Il Rettangolone

[David]

Renatino ha a disposizione tanti fogli di carta,rettangolari a quadretti con i lati rispettivamente di 50 quadretti il lato minore e 100 quadretti quello maggiore.

Egli deve attaccarne un pò fra di loro (unendo lati lunghi con lati lunghi e lati corti con lati corti) unendoli lungo i bordi in guisa di formare un mega foglio rettangolare sul quale riuscirà a tracciare un rettangolo di "n" x "m" quadretti da lui calcolato.

In effetti l'area di questo rettangolo sarà equivalente alla somma delle aree di 2 quadrati differenti fra loro , rispettivamente di lati
"p" quadretti e "q" quadretti.

Renatino avendo appurato che ci sono 8 coppie diverse di tali quadrati, garantenti l'uguaglianza delle aree citata,sta pensando
quale sia il numero minimo di fogli che dovrà unire per tracciare il più piccolo rettangolone (intendendo per più piccolo quello di area minore)
esistente da lui trovato.

Quanti fogli userà?

[eugenio.amitrano]

Sto diventando vecchietto....
...ho qualche difficoltà a comprendere il problema.
Potresti ripostarlo, magari semplificandolo un pochino?

[David]

Ok,perdiamo un pò in suggestione ma del resto prima di tutto la chiarezza,fondamentalmente tralasciando gli arzigogoli:

Qual'è il più piccolo numero intero che si può scrivere in 8 modi differenti come somma di 2 quadrati?

[eugenio.amitrano]

Qual'è il più piccolo numero intero che si può scrivere in 8 modi differenti come somma di 2 quadrati?

Mi puoi fare un esempio numerico per un numero che non sia il più piccolo?

[0-§]

Qual'è il più piccolo numero intero che si può scrivere in 8 modi differenti come somma di 2 quadrati?

Mi puoi fare un esempio numerico per un numero che non sia il più piccolo?

Se ho capito il senso del problema, un numero che soddisfa tutti i requisiti (tranne quello di essere il più piccolo tra i suoi simili) è 160225.
Infatti si può esprimere come somma di due quadrati in ben 12 modi, eccoli:
(15, 400), (32, 399), (76, 393), (81, 392), (113, 384), (140, 375), (175, 360), (183, 356), (216, 337), (228, 329), (252, 311), (265, 300).
Ad esempio infatti 76^2+393^2=5776+154449=160225.
Il problema è banale se affrontato (forse è meglio dire "aggredito") con un programmino all'uopo; arrivare alla risposta esatta utilizzando di più il cervello biologico e di meno quello elettronico è decisamente più complesso e al di là, temo, della mia portata.
Chi si cimenta?

Buone mottolate a tutti,
0-§

[eugenio.amitrano]

Problema veramente simpatico...
...come giustamente diceva 0-§ la soluzione non è affatto banale!
Un buon punto di partenza....le terne piatagoriche.

[panurgo]

$27625\/=\/20^{\script 2}\/+\/165^{\script 2}\/=\/27^{\script 2}\/+\/164^{\script 2}\/=\/45^{\script 2}\/+\/160^{\script 2}\/=\/60^{\script 2}\/+\/155^{\script 2}\/=\/83^{\script 2}\/+\/144^{\script 2}\/=\/88^{\script 2}\/+\/141^{\script 2}\/=\/101^{\script 2}\/+\/132^{\script 2}\/=\/115^{\script 2}\/+\/120^{\script 2}$

Nei sacri testi (BEILER AH, Recreations in the Theory of Numbers) si trova scritto che un numero

$N\/=\/2^{\script 2a_{\tiny 0}}\/p_{\script 1}^{\script 2a_{\tiny 1}}\/p_{\script 2}^{\script 2a_{\tiny 2}}\/p_{\script 3}^{\script 2a_{\tiny 3}}\cdots\/q_{\script 1}^{\script b_{\tiny 1}}\/q_{\script 2}^{\script b_{\tiny 2}}\/q_{\script 3}^{\script b_{\tiny 3}}\cdots$

dove i $p_{\script i}$ sono primi della forma $4k\/-\/1$ e i $q_{\script i}$ sono primi della forma $4k\/+\/1$ è partizionabile in due quadrati in

$\frac {\left (b_{\script 1}\/+\/1\right)\/\left (b_{\script 2}\/+\/1\right)\/\left (b_{\script 2}\/+\/1\right)\cdots} 2$

modi diversi se tutti i $b_{\script i}$ sono dispari e in

$\frac {\left (b_{\script 1}\/+\/1\right)\/\left (b_{\script 2}\/+\/1\right)\/\left (b_{\script 2}\/+\/1\right)\cdots} 2\/-\/\frac12$

se almeno uno di essi è pari.
Le potenze di $2$ e dei $p_{\script i}$ non contribuiscono ad aumentare il numero di partizioni in due quadrati quindi pongo $a_{\script i}\/=\/0$; noi vogliamo un numero partizionabile in otto modi diversi quindi

$\left (b_{\script 1}\/+\/1\right)\/\left (b_{\script 2}\/+\/1\right)\/\left (b_{\script 2}\/+\/1\right)\cdots\/\in\/\left\{16,17\right\}$

Nel secondo caso tutti i $b_{\script i}$ devono essere $0$ tranne uno ($17$ è primo) e ovviamente deve essere $b_{\script 1}\/=\/16$, l'esponente del $5$, il primo $q$.
Ma si può fare sicuramente di meglio: infatti $5^{\script 15}\/<\/5^{\script 16}$ e ricadiamo nel primo caso.
$16$ è fattorizzabile anche come $8\/\times\/2$, $4\/\times\/4$, $4\/\times\/2\/\times\/2$ e $2\/\times\/2\/\times\/2\/\times\/2$ corrispondenti a

$5^{\script 7}\/\times\/13 \\ 5^{\script 3}\/\times\/13^{\script 3} \\ 5^{\script 3}\/\times\/13\/\times\/17 \\ 5\/\times\/13\/\times\/17\/\times\/29$

Il più piccolo di questi numeri è $5^{\script 3}\/\times\/13\/\times\/17\/=\/27625$: le partizioni in due quadrati le ho trovate con l'ausilio del PC perché è necessaria una dose di algebra assolutamente insostenibile per ottenerli a manina...