Questione di pesi

[David]

Su di un tavolo accanto a una bilancia vi sono :
5 pesi da 1 grammo
4 pesi da 2 grammi
3 pesi da 5 grammi
2 pesi da 7 grammi
1 peso da 13 grammi
1 peso da 30 grammi

Ogni pesata consiste nel porre 5 pesi sopra la bilancia.
Quante sono le pesate diverse che si ottengono con 5 pesi?
Ovvero quante misure differenti potrei leggere sul display di tale bilancia?

[giobimbo]

Applicando il principio d'inclusione-esclusione ho trovato che le configurazioni di 5 pesi sono 120,
252-140+8 = 120
ma a mano ne ho trovate solo 118, o me ne sono sfuggite due oppure ho sbagliato i conti. Qualunque sia l'errore esso non influenza il risultato, le pesate diverse sono 57, dal 5 al 60, più il 62; sul display non appaiono mai i pesi:

1, 2, 3, 4 e 61.

[David]

Ok giobimbo ,risposta esatta.

Ehm... visto che hai già fatto lo sporco lavoro non è che potresti scrivermi l'elenco delle combinazioni,
io ne credo di averne perso qualcuna per strada,la mia calcolatrice si arresta inesorabilmente a 108.
Ciao

[giobimbo]

Pronto!
Non le avevo messe solo perché avrebbero preso un muuucccchio di posto, ma a conclusione dell'argomento ci stanno. Se ci sono errori fammelo sapere.

1+1+1+1+1 = 5

1+1+1+1+2 = 6
1+1+1+1+5 = 9
1+1+1+1+7 = 11
1+1+1+1+13 = 17
1+1+1+1+30 = 34

1+1+1+2+2 = 7
1+1+1+2+5 = 10
1+1+1+2+7 = 12
1+1+1+2+13 = 18
1+1+1+2+30 = 35

1+1+1+5+5 = 13
1+1+1+5+7 = 15
1+1+1+5+13 = 21
1+1+1+5+30 = 38

1+1+1+7+7 = 17
1+1+1+7+13 = 23
1+1+1+7+30 = 40

1+1+1+13+30 = 46

1+1+2+2+2 = 8
1+1+2+2+5 = 11
1+1+2+2+7 = 13
1+1+2+2+13 = 19
1+1+2+2+30 = 36

1+1+2+5+5 = 14
1+1+2+5+7 = 16
1+1+2+5+13 = 22
1+1+2+5+30 = 39

1+1+2+7+7 = 18
1+1+2+7+13 = 24
1+1+2+7+30 = 41

1+1+2+13+30 = 47

1+1+5+5+5 = 17
1+1+5+5+7 = 19
1+1+5+5+13 = 25
1+1+5+5+30 = 42

1+1+5+7+7 = 21
1+1+5+7+13 = 27
1+1+5+7+30 = 44

1+1+5+13+30 = 50

1+1+7+7+13 = 29
1+1+7+7+30 = 46

1+1+7+13+30 = 52

1+2+2+2+2 = 9
1+2+2+2+5 = 12
1+2+2+2+7 = 14
1+2+2+2+13 = 20
1+2+2+2+30 = 37

1+2+2+5+5 = 15
1+2+2+5+7 = 17
1+2+2+5+13 = 23
1+2+2+5+30 = 40

1+2+2+7+7 = 19
1+2+2+7+13 = 25
1+2+2+7+30 = 42

1+2+2+13+30 = 48

1+2+5+5+5 = 18
1+2+5+5+7 = 20
1+2+5+5+13 = 26
1+2+5+5+30 = 43

1+2+5+7+7 = 22
1+2+5+7+13 = 28
1+2+5+7+30 = 45

1+2+5+13+30 = 51

1+2+7+7+13 = 30
1+2+7+7+30 = 47

1+2+7+13+30 = 53

1+5+5+5+7 = 23
1+5+5+5+13 = 29
1+5+5+5+30 = 46

1+5+5+7+7 = 25
1+5+5+7+13 = 31
1+5+5+7+30 = 48

1+5+7+7+13 = 33
1+5+7+7+30 = 50

1+5+7+13+30 = 56

1+7+7+13+30 = 58


2+2+2+2+5 = 13
2+2+2+2+7 = 15
2+2+2+2+13 = 21
2+2+2+2+30 = 38

2+2+2+5+5 = 16
2+2+2+5+7 =18
2+2+2+5+13 = 24
2+2+2+5+30 = 41

2+2+2+7+7 = 20
2+2+2+7+13 = 26
2+2+2+7+30 = 43

2+2+2+13+30 = 49

2+2+5+5+5 = 19
2+2+5+5+7 = 21
2+2+5+5+13 = 27
2+2+5+5+30 = 44

2+2+5+7+13 = 29
2+2+5+7+30 = 46

2+2+5+13+30 = 52

2+2+7+7+13 = 31
2+2+7+7+30 = 48

2+2+7+13+30 = 54

2+5+5+5+7 = 24
2+5+5+5+13 = 30
2+5+5+5+30 = 47

2+5+5+7+7 = 26
2+5+5+7+13 = 32
2+5+5+7+30 = 49

2+5+5+13+30 = 55

2+5+7+7+13 = 34
2+5+7+7+30 = 51

2+5+7+13+30 = 57

2+7+7+13+30 = 59

5+5+5+7+7 = 29
5+5+5+7+13 = 35
5+5+5+7+30 = 52

5+5+5+13+30 = 58

5+5+7+7+13 = 37
5+5+7+7+30 = 54

5+5+7+13+30 = 60

5+7+7+13+30 = 62

[David]

Grazie giobimbo, gentilissimo,grazie alla tua lista ho capito il mio sesquipedale errore di valutazione,effettivamente le combinazioni risultano 120,mi sembra che nella tua nota manchi la sequenza
2-2-5-7-7 e l'ultima non la trovo neanche io,cmq fidiamoci :essa esiste
Grazie ancora,adesso correggo la formula che genera le combinazioni.

[0-§]

Applicando il principio d'inclusione-esclusione

Vuoi per la stanchezza, vuoi per pigrizia mentale, vuoi perchè in matematica ricreativa sono parecchio arrugginito non ho capito come lo applichi: giobimbo, illuminami!

[franco]

Credo che la 120a combinazione (quella mancante) sia
1+5+5+13+30 = 52

ciao

[giobimbo]

Zerinf, purtroppo non sono in grado di spiegare bene quello che chiedi, mi limiterò a riportare quanto dice il prof. Cerasoli nel suo "Elementi di matematica discreta" e a darti un accenno del procedimento da me seguito.

Principio d'inclusione-esclusione, si parla di insiemi con certe proprietà:
"Bisogna prima contare gli elementi di tutti gli insiemi, poi escludere gli eventuali elementi contati due volte, quindi includere di nuovo quegli elementi esclusi del tutto, etc. fino a bilanciare il conto includendo ed escludendo ripetutamente."

Cominciamo col trasformare i pesi in simboli, 1=a, 2=b, 5=c, 7=d, 13=e, 30=f, i dodici pesi formano dunque il multinsieme
M = {5a, 4b, 3c, 2d, 1e, 1f}
con M che contiene k=6 elementi distinti, mentre il problema da risolvere chiede di ripartire M in gruppi di r=5 elementi, anche ripetuti.
La formula per trovare il numero delle combinazioni con ripetizione è:

${r + k - 1 \choose r} =$

${5+6-1 \choose 5} = 252$

Tra queste 252 ce ne sono molte che non si possono formare usando M, per esempio la combinazione (2, 2, 2, 2, 2)=5b. Indichiamo con Pa, Pb, Pc, ... il numero di combinazioni impossibili da ottenere con i pesi a, b, c, ... disponibili.
Pa = 0 ovviamente, perché con 5 pesi da 1 possiamo formare qualsiasi combinazione.

L'insieme Pb contiene tutte le combinazioni che hanno almeno (4+1) pesi da 2, ovvero:
$Pb = {5-(4+1) + k - 1 \choose 5-(4+1)} =$

${6-1 \choose 0} = 1$

cioè la combinazione (2, 2, 2, 2, 2) vista prima.

L'insieme Pc contiene tutte le combinazioni che hanno almeno (3+1) pesi da 2, ovvero:
$Pc = {5-(3+1) + k - 1 \choose 5-(3+1)}$

$={7-1 \choose 1}=6$

Continuando così otteniamo Pd=21, ecc.

Osserviamo la combinazione (3d, 2e)=(7, 7, 7, 13, 13): essa fa parte di Pd e fa parte di Pe, viene dunque contata due volte, esclusa due volte, bisogna allora includerla un'altra volta! Bisogna dunque includere tutte le combinazioni con due soli elementi distinti che son state contate due volte. Sia allora Pxy il numero di combinazioni formate dalle coppie di elementi distinti x e y, eventualmente (certamente, nel nostro caso) ripetuti; Pxy=0 in quasi tutti i casi eccetto che Pde=1=(3d, 2e); Pdf=1=(3d, 2f) e Pef. Quanto vale Pef? calcoliamolo.
Pef sono le combinazioni che contengono almeno 2 pesi da 13 e 2 pesi da 30 per cui sostituendo nella formula:
$Pef={(5-(1+1)-(1+1) + k - 1) \choose 5-(1+1)-(1+1)}=6$


Non ci sono combinazioni proibite con 3, 4, 5 o 6 pesi distinti quindi possiamo fermarci qui, includendo ed escludendo troviamo che
252 - (0 + 1 + 6 + 21 + 56 + 56) + (1 + 1 + 6) = 120

[David]

Grazie giobimbo per queste interessanti questioni di analisi combinatoria.
Qui c'è sempre un mucchio di roba da assorbire,bisogna farsi in 4 per seguire tutto.

Io molto più terra terra avevo suddiviso il problema in 7 sezioni distinte:

1) S(1)=numero di cinquine con 5 elementi diversi

2) S(2)=numero di cinquine con 2 elementi uguali

3) S(2,2)=numero di cinquine con 2 coppie di elementi uguali

4) S(3)=numero di cinquine con 3 elementi uguali

5) S(3,2)=numero di cinquine con una coppia di elementi uguali e una terna di elementi uguali

6) S(4)=numero di cinquine con 4 elementi uguali

7) S(5)=numero di cinquine con 5 elementi uguali

Sia k il numero di elementi diversi presenti nell'insieme

k1 il numero di gruppi contenenti 2 o più elementi uguali

k2 il numero di gruppi contenenti 3 o più elementi uguali

k3 il numero di gruppi contenenti 4 o più elementi uguali

k4 il numero di gruppi contenenti 5 o più elementi uguali

allora il numero di combinazioni diverse di 5 elementi sarà:

C(5)= S(1)+S(2)+S(2,2)+S(3)+S(3,2)+S(4)+S(5)

C(5)=k!/5!(k-5)!+k1*(k-1)!/3!(k-4)!+(k-2)*k1!/2!(k1-2)!+k2*(k-1)!/2!(k-3)!+k2(k1-1)+k3(k-1)+k4

Nel nostro caso si ha k=6, k1=4, k2=3, k3=2, k4=1

C(5)=6!/5!(6-5)!+4*(6-1)!/3!(6-4)!+(6-2)*4!/2!(4-2)!+3*(6-1)!/2!(6-3)!+3(4-1)+2(6-1)+1

C(5)=6!/5!+4*(5!/3!2!)+4*(4!/2!2!)+3*(5!/2!3!)+9+10+1

C(5)=6+4*10+4*6+3*10+9+10+1=6+40+24+30+9+10+1=120

Franco ti ringrazio per l'ultima combinazione che si era persa miseramente nel tortuoso tragitto.