Le carte volanti

[franco]

Riporto un problema che ho trovato in rete: (106)

Un mazzo di carte francesi è lanciato in aria in maniera che ogni singola carta abbia la stessa probabilità di cadere a terra mostrando la faccia o il dorso.
Se sommiamo il valore delle carte cadute a faccia in su (A=1, 2=2, ..., J=11, Q=12, K=13; non ci sono Jolly), qual'è la probabilità che il totale sia divisibile per 13?

[delfo52]

"se" la procedura può essere considerata un modo un po' complicato di scegliere a caso un numero tra zero e 364
"se" il fatto che la zona centrale di tale intervallo sia più probabile, non lo consideriamo grave
"se" i numeri divisibili per 13 sono equidistribuiti
la probabilità non dovrebbe discostarsi molto da 1/13

[franco]

"se" la procedura può essere considerata un modo un po' complicato di scegliere a caso un numero tra zero e 364

Direi che è qualcosa di più complicato di una scelta casuale; le possibili combinazioni delle 52 carte "in su" o "in giù" sono 2^52.
Il totale 0 (o 364) è associato a 1 sola combinazione su 2^52 (tutte giù).
il totale 1 (o 363) è associato a 4 combinazioni (tutte giù tranne uno dei 4 assi)
il totale 2 (o 362) è associato a 10 combinazioni (tutte giù tranne un 2 oppure 2 assi) e così via.

Il totale quindi è si un numero fra 0 e 364 ma non "casuale equiprobabile".

Temo sia "grave" non tenere conto della maggiore probabilità della zona centrale!

ciao

[delfo52]

i miei sono "se" provocatori, ovviamente.
però "quasi uno su tredici" rimane la mia risposta.
Sai che non mi piace tanto fare i calcoli, quanto cercare di guardare "oltre".
per cui, di fronte alla bella campana gaussiana, cerco di semplificarla mentalmente.
trasformandola da curva in successione di istogrammi rapprentanti la "media" dell'intervallo.
La semplificazione-approssimazione massima è farne un solo parallelogramma, ma è troppo grossolana.
Facendo rettangoli sempre più stretti, arrivo idealmente a suddividere la gaussiana in rettangoli "larghi 13", alti come la media dell'intervallo. in ogni intervallo 1/13 è divisibile per 13.
Certo la risposta non è "esatta", ma credo sia la migliore che si può dare "a occhio".
una semplificazione del genere credo sia accettabile , e nella vita reale molte volte viene adottata, quando la curva da considerare ha oscillazioni contenute; ed è tutto sommato il caso della zona centrale della nostra campana. Agli estremi, dove le cose sono più difficili, abbiamo la "fortuna" che "gli scompensi tendono a compensarsi": ovvero, se nei valori bassi, il primo multiplo è 13, per cui, la probabilità viene sottostimata, il contrario avviene all'estremità di destra, dove la media degli ultimi tredici valori è in realtà bassissima.
Se devo sbilanciarmi, e dire "a occhio", credo comunque che la presenza del 182 lassù in vetta faccia spostare la probabilità "esatta" verso un valore più alto; di quanto.....calcolate voi

[franco]

Enrico,

Il ragionamento è inappuntabile.

Nel pochissimo tempo che ho a disposizione sto provando ad immaginare come fare un calcolo "esatto" della probabilità ma intanto ho fatto qualche prova sperimentale (200.000 lanci del mazzo di carte!) ed ho un risultato medio di "divisibilità per 13" pari al 7,587%.
Se consideriamo che 1/13 = 7,692% direi che siamo sicuramente in quei paraggi!

ciao

[panurgo]

Congettura: la nostra probabilità è dalle parti di $\frac{346430740566961}{4503599627370496}$

[delfo52]

rileggendo il mio post "inappuntabile", ho scoperto che forse ho inventato...il calcolo infinitesimale !
(Leibniz e Newton si rivoltano nella tomba)

[franco]

Congettura: la nostra probabilità è dalle parti di $\frac{346430740566961}{4503599627370496}$

Che effettivamente è appena appena meno di $\frac{346430740566961}{4503599627370493}$

[delfo52]

proseguiamo con la M.A. (matematica approssimativa)



provo a moltiplicare il numeratore per 13:
come ordine di grandezza ci siamo (si vede a occhio; a meno che le cifre non siano state scritte con font differenti !)

prima faccio x10 = 346....
poi devo aggiungere 346 x 3
arrotondando a 350 x 3 viene 105
346 + 105 = 451
siccome ero stato abbondante... vada per 450359.... !
Vogliamo strafare?
guardiamo a destra : il numeratore finisce con "1"; moltiplicato per 13 deve finire per "3"

Sistemato l'inizio e la fine del numerone..... per la parte in mezzo mi fido (!!??!!)

[franco]

Fidarsi è bene, ma non fidarsi è meglio!

E siccome le cifre sono troppe per una calcolatrice ...



ciao

[David]

Ho analizzato per semplicità il caso per n=13 cioè simuliamo il lancio in aria di un solo seme.
La sequenza carte coperte, scoperte risponde alla legge Bernoulliana.
La probabilità che tutte le carte cadano a dorso in su è:

p(0)=(1/2)^13, (non registro nessun totale); che solo una carta cada a faccia in su è:

p(1)=((1/2)^13)*13!/(1!*12!) ora solo se questa è il re il nostro numero è divisibile per 13 allora abbiamo:

p(1;13)=((1/2)^13)*13!/(1!*12!)*(1/13)=(1/2)^13, continuando con i casi 2,3,4,5..13 carte scoperte avremo:

p(2)=((1/2)^13)*13!/(2!*11!) allora p(2;13)=((1/2)^13)*13!/(2!*11!)*(1/13)=6*(1/2)^13

p(3)=((1/2)^13)*13!/(3!*10!) allora P(3;13)=((1/2)^13)*13!/(3!*10!)*(1/13)=22*(1/2)^13

p(4;13)=((1/2)^13)*13!/(4!*9!)*(1/13)=55*(1/2)^13

p(5;13)=((1/2)^13)*13!/(5!*8!)*(1/13)=99*(1/2)^13

P(6;13)=((1/2)^13)*13!/(6!*7!)*(1/13)=132*(1/2)^13

P(7;13)=P(6;13)

P(8;13)=p(5;13)

P(9;13)=p(4;13)

P(10;13)=P(3;13)

P(11;13)=P(2;13)

P(12;13)=P(1;13)

P(13;13)=P(0;13)

La probabilità che una qualsiasi sequenza di carte con faccia in su abbia un totale divisibile per 13 allora vale:

p(13k)=p(1;13)+p(2;13)+p(3;13)+....P(13;13)=(1/2)^13*(1+6+22+55+99+132+132+99+55+22+6+1)=630/8192=7.69%

[franco]

Ehm

Il fatto che sotto la firma abbia aggiunto una citazione di Bernoulli non significa che io sappia cos'è la

... legge Bernoulliana

Mi chiarisci (in modo semplice se possibile) il ragionamento?

....

Peraltro anche in questo caso siamo appena appena sotto $\frac{630}{8190}$

cial

[David]

Quando la probabilità di un evento non varia tra una prova e l'altra (esempio se continuo a tirare un dado la probabilità che esca 6
vale sempre 1/6) si dice che la variabile aleatoria ha distribuzione di probabilità binomiale o bernoulliana (Jacques Bernoulli la analizzò verso la fine del XVII secolo)

Esempio qual'è la probabilità che lanciando 7 volte un dado otteniamo 3 volte il "6"?

Un possibile successo è dato dalla sequenza 666xxxx, la probabilità relativa vale:
p(666xxxx)=((1/6)^3)*((5/6)^4), ma i modi in cui si possono distribuire 3 "6" in una sequenza di 7 cifre sono:

m(6)=7!/(3!*4!) allora la probabilità cercata vale:

p=7!/(3!*4!)*((1/6)^3)*((5/6)^4).

Quindi per prove bernoulliane la probabilità di ottenere x successi in n prove vale:

p(x)=(p^x)*(1 - p)^(n - x)*n!/(x!*(n - x)!) ove p è la probabilità di successo e 1-p la probabilità di insuccesso.

Nel nostro caso p=0.5 (probabilità che una carta cada presentando il seme) e 1-p=0.5 (probabilità che una carta si presenti col dorso)
Allora il primo caso da analizzare è l'evento 12 carte ci presentano il dorso e una sola carta ci svela il suo valore:

p1=(0.5^1)*(0.5^12)*(13!/(1!*12!)=13/8192 ma l'unico caso in cui il punteggio della carta sia divisibile per 13 è quando tale carta
è il re percio' tale probabilità in questo contesto vale:
p(1;13)=(1/13)*(13/8192)=1/8192

p2(2 carte scoperte)=(0.5^2)*(0.5^11)*(13!/(2!*11!)=78/8192 ci chiediamo di queste 78 combinazioni quante sono divisibili per
13?
Con 2 carte scoperte abbiamo la possibilità solamente di ottenere un 13 come somma,ci sono solo 6 modi:
{12+1;11+2;10+3;9+4;8+5;7+6} , 6/78=1/13 allora:
p(2;13)=1/13*(78/8192)=6/8192

p3(3 carte scoperte)=(0.5^3)*(0.5^10)*(13!/(3!*10!)=286/8192 anche qui di queste 286 combinazioni quante sono divisibili per
13?
Con 3 carte le cose si complicano un pò poichè posso ottenere i punteggi di 13 e 26:
{10+2+1;9+3+1;8+4+1;8+3+2;7+5+1;7+4+2;6+5+2;6+4+3};{13+12+1;13+11+2;13+10+3;13+9+4;13+8+5;13+7+6;12+11+3;+12+10+4;12+9+5;12+8+6;11+10+5;11+9+6;11+8+7;10+9+7}
ottenendo in totale 22 combinazioni divisibili per 13, essendo 22/286=1/13 si ha:

p(3;13)=1/13*(286/8192)=22/8192

Questo ragionamento si prosegue sino a calcolare p(6;13) poi per la simmetria della distribuzione troviamo i restanti valori,in effetti ad esempio p(12;13)=p(1;13) poichè quando tutte le carte risultano scoperte tranne una, allora il punteggio delle 12 carte sarà divisibile per 13 quando l'unica carta coperta risulta il re.(La differenza fra un numero divisibile per 13 [il totale del punteggio delle 13 carte ,13*14/2=91] e un numero k sarà divisibile per 13 quando k è a sua volta divisibile per 13)

Spero di averti dato un barlume di spiegazione.Ciao

[panurgo]

Ciao, David: con un solo seme di tredici carte la probabilità è $\frac{632}{8192}$.

Quando tutte le carte sono coperte il totale è zero che è divisibile per tredici così come è divisibile per tredici il totale delle tredici carte: se il totale delle carte scoperte è divisibile per tredici deve essere divisibile per tredici anche il totale delle carte coperte perché il totale di tutte le carte lo è.

[David]

Infatti il totale delle 13 carte a faccia in su (91) è incluso nel mio calcolo{p(13k)=p(1;13)+p(2;13)+p(3;13)+....P(13;13)},poi ho dimenticato un +1 per strada(chiedo venia) ;non lo è lo 0 poichè l'enunciato del problema chiede di sommare i punteggi delle carte a faccia in su,quando tutte le carte sono invece a dorso in su non è richiesto tale punteggio(0) quindi non deve rientrare nella casistica dei punteggi divisibili per 13.Perciò la probabilità è 631/8192
Ciao