Triangolo, se ci sei batti un colpo

[David]

Renatino come al solito quando piove si rintana in casa con i suoi fogliettoni di carta divertendosi a scovare nuovi e bizzarri problemi di matematica ricreativa.
Tracciata una circonferenza di diametro esattamente pari a 3 decimetri,vi circoscrive munito di squadrette un triangolo rettangolo di misure casuali.
Poi riflette fra sè e sè:
"Se questo triangolo rettangolo ha i lati esprimibili sotto forma di 3 frazioni razionali irriducibili a/b;c/d;e/f, quali dovranno essere le misure dei suoi lati affinchè esso abbia perimetro minimo, unitamente alla condizione che risulti pure:
a+b+c+d+e+f<1000?"

[Massimo]

provo con un:

3/329 ; 4/329 ; 5/329

[David]

Massimo in questo triangolo rettangolo la cui somma a+b+c+d+e+f effettivamente è minore di 1000 non può essere inscritto un cerchio di diametro pari a 3.

Ciao

[Massimo]

ehm, perdonami ma non essendo specificato nulla di a,b,c,d,e,f ho bypassato la questione considerando 5/329=3dm!

comunque sia, dovresti specificare quantomeno l'udm di tutti gli elementi

[Bruno]

David sono di corsa ma ho provato lo stesso a trattare il tuo quiz,
anzi... quello di Renatino


Io ho trovato i lati $\,\frac {51}{10}, \, \frac {36}{7}$ e $\,\frac {507}{70}$, per un perimetro di $\,\frac {612}{35}\,=\, 17,4857$.

Poco oltre quel limite $\,\(1000\)\,$ ci sarebbe il triangolo rettangolo con i lati
$\frac {87}{17}, \, \frac {41}{8}$ e $\,\frac {985}{136}$, per un perimetro di $\,\frac {1189}{68}\,=\, 17,48529$.

Può essere?


Prima di cercare di mettere giù il mio ragionamento vorrei essere sicuro
di non aver preso qualche cantonata, diversamente... mi toccherebbe
rivedere tutto daccapo

[David]

Bravo! Nessuna cantonata Bruno, gli stessi valori li aveva scovati a suo tempo Renatino. In effetti il valore a cui deve tendere il perimetro vale 9+6*(2^(1/2)) circa 17.48528 e 612/35 è quello che più vi si avvicina mantenendo la somma al di sotto dei 1000.

Ciao 612/35 volte

Un saluto più razionale di così....

[Bruno]

Toc toc... allora batto il colpo

Ok, ti dico come ho pensato e butto via gli
appunti

Fra tutti i triangoli rettangoli circoscritti a
una data circonferenza, quello isoscele
(e cioè uguale alla metà di un quadrato) ha il
minimo perimetro. Questo è un risultato noto
e il triangolo in questione, nel nostro caso,
ha i cateti uguali a $\,{\small 3\cdot(1+\frac{\sqr{2}}{2}\)}$, mentre
l'ipotenusa è $\,{\small 3\cdot\(1+\sqr{2})}$, per cui il perimetro
è pari a $\,{\small 3\cdot\(3+2\sqr{2}\)}$.

A questo punto, considero le due relazioni
seguenti:

$x^2+y^2=z^2 \\ x+y-z=3$

che riguardano un triangolo rettangolo
generico circoscritto a una circonferenza
con diametro di tre.
Se in

$x^2=z^2-y^2=(z-y)(z+y)$

prendo

$z-y=x\cdot \frac q p \\ z+y=x\cdot \frac p q$

con $\,{\small p\,>\,q}$ primi fra loro, trovo:

$x=\,3\cdot\frac{p}{p-q} \\ y=\,3\cdot \frac{p+q}{2q} \\ z=\,3\cdot\frac{p^2+q^2}{2q\cdot \(p-q)} \\ x+y+z=\, 3\cdot \frac{p\cdot(p+q)}{q\cdot(p-q)}\,.$

Queste frazioni sono quasi ridotte ai minimi
termini, dico "quasi" perché potrebbe essere
necessario semplificarle per due o per tre.
Comunque dev'essere, ricordando che il minimo
perimetro è $\,{\small 3\cdot\(3+2\sqr{2}\)}$:

$\frac{p\cdot(p+q)}{q\cdot(p-q)}\,>\,3+2\sqr{2}$

ma potrei anche dire:

$\[p-\(1+\sqr{2}\)\cdot q\]^2\,>\,0\,.$

Per cui mi metto a cercare $\,{\small \frac p q \,>\,1+\sqr{2}}\,$ in modo
da avvicinarmi il più possibile a questo numero
irrazionale, nel far ciò tengo naturalmente conto
del fatto che la somma di tutti i numeratori e di
tutti i denominatori finali (cioè già semplificati)
sia minore di mille.
Con poche e semplici considerazioni ricavo per
$p\,$ un breve intervallo di numeri naturali da
dividere per $\,{\small 1+\sqr{2}}\,$ allo scopo di determinare
un'approssimazione intera per $\,q\,$. In corrispondenza
di $\,p\,$ e $\,q\,$ così trovati, calcolo il perimetro e
intercetto finalmente quello più piccolo.

Questo ho fatto, senza pensare a snellimenti
eventuali

Comunque anche questa volta mi son divertito!
A presto, David