BASE CINQUE FORUM

in mancanza di meglio (il forum langue; ma sempre meglio che langua lui che la mia pancia), e anche se so che non bisognerebbe proporre quesiti di cui non si ha la completa conoscenza, vi propongo questo. (poi speriamo che al ritorno di 0-§ le cose cambino). Prendiamo un semicerchio di diametro A-A' con punto medio O scegliamo un punto B sulla circonferenza e il suo speculare B' in modo tale che A-B' intersechi A'-B nel punto H . La figura risulta ovviamente simmetrica. Consieriamo i triangoli AOH e AHB ( o i gemelli dall'altra parte) Il rapporto tra le superfici dei due triangoli varia a seconda della distanza del punto mobile B dal punto A Quando B coincide con A, i due triangoli sono virtuali Appena nati, il triamgolo AHB è molto più grande di AOH . Quando AB = AO (ah...il mitico esagono!) i due triangoli sono congruenti e speculari. Proseguendo si arriva al caso in cui B va a coincidere con H e OH = AO e in cui il triangolo AHB scompare La domanda è: quale funzione descrive il comportamento del rapporto tra le due superfici in funzione di AB?; o di OH? Per quali valori (considerando OH, o l''angolo OAH) tale rapporto assume valori interessanti? (tipo: 2; pigreco; radice di 5; ...) Scusate se non uso figure ma:
- non sono capace
-non ho voglia di imparare
-temo che farei una fatica boia, e alla fine farei pena lo stesso
-so che c'è qualcuno assai più dotato)

Aggiungo il link alla risposta che ho dovuto a suo tempo postare a sé per problemi con questo con questo topic

https://www.base5forum.it/viewtopic.php?t=132

Delfo,B' é speculare di B rispetto alla perpendicolare ad AA' passante per O?
SONO TORNATO,GENTE!
Vedrò se mi viene qualcosa.
CIAO!

hai inteso correttamente. Per chiarirti le idee, puoi guardare la figura postata da Panurgo nel post omonimo.

...

Naturalmente sono d'accordissimo con il risultato di Panurgo, anche se sono
arrivato allo stesso rapporto con considerazioni un po' differenti.
Si tratta di una bazzecola, ma credo che meriti lo stesso di essere descritta.

Riproduco lo schema di Panurgo (in realtà è ben più brutto, avendolo fatto in
fretta e con Excel, poiché non posso al momento utilizzare Geogebra),



in cui metto in evidenza le altezze dei triangoli $\displaystyle {\rm A’OH}$ e $\displaystyle {\rm OAH}$ rispetto
alle basi $\displaystyle {\rm \overline {A’H}=\overline {HA}}$.

Si riconosce subito che $\displaystyle {\rm \overline {OK’}=\overline {OK}}$.

Si vede inoltre che $\displaystyle {\rm \overline {OK’}=\frac 12\cdot \overline {BA}}$, poiché i triangoli rettangoli $\displaystyle {\rm A’OK’}$ e $\displaystyle {\rm A’AB}$
sono simili e $\displaystyle {\rm \overline {A’O}=\frac 12\cdot \overline {A’A}}$, quindi $\displaystyle {\rm \overline {BA}=2\cdot \overline {OK}=2\cdot \overline {OA}\cdot sen\alpha}.$

Dunque, il rapporto cercato è:

$\displaystyle {\rm \frac {\overline {BA}\cdot \overline {BH}}{\overline {OA}\cdot \overline {OH}}=\frac {[2\cdot \overline {OA}\cdot sen\alpha]\cdot [\overline{HA}\cdot sen(\frac \pi 2-2\alpha)]}{\overline {OA}\cdot [\overline {HA}\cdot sen\alpha]}=2\cdot sen(\frac \pi 2-2\alpha)=2\cdot cos2\alpha.$ (¹)



Per Enrico:

Naturalmente avrei bisogno di più tempo per cercare qualcosa d'interessante
in questo rapporto: innanzitutto perché non ritengo di avere le capacità dei
frequentatori geniali di questo forum, eppoi perché... tocca sbarcare il lunario!
Per il momento posso dirti (anche se la cosa non è certo inaspettata e tu stesso
l'avrai già adocchiata) che, quando $\displaystyle {\rm \alpha}$ è uguale a 18° (ossia alla metà dell'angolo
in punta del pentagono regolare stellato), il rapporto è 1,61803...
Questo significa, fra l'altro, che l'altezza di B (o B') rispetto al diametro della
semicirconferenza (A'A) è la metà del lato del pentagono regolare convesso
inscritto.
Man mano che B' si avvicina ad A', inoltre, si vede che il rapporto tende a 2,
poiché $\displaystyle {\rm \alpha}$ tende ad annullarsi.
Mentre il triangolo ABH diventa la metà di OAH prima che B' raggiunga il punto
più lontano da A'A, ossia quando $\displaystyle {\rm \alpha}$ si trova vicino ai 38°, e ciò vuol dire che
forse ha già preso l'influenza...

Se&o ---

Un saluto a tutti!

Bruno


______________

(1) Questo risultato coincide con quello ottenuto da Panurgo dal momento che
cos2a = cos²a-sen²a non è altro che la formula di duplicazione relativa al
coseno.