massima di di valori che soddisfa l'equazione.

Mi puoi confermare che il prossimo valore pari di n vale

n=312237818 ? Con relativo m=254941103

I tuoi dati pubblicati concordano finora con quelli da me trovati.

Grazie,ciao

[Bruno]

Ciao, David e Franco

In questi ultimi giorni mi sono accorto del problema e ho
provato anch'io a cercare qualcosa.
All'inzio ho fatto ricorso a Excel per esplorare un po' il campo...
ma non solo quello delle adunate
Mi sono spinto, infatti, anche fra i valori negativi di $\,m\,$.

Vi lascio un mio piccolo contributo, purtroppo un po' svelto e
limitato per il tempo che non c'è.

Ho iniziato a comporre queste colonne numeriche:



e poi queste:



In realtà, le liste da cui sono partito erano più corte,
naturalmente, includevano i valori da voi già trovati e quelli
che si ottengono mandando $\,m\,$ nell'altra direzione, cioè
considerandone appunto anche i valori negativi.
Gli elementi nuovi sono stati calcolati e confermati sulla base
delle cose che sto per dire.

Concentrandomi sui valori di $\,n\,$ così disposti, mi sono
accorto di una facile ricorsione con cui si ricavano i termini
a partire dal terzo:

$n_{\tiny i} = 10\cdot n_{\tiny i-1}-n_{\tiny i-2}$

e ciò mi ha portato subito, grazie alla teoria delle successioni
ricorrenti lineari (spiegate ottimamente da Gianfranco qui,
ma si può apprezzare anche il bel contributo di Umberto Cerruti
pubblicato qui), a trovare le seguenti forme chiuse per le
due sequenze di $\,n\,$.
Per la prima (18, 35, 332, 3285, ...) abbiamo:

$n_{\tiny r}=\frac {(216-55\cdot \sqr{6} )(5+2\cdot \sqr{6})^r+(216+55\cdot \sqr{6})(5-2\cdot \sqr{6})^r}{24}$

mentre per l'altra (145, 1432, 14175, 1389005, ...) è:

$n_{\tiny r}=\frac {(1740+707\cdot \sqr{6} )(5+2\cdot \sqr{6})^r+(1740-707\cdot \sqr{6}) (5-2\cdot \sqr{6})^r}{24}$

per $\,r\,$ naturale (zero incluso).

Si può dimostrare che le soluzioni dell'equazione in esame sono
contenute in queste sequenze e pertanto risultano infinite
anche quelle relative ai soli valori positivi di $\,m\,$.

(Salvo sviste, sciocchezze e varie robe affini )


Comunque confermo senz'altro il valore indicato da David,
rispetto alla sua richiesta

[David]

Esatto Bruno, grazie alla teoria delle successioni ricorrenti possiamo scovare le soluzioni di talune fastidiose equazioni,così in questo caso possiamo trovare la prima soluzione valida ricorrendo a:

n(1)=49*n(0)-10*h(0)
h(1)=240*n(0)-49*h(0)

sapendo che n(0)=18 e h(0)=55 trovando:

n(1)=49*18-10*55=332
h(1)=240*18-49*55=1625 con m=263

la prossima (pari) :

n(2)=49*n(1)+10*h(1)=49*332+10*1625=32518
h(2)=240*n(2)+10*h(2)=240*332+10*1625=159305 con m=26543

E ancora:

n(3)=49*n(2)+10*h(2)=49*32518+10*159305=3186432
h(3)=240*n(2)+10*h(2)=240*32518+10*159305=15610625 con m=2601703

e così via, ovviamente analogo discorso si applica con le soluzioni per cui n è dispari

Ciao