Prendendo spunto da un topic di David qui, mi sono lanciato in una piccola "iniziativa di ricerca"; per ragioni di ordine ho ritenuto opportuno aprire un altro topic.
Il problema, in breve, è quello di trovare il numero più piccolo numero esprimibile in otto modi differenti come somma di due quadrati perfetti.
Dopo aver sperimentato un poco al computer ho deciso di estendere il problema a un numero di modi generico; si tratta cioè di studiare i valori di F(n)=m, dove m è il numero più piccolo esprimibile in (n) modi differenti come somma di due quadrati perfetti.
Sembra ragionevole supporre che F(n) sia costantemente crescente e invece ho scoperto con stupore che ad esempio F(7) è superiore non solo a F(8) ma anche a F(9) e a F(10) (il che ha reso trovare il valore di F(7) piuttosto noioso). Cercando un po' su internet ho trovato questa sequenza [SPOILER ALERT: il link contiene la risposta-ma non la soluzione!-alla domanda di David sul Rettangolone] e risulta (in particolare considerando il grafico di log(F(n)+1): al link sopra indicato lo trovate cliccando su graph in alto) che la sequenza cresca abbastanza ordinatamente a parte alcuni valori esageratamente altri rispetto ai successivi. Chiamiamo i relativi valori di n "cattivi", ossia definiamo n cattivo se F(n)>F(m) per qualche m>n. I primi cattivoni sono allora 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23 (per la verità, osservando il grafico di cui sopra sarei incerto circa l'inclusione di 14 e 15 nella lista dei cattivi, poichè seguono approssimativamente la crescita regolare dei "buoni" e in effetti devono la loro cattiveria al valore bassino di F(16); per non complicare troppo la questione seguiamo comunque questa prima traccia); vi chiedo allora di trovare altri cattivi o meglio ancora un procedimento per trovarli tutti senza andare a tentativi (cercare con un computer anche potente F(19) è piuttosto arduo e non mi sorprenderei di scoprire poco più in là dei valori abnormi). Come al solito ogni generalizzazione è ben accetta.
È tardi tardissimo! Devo scappare.
Buon lavoro a tutti,
Zerinf
P.S. Sempre bighellonando su OEIS ho trovato questa interessante sequenza, i cui primi numeri sono proprio i nostri cattivi ragazzi. Fatto ancora più emozionante, qui risulta che questa sequenza è strettamente correlata all'ottavo problema di Hilbert o, per gli amici, l'ipotesi di Riemann! Che dite, contattiamo il Clay?
P.P.S. Bad boys, bad boys, whatcha gonna do, whatcha gonna do when they come for you?
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Bad boys
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Bad boys
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
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Re: Bad boys
Tutte le sequenze F(n) sono date da prodotti di numeri primi della forma 4k+1 elevati di volta in volta a varie potenze.
Es 4225=5^2*13^2
203125=5^6*13
Paul Erdos insegna....
Bad boys,
Running undercover of moonlight
Bad, bad boys,
Getting wild in the street,
Wild in the city
I see you, you see me
Just a black street boy in society
With high-heeled women full of champagne an' lies,
Getting wild in the street
'Til the hot sunrise
Stealing round like a thief in the night
Dancing 'til the break of day
Es 4225=5^2*13^2
203125=5^6*13
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Re: Bad boys
Uppo il thread perché ritengo che il problema meriti.
Bene David, la scomposizione in fattori primi contiene sempre (e solo!) numeri della forma 4k+1, ma c'è di più... io ancora non posto alcuni link utili anche per non affossare il tuo problema del Rettangolone.
Nel frattempo tento di nuovo con python...
A presto!
Zerinf
Bene David, la scomposizione in fattori primi contiene sempre (e solo!) numeri della forma 4k+1, ma c'è di più... io ancora non posto alcuni link utili anche per non affossare il tuo problema del Rettangolone.
Nel frattempo tento di nuovo con python...
A presto!
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
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Re: Bad boys
Panurgo ha risolto il problema del rettangolone (qui in fondo; a proposito, esiste un modo per inserire un link a un singolo post anziché all'intera pagina?) e questo non è esattamente uno scoop.
Il punto è che il metodo può venire generalizzato e questo potrebbe darci il destro per concludere.
(Noticina: la formula di Pan necessita di modifica (vedi MathWorld) se consideriamo valida anche la somma di due quadrati uguali, come io ho fatto nelle mie ricerche al computer.)
A questo punto si tratta di trovare un algoritmo intelligente per scartare le combinazioni chiaramente sbagliate (come 5^16 nel caso studiato da Pan) e soprattutto implementare efficacemente la cosa. Il mio problema dei Bad Boys, allora, sarebbe risolto...
Qualcuno si cimenta?
Ciao!
Z
P.S. Il Beiler l'ho notato e sfogliato: Pan, mi confermi che è valido?
Il punto è che il metodo può venire generalizzato e questo potrebbe darci il destro per concludere.
(Noticina: la formula di Pan necessita di modifica (vedi MathWorld) se consideriamo valida anche la somma di due quadrati uguali, come io ho fatto nelle mie ricerche al computer.)
A questo punto si tratta di trovare un algoritmo intelligente per scartare le combinazioni chiaramente sbagliate (come 5^16 nel caso studiato da Pan) e soprattutto implementare efficacemente la cosa. Il mio problema dei Bad Boys, allora, sarebbe risolto...
Qualcuno si cimenta?
Ciao!
Z
P.S. Il Beiler l'ho notato e sfogliato: Pan, mi confermi che è valido?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
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