Le serie convergenti

[fabtor]

Buongiorno a tutti, anche se quanto sto per chiedere non fa strettamente parte della matematica ludica 8ma a mio avviso tutta la matematica è ludica), volevo avere un chiarimento se è possibile sulle serie convergenti.

Il problema è questo se ho due serie da o a infinito che convergono ad un numero "a" queste due serie sono sempre e comunque intercambiabili fra di loro oppure bisogna tener conto di quello che è il loro andamento e la loro velocità di convergenza?
Cioè:

Premessa
Serie per n da 0 a infinito di g(n) = a
Serie per n da 0 a infinito di f(n) = a

Posso sostituire le due serie l'una con l'altra sempre o solo quando ho valori di n tali che g(n) circa uguale f(n)?

Grazie.

[eugenio.amitrano]

Cosa intendi per essere intercambiabili?
Forse, che f(i) è più o meno uguale a g(i) per valori di i che vanno da 0 a n?
Se intendi questo per intercambiabilità, credo che non è possibile intercambiare due serie convergenti ad uno stesso valore.

[fabtor]

Dunque, il discorso è più o meno questo: se due serie convergono all'infinito ad uno stesso valore se hanno la stessa velocità di convergenza all'infinito la loro serie differenza converge a zero e la loro serie rapporto converge ad uno, giusto?

Mi pare invece che il contrario non sia a priori così valido, cioè: se la loro serie differenza converge a zero e la loro serie rapporto converge ad uno non è detto che le due serie convergano esattamente allo stesso valore. Tuttavia se la serie differenza e la serie rapporto non convergessero a zero e uno rispettivamente si avrebbe la certezza che le due serie di partenza non convergono allo stesso valore.

Di fatto io mi trovo a dover verificare se due serie convergenti con termine ennesimo "apparentemente" completamente diverso convergono o meno allo stesso valore ed in tal caso per quali valori di n le 2 serie inizino ad essere accettabilmente approssimate l'una dall'altra (diciamo scegiendo un "epsilon di tolleranza" abbastanza piccolo).

[eugenio.amitrano]

Di fatto io mi trovo a dover verificare se due serie convergenti con termine ennesimo "apparentemente" completamente diverso convergono o meno allo stesso valore ed in tal caso per quali valori di n le 2 serie inizino ad essere accettabilmente approssimate l'una dall'altra (diciamo scegiendo un "epsilon di tolleranza" abbastanza piccolo).

In effitti, quì basterebbe una disequazione.
Diaciamo che {an} e {bn} sono 2 successione che convergono all'infinito ad uno stesso valore L, e vogliamo verificare quando queste due successioni iniziano ad avere valori veramente simili.

Primo esempio (Per differenza):
Quando la differenza è minore di X.
disequazione: |an - bn| < X

Secondo esempio (Per rapporto):
Scegliamo una tolleranza Y%
disequazione: 1 - Y/100 < an / bn < 1 + Y/100

[fabtor]

In effetti per avere un idea di massima mi ero approcciato in questo modo.
Tuttavia mi sono venuti un paio di dubbi:

"Ad occhio", riferendomi alle serie convergenti per n-> infinito, la serie ottenuta dalla differenza delle due serie mi pare sia meno stringente di quella ottenuta dal rapporto delle serie;
"a naso", riferendomi sempre alle serie convergenti per n-> infinito, il fatto che una seria ottenuta come differenza di due serie tenda a zero e il fatto che una seconda serie ottenuta come rapporto delle due stesse serie tenda ad uno, anche se lo fanno contemporaneamente, non mi convince del tutto, se non come condizioni unicamente necessarie, sul fatto che le due serie di partenza siano sicuramente "intercambiabili". Sbaglio? Dove?

[eugenio.amitrano]

Infatti, queste le due condizioni necessarie ma non sufficienti.....
l'unico modo per stabilire l'intercambiabilità, credo sia solo attraverso dei metodi empicirci....oppure impostando delle disequazioni.
Ho provato a visionato i criteri di convergenza delle successioni e non sono riuscito a trovare qualcosa che possa provarlo.

[fabtor]

Si anch'io sto poco a poco giungendo alla conclusione che per l'intercambiabilità serva muoversi nel mondo dell'empirismo, tuttavia (anche se dimostrata) il che fa si che nei limiti impostimi da excel non se ne cava cmq nulla di definitivo .