Il primo post del nuovo anno

[ronfo]

Tanto per cominciare auguroni a tutti ma proprio tutti nessuno escluso!!!!
Che il 2010 sia migliore del 2009 ( non dovrebbe essere difficile … ) .
Molto spesso mi capita di pormi delle domande per le quali sembra ci sia una risposta banale ma che poi banale non è.
Spulciando degli appunti di trigonometria ( che ho trovato su internet ) dopo le varie definizioni di seno, coseno ,tangente.. ecc. ho letto “ in ogni caso oggi ,con la larga diffusione delle calcolatrici elettroniche , questo aspetto pratico ( si stava parlando del calcolo del valore delle varie funzioni ) ha perduto importanza” .
Già con le calcolatrici elettroniche non si fanno più i conti lunghi e noiosi ma si presta attenzione solo allo svolgimento dei problemi, ( come per le radici quadrate , c’è la calcolatrice … chi si cimenta più a fare i calcoli come li facevo io in seconda media?! … mi viene da dire chi è ancora in grado di farli?).
Ma il problema in questo caso è un po’ diverso in quanto senza calcolatrice , o tavole trigonometriche , non ho trovato da nessuna parte un metodo per calcolare il valore di queste funzioni ( a parte per casi particolari , 30°; 60° ; 18° ecc.).
Per definizione le funzioni trigonometriche sono dei rapporti tra due segmenti misurabili di un cerchio ma non mi sembra un metodo molto comodo e praticabile misurare con un righello i valori in oggetto e poi farne il rapporto..
In altre parole se mi trovassi su un’isola deserta e volessi calcolarmi i valori di una funzione trigonometrica (es. seno) per angoli qualsiasi come posso fare ?
Ciao

[franco]

Ciao ed auguri anche a te.

Per quanto riguarda il calcolo potresti utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor.
Non lo ricordavo a memoria per cui sono andato a cercarmelo:
$\sin x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^n } \over {\left( {2n + 1} \right)!}}x^{2n + 1} }$

Sicuramente è un po' noiosetto ma in un'isola deserta il tempo non dovrebbe mancarti

P.S. ho fatto qualche simulazione su excel; fermandoti con n=6 hai dieci cifre decimali di precisione; se ti accontenti di una precisione di 4-5 decimali puoi anche interrompere la serie con n=3 (e ti resta quindi abbastanza tempo per la raccolta delle noci di cocco!)

ciao

[0-§]

Innanzi tutto buon anno ai basecinquini anche da parte mia.
Venendo al problema, si potrebbe spostare la questione e chiedersi come facciano effettivamente le calcolatrici (e i computer) a effettuare il calcolo.
Qualcuno d'altra parte dovrà pure implementare tale operazione nella macchina... La domanda può non avere affatto una risposta banale se è vero che la familiare moltiplicazione tra numeri interi (seppur grandi) viene (a volte? spesso?) effettuata passando per una trasformata discreta di Fourier.
Anche io per i seni propendo per le serie di Taylor e rilancio con un'altra tecnica: a partire dai seni e coseni di angoli notevoli è possibile (con le formule di bisezione e addizione) in n passaggi calcolare seni e coseni di $\displaystyle 2^n+1$ angoli uniformemente distribuiti diciamo tra 0 e $\displaystyle \frac{\pi}{2}$. L'angolo di nostro interesse può così essere "confinato" all'interno di un'intervallo piccolo a piacere per il quale sono noti i valori della funzione seno agli estremi; tali valori sono buone approssimazioni del valore cercato.
Esempio: si debba calcolare $\displaystyle x=\sin(53^\circ)$.
Passo 1) Sappiamo che $\displaystyle 45^\circ<53^\circ<90^\circ$, quindi (siccome la funzione seno è sempre crescente tra 0° e 90°) abbiamo che $\displaystyle sin(45^\circ)<sin(53^\circ)<sin(90^\circ)$, cioè $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}<x<1$.
Passo 2) Sappiamo che $\displaystyle 45^\circ<53^\circ<\left(\frac{90^\circ+45^\circ}{2}\right)=67.5^\circ$, quindi $\displaystyle sin(45^\circ)<sin(53^\circ)<sin(67.5^\circ)$; ora $sin(67.5^\circ)=\sin(45^\circ+22.5^\circ)=sin(45^\circ)cos(22.5^\circ)+cos(45^\circ)sin(22.5^\circ)$(*); conosciamo il seno e il coseno di 22.5° applicando le formule di bisezione a partire dall'angolo di 45°, quindi l'espressione (*) si può calcolare esplicitamente (in effetti sarebbe stato più semplice osservare che $67.5=\frac{135}{2}$ ma nei passi successivi il metodo sopra descritto si può effettuare quasi in automatico).
Passo 3) Sappiamo che $\displaystyle 45^\circ<53^\circ<\left(\frac{45^\circ+67.5^\circ}{2}\right)=56.25^\circ$, quindi...

Ad libitum...

Ancora buon anno a tutti!
Zerinf