Irrazionali

[ronfo]

Mi è capitato girovagando in internet di imbattermi in una lezione sui numeri irrazionali... tra le altre cose ad un certo punto si è detto che la rappresentazione decimale degli irrazionali è del tipo NON periodica (ovvio).
Ciò mi ha fatto sorgere una domanda : in un numero irrazionale qualsiasi (es. radice di 2)andando avanti a sufficenza nella sequenza di cifre posso trovare una serie predefinita di cifre ( es. 123456 ) oppure non riuscirò MAI a soddisfare questa richiesta???
Se è dimostrabile la prima ipotesi allora in un qualsiasi numero irrazionale posso trovare TUTTE le sequenze di cifre che voglio!!!
O no ???
CIAO

[delfo52]

ricordo di aver letto al proposito un apologo (forse di Borges), in cui si ipotizzava che, trasformando le cifre in lettere, nei decimali di radice di 2, c'era tutta la divina commedia, e tutte le tragedie di Shakespeare, anche tradotte in tutte le lingue del globo, e anche tradotte in lingue inesistenti...
Ma non ricordo se si diceva che "era così" o se era solo una congettura.
Siamo al punto di partenza.

Passando dalla situazione più assurda a richieste più miti, come la tua, prenderei in esame una condizione ancora più facile da studiare,come "una sequenza di n cifre disparii".
Quattro dispari in fila non è difficile trovarli: una quartina ogni sedici, in media, va bene.
Allungando l'analisi, non sembra illogico prevedere che anche sequenze lunghe alla fine compaiano. Però...
Siamo al punto di partenza

[franco]

Io pensavo di semplificarla ancora di più:
assumiamo una sequenza di due cifre a caso (ad esempio 01); è possibile scrivere un numero non periodico tale che nella parte decimale non compaia tale sequenza?
Istintivamente mi viene da pensare che prima o poi esaurirò le possibili varianti ma ad essere sincero non saprei da che parte cominciare per fare una qualche dimostrazione.

ciao

[franco]

Neanche il tempo di cliccare "invia" che mi si è accesa una lampadina.

Semplificare per semplificare, tanto vale pensare ad un numero in base 2 e vedere se riesco a scriverne uno non periodico senza che compaia la sequenza 00 a destra della virgola.
Potrebbe esserci questo:
0,10110111011110111110111111011111110111111110111111111011111111110.....
(la striscia di 1 consecutivi intervallati da un'unico 0 si allunga di un'unità per volta sino all'infinito)

Mi sa che tale numero non sia esprimibile sotto forma di frazione (*) e che quindi possa essere considerato a tutti gli effetti un'irrazionale ma allora ...
Esiste un numero irrazionale in cui posso NON trovare tutte le sequenze di cifre che voglio!

ciao

(*) qui c'è la mia quota di dubbio: sarà vero? o c'è qualche altro metodo di razionalizzazione oltre alla vecchia storia dei periodi ed antiperiodi?

[Pasquale]

Mi "sembra" di "intuire", poco matematicamente, che la sequenza di un numero irrazionale sia poco prevedibile, alla stregua di una casuale generazione di numeri; secondo questa visione, la sequenza proiettata all'infinito conterrebbe ogni tipo di sottosequenza, di ordine fimito o infinito, tale da contenere o escludere qualsiasi cosa, compresa una sottosequenza periodica o ad essa tendente.

In passato abbiamo già discusso di questo argomento e non ricordo quando e quali le conclusioni, ma ad ogni buon fine, allego un programmino in Decimal Basic, che suona un motivetto tratto da pigreco ed un altro tratto da una sequenza casuale:

!'(abilitare la doppia precisione e premere spazio per terminare)

LET a=FP(PI)
LET a$=right$(STR$(a),997)
DO
FOR m=1 TO 997 STEP 2
LET x=VAL(mid$(a$,m,2))
beep 10*x,4*x
CHARACTER INPUT nowait:e$
IF e$=" " THEN EXIT DO
next M
LOOP UNTIL e$ = " "

RANDOMIZE
DO
LET x=50+INT(RND*100)
beep 7*x,3*x
CHARACTER INPUT nowait:e$
LOOP UNTIL e$=" "

END

Una volta lanciato, il programma inizia a suonare pigreco e poi, se si preme la barra spaziatrice, passa ad eseguire lo spartito di un numero casuale: non si nota alcuna interruzione o differenza nel motivo suonato, come se mai fosse stata premuta la barra spaziatrice, ma se la si preme nuovamente, l'esecuzione si arresta, con questo significando che il passaggio alla seconda fase del programma c'è stato (dalla sequenza dei decimali di pigreco a quella di un numero casuale).
Si nota un'affinità, anzi un'identità fra i due motivi, traduzioni musicali delle rispettive sequenze numeriche che hanno generato tali sonorità; con questo pretendendo di aver dimostrato in tale astruso procedimento, la parentela fra le due entità (numero irrazionale e numero casuale) e dunque le proprietà che le contraddistinguono, come all'inizio enunciate.
Chiedo scusa ai matematici seri, per questo tentativo di......"dimostrazione ad orecchio"

[infinito]

Quanto ha scritto Franco due post fa è corretto.

Il concetto è quello espresso da Pasquale:

«Nell'immaginario collettivo l'idea di numero irrazionale è quella di un “numero casuale”».

Questo credo sia dovuto alla nostra idea che «Ciò che non si conosce è “a caso”».

Così “è casuale” la posizione dei numeri primi all'interno dei naturali, oppure i tempi di vincita nelle macchinette “mangiasoldi”, oppure i discorsi delle donne (“degli uomini”, se chi mi ascolta è donna), ecc.

Però, conoscendo la rappresentazione dei reali come successione di cifre della base B (in base dieci cifre di B¹° = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ), possimo definire i numeri irrazionali come quelli dati da successioni “non periodiche”, per cui si possono trovare “tantissime” successioni “non casuali”,
per esempio quella data da Franco;
oppure qualunque numero irrazionale scritto con un sottoinsieme proprio di B¹° (cioè non utilizzando qualche cifra, per esempio il “9”);



oppure questo esempio, che mi pare particolarmente carino,
scelta la sequenza S che vogliamo non ci sia, si trovava così il numero “g” che si trova così:

a) si sceglie la sequenza S che vogliamo non ci sia,
supponiamo abbia n cifre,
supponiamo che non inizi e non finisca per “0” (se lo facesse sceglieremmo un'altra cifra diversa dalla prima e dall'ultima da usare sotto al posto dello “0”);

b) sia F un insieme ordinato formato da tutte le sequenza finite di cifre di B¹° (“ovviamente” F è numerabile);

c) sia U il “sottoinsieme ordinato” di F ottenuto eliminando le sequenze che hanno S come “sottosequenze”;

d) sia g il numero reale dato dalla sequenza di cifre così ottenuta:
si inizia con “0,”
poi si fanno seguire, nell'ordine, tutte le cifre del 1° elemento di U,
poi si fanno seguire n “0”,
poi si fanno seguire, nell'ordine, tutte le cifre del 2° elemento di U,
poi si fanno seguire n “0”,
poi si fanno seguire, nell'ordine, tutte le cifre del 3° elemento di U,
poi si fanno seguire n “0”,
…..........
poi si fanno seguire n “0”,
poi si fanno seguire, nell'ordine, tutte le cifre dell n° elemento di U,
poi si fanno seguire n “0”,
…..........



il numero “g” è un numero con questa interessante caratteristica:
- si possono trovare tutte le sequenze che non hanno S come sottosequenza,
- non è possibile trovare S come sottosequenza.

La prima proprietà è “ovvia”, per la seconda basta osservare che S non può stare né nei tratti derivati dagli elementi di U (non c'è, per costruzione), né nelle sequenze di “0” (non inizia per “0”), né avere una parte in un elemento di U e un'altra nella sequenza di “0” (se fosse così dovrebbe iniziare o finire per “0”, oppure avere inizi

per ipotesi non può né iniziare né finire con la sequenza di “0”, e non può averla al suo interno, visto che entrambi hanno n cifre).










Credo che allora la domanda potrebbe essere:
«Ma allora se si escludono i numeri “facili”, e si considerassero i numeri trascendenti … È possibile trovare qualunque sequenza … »

La risposta è ovviamente “no”, anche se potrebbe non esserci una “facile” dimostrazione …

Invece mi pare che ci sia. Basta considerare la definizione di numero trascendente (numero reale non algebrico) e che:

- l'insieme dei numeri algebrici A ha la cardinalità del numerabile;
- l'insieme dei numeri trascendenti T ha la cardinalità del continuo.

Allora
se considero l'insieme V ottenuto da T sostituendo tutti i suoi elementi (i numeri trascendenti) con quelli ottenuti intervallando tutte le cifre con uno “0” (cioè, per esempio, da “3,1415926535 ….” si otterrebbe “30,10401050902060503050 ….”;
V ha la cardinalità del continuo (è in corrispondenza biunivoca con T);
Considero il sottoinsieme M di V formato dai suoi elementi trascendenti;
M ha la cardinalità del continuo, perché V = M U A (M unito A)
Quindi abbiamo trovato un insieme continuo di numeri trascendenti, per ognuno dei quali non è possibile trovare una sottosequenza che abbia due cifre consequtive diverse da “0”.

[Daniela]

i numeri "facili" che si chiamano computabili (quelli che possono essere ricavati da una sequenza numerabile - eventualmente di lunghezza non finita - di istruzioni per macchine di turing) sono non soltanto una percentuale infinitesima al di la' dell'immaginabile dei reali, ma - loro e la loro struttura - non raschiano neanche minimamente l'intonaco della profondissima e intricata struttura dei reali..... Cosi' come le funzioni computabili non raschiano neanche l'intonaco delle strutture di spazi funzionali, di funzioni misurabili, mu-misurabili, integrabili, ecc... Non dimentichiamolo