Un'equazione trascendente

[David]

Descrivere un metodo atto a enumerare le soluzioni dell'equazione:

x-n*(2sinx+cosx)=0 ; con n numero intero positivo qualsiasi.

Ad esempio per n=1 l'equazione ammette una soluzione in x=1.76687

[0-§]

David, che intendi esattamente? Quasi certamente l'equazione non si risolve per via analitica, sicché restano i metodi numerici (e qui c'è l'imbarazzo della scelta).
O forse con"enumerare" intendi in realtà "indicare il numero di soluzioni", nel qual caso il problema è ben diverso.
O forse il prosecco di ieri sera ha avuto effetti nefasti, nel qual caso il problema è mio

[David]

Si con enumerare intendo trovare il numero di soluzioni che si ottengono al variare di n.
La soluzione per n=1 (trovata col metodo di Raphson-Newton) voleva solo fungere da esempio.
Ciao e Buon Anno

[Gianfranco]

Ciao David,
non so se ho capito bene, ma per n=1 mi sembra che abbia 3 soluzioni.
Vedi disegno in cui sono tracciate le funzioni:
y=x
y=1*(2*sinx+cosx)




???

Gianfranco

[David]

Esatto Gianfranco per n=1 ci sono 3 soluzioni .(io ne avevo calcolata solo una poichè non ci interessano i valori numerici di tali soluzioni ma il loro numero in funzione di n)
Per n=2 abbiamo ancora 3 soluzioni.
Per n=11 le soluzioni sono 15.
Qual'è il nesso ?

Ciao

[Gianfranco]

Ciao David,

molto all'ingrosso (N è il numero di radici calcolato):

$\Large N = \lceil \frac {2 \cdot n \cdot 2.236} {\pi} \rceil$

Esempi:
n---N---valore vero
3 -- 4 -- 3
4 -- 6 -- 7
5 -- 7 -- 7
6 -- 9 -- 7
7 -- 10 - 11
8 -- 11 - 11
9 -- 13 - 13
10 - 14 - 15
11 - 16 - 15
12 - 17 - 17
13 - 19 - 19
14 - 20 - 19
15 - 21 - 23
16 - 23 - 23
17 - 24 - 23
18 - 26 - 27
19 - 27 - 27
20 - 28 - 27
21 - 30 - 31
22 - 31 - ...
23 - 33 - ...
24 - 34 - ...
25 - 36 - ...
26 - 37 - ...
27 - 38 - ...
28 - 40 - ...
29 - 41 - ...
30 - 43 - 43

Gianfranco

[Gianfranco]

Per essere più preciso:

$\Large N= \lceil \frac {2 \cdot n \cdot \left ( 2 \cdot \sin \left ( 2 \cdot \arctan \frac{1}{\phi} \right )+\cos \left (2 \cdot \arctan \frac{1}{\phi} \right ) \right )}{\pi} \rceil$

Salvo errori di scrittura.

Gianfranco

[David]

Ciao Gianfranco ho rifatto un pò di calcoli (avevo perso i miei appunti di tempo fa quando avevo analizzato la questione) trovando

N(s)=2*{INT(2.236*n-1.107)/2*Pi+INT(2.236*n-2.034)/2*Pi}+3

ove INT(a) è la parte intera di a

Es n=17

N(s)=2*{INT(5.87)+INT(5.73)}+3= 2*(5+5)+3=23

[Gianfranco]

Complimenti David,

la tua formula funziona molto bene, anche se mi sembra che ci sia un piccolo refuso nella digitazione delle parentesi.
A me torna così:
N=2*(INT((2.236*n-1.107)/(2*PI))+INT((2.236*n-2.034)/(2*PI)))+3

I parametri numerici probabilmete sono approssimazioni perché, per esempio, per n = 1 000 000 la tua formula dà un risultato molto diverso dalla mia.
N1(1 000 000) = 1 423 483 (tua)
N2(1 000 000) = 1 423 526 (mia)

Da cui la domanda: come hai calcolato i valori 2.236, 1.107, 2.034?

Ciao
Gianfranco

[David]

Si certo Gianfranco,ho dimenticato un pò di parentesi come tu hai correttamente posizionato.
2.236 è il valor massimo della funzione y=2Sinx+Cosx e si ottiene come anche si evince dalla tua formula
risolvendo 2Cosx-Sinx=0 ottenendo:

Tgx=2 , x=ArcTg2+2k*Pi, da cui Ymax=2sin[ArcTg2]+cos[ArcTg2]

1.107 è proprio il valore di x in corrispondenza del quale si ha il primo massimo per x>0 ossia x1=ArcTg2

2.034 è il valore di x (preso come valore assoluto) in corrispondenza del quale si ha il primo minimo per x<0 ossia x2=ArcTg2-Pi

Di conseguenza la formula esatta diviene:

N=2*(INT(((2sin[ArcTg2]+cos[ArcTg2])*n-ArcTg2)/(2*PI))+INT(((2sin[ArcTg2]+cos[ArcTg2])*n-(ArcTg2-PI))/(2*PI)))+3

a meno di parentesi errate...

[Gianfranco]

Grazie David e ancora complimenti per la bella soluzione!

Gianfranco