problema probabilità

[pam6203]

Spero vivamente di trovare un aiuto in questo forum, come mi è accaduto in passato.
Sono ancora debitore di un ringraziamento al cortesissimo Pietro Vitelli per il suo prezioso metodo sulla questione “divisibilità”.

Scrivo adesso per un altro motivo.

Per caso sono arrivato sul sito Nick’s mathematical puzzles, da cui ho imparato tante cose, per esempio il subfattoriale (problema 26)

Adesso sono nei guai col problema 24 dello stesso sito.
Sono andato a vedere la soluzione del problema ma non riesco a fare funzionare la formula dell’esempio citato, dove dice:
p(12,6)=0,438
p(11,6)=0,514

Qualcuno può dirmi come si arriva a quei risultati?

Se non sono stato chiaro vedrò di spiegarmi meglio.

Grazie in anticipo.

Pam

[franco]

Non conoscevo questo sito, vedo un sacco di problemi interessanti!

In particolare il numero 24, che tu citi, è questo:

What is the minimum number of times a fair die must be thrown for there to be at least an even chance that all scores appear at least once? (Computer assistance advisable.)
Qual'è il numero minimo di volte che si deve lanciare un dado (onesto) affinchè vi sia almeno il 50% di probabilità di vedere uscire almeno una volta tutti i punteggi?

Sul sito abbiamo discusso un quesito diverso nella formulazione ma simile nel concetto:

Il maestro unico

Prova a vedere se ti può essere utile!

(io intanto provo a risolvere il quesito senza sbirciare la soluzione di Nick )

ciao

[pam6203]

Grazie Franco,

Sono meravigliato per la velocità e la competenza della risposta.

Sto elaborando il MAESTRO UNICO che mi hai suggerito, certo il problema è molto simile.
Mi ci vorrà del tempo per digerirlo.

Sono contento di averti segnalato i problemi di Nick, una vera miniera di idee.
Come ti dicevo ho imparato molto dal problema 26.
Probabilmente tu conoscevi già il metodo, ma per me è stata una novità completamente inaspettata.

Quando potrai mi interesserà molto se mi spiegherai la soluzione pubblicata da Nick per il problema 24.

Grazie ancora.

Ciao.

Pam

[franco]

Ho preso la scorciatoia e, come del resto consigliato dall'autore del problema, mi sono fatto "assistere" dal PC.

Il risultato (da verificare visto che ancora non ho guardato la soluzione) è pari a 13; infatti dopo 13 lanci mi risulta una probabilità del 51,39% circa di aver visto le sei facce del dado (dopo 12 lanci la probabilità era del 43,78%).

Usando la notazione P(n,m) per indicare la probabilità di vedere m valori diversi dopo n lanci e partendo dall' evidente P(1,1)=1 e P(1,m)=0 (per m>1), ho utilizzato un calcolo ricorsivo con questa formula:
$P\left( {n,m} \right) = P\left( {n - 1,m} \right){m \over 6} + P\left( {n - 1,m - 1} \right)\left( {1 - {{\left( {m - 1} \right)} \over 6}} \right)$

E' probabile che si riesca a trovare una "formula chiusa" per il generico P(n,6) con metodi più che ortodossi ma a me suona molto bene l'utilizzo di un foglio elettronico per una formula di questo tipo e quindi mi sono limitato a fare una tabellina in OpOffCalc e leggere i risultati.

ciao

[franco]

...
Sul sito abbiamo discusso un quesito diverso nella formulazione ma simile nel concetto:

Il maestro unico

...

In realtà il problema del maestro unico è più simile al problema numero 25 del sito citato da Pam:

What is the expected number of times a fair die must be thrown until all scores appear at least once?
Qual'è il mumero atteso di lanci di dado affinche appaiano almeno una volta tutti i valori?

ciao