A mensa con Artù

[giobimbo]

Intorno alla Tavola Rotonda di re Artù ci sono 2n+1 sedie, preparate per le n coppie cavaliere-dama che il sovrano intende invitare tutte le domeniche a pranzo con lui. Le coppie non sono sempre le stesse e devono essere sposate da un minimo di un anno a un massimo di n anni. Il protocollo reale esige che tra qualsiasi due coniugi sposati da m anni ci siano (m-1) sedie, quale dev'essere il valore di n affinché il buon Artù non abbia spiacevoli sorprese, visto che non sa in anticipo il numero di anni di matrimonio degli invitati?

Nel numero di marzo 2009 dell'Amer. Math. Monthly, Preissmann e Mischler dimostrano che se 2n+1 è un numero primo re e sposi possono sempre sedersi obbedendo al protocollo di corte.

Indicando con M l'insieme degli anni di matrimonio delle n coppie, ecco un esempio con n=2 e M={1, 2}, cioè abbiamo una coppia (1 1) sposata da un anno e un'altra (2 2) sposata da due anni; K indica il re:
2 K 2 1 1
è una disposizione corretta (dove il nobile 2 iniziale è seduto a fianco del nobile 1 finale, s'intende)

Un altro esempio con n=2 ma M={2a, 2b}, ovvero ambedue le coppie (2a 2a) e (2b 2b) sono sposate da due anni:
2b 2a 2b K 2a
è una soluzione.


Problema 1. Trovare una soluzione per n=11 coppie dove M, l'insieme degli anni di matrimonio, è uguale a
{1, 2, 5, 6a, 6b, 6c, 7, 8, 9a, 9b, 10}

Problema 2. Trovare un metodo generale per 2n+1=numero primo e M={1, 2, 3, ..., n}.

[David]

Se non ho frainteso potrebbe essere per il primo quesito:

10;8;6a;5;2;9a;2;K;6a;8;10;9b;6b;6c;9a;7;1;1;6b;6c;9b;5;7

[giobimbo]

Soluzione giusta, David, buon appetito a tutti!

[David]

Per 2n+1=p e M={1;2;3.....n} si può scrivere:

n;n-2;n-4;....4;2;K;2;4;....n-4;n-2;n;n-1;n-3;n-5;.....3;1;1;3;...n-5;n-3;n-1

Es n=41:

20;18;16;14;12;10:8;6;4;2;K;2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;19;17;15;13;11;9;7;5;3;1;1;3;5;7;9;11;13;15;17;19

Questa disposizione può funzionare anche per un numero p non primo es 9

4;2;K;2;4;3;1;1;3 ma altre disposizioni relative a 9 non si ottengono es se M={3a;3a;3b;3b;3c;3c;3d;3d}

questo perchè l'aritmetica modulare di modulo p con p primo gode di notevoli e interessanti proprietà.

[giobimbo]

Perfetto!