BASE CINQUE FORUM

Ciao a tutti,
faccio di nuovo capolino nel forum da cui mancavo da qualche settimana (lavoro, lavoro, lavoro...).

Vi offro un quesito che mi sembra carino, trovato nel solito sito Francese, sul quale non ho neanche cominciato a pensare:

Il fachiro Ragdalam e la sua assistente madame Yamilah prima di entrare in scena al Music Hall Palace vogliono far colpo sul professor Bo che gironzola dietro le quinte.
In assenza di madame Yamilah, Ragdalam chiede al professore di scrivere un numero intero $N$ molto grande, che abbia almeno $n_0$ cifre.
Il fachiro quindi copre due cifre adiacenti fra le $n$ della sequenza che compone il numero $N$.
A questo punto madame Yamilah fa il suo ingresso ed indovina le due cifre mancanti nell'ordine corretto affermando che non ha neanche avuto bisogno di utilizzare le sue doti di veggente.
E' possibile?
Se si, qual'è il valore minimo di $n_0$ che Ragdalam può dare al professore e come ha fatto madame Yamilah a trovare le cifre mancanti?
Se no, dedicatevi alla lettura di "Le sette sfere di cristallo" per avere lumi sullo spettacolo del fachiro e della sua assistente.

Fonte: Olimpiadi della Matematica (Russia)

Ciao

se il numero è mooooooooooooooolto grande, in esso prima o poi comparirà la stessa cifra ripetuta tre volte di seguito; il fachiro copre la seconda e la terza della tripletta

delfo52 ha scritto:se il numero è mooooooooooooooolto grande, in esso prima o poi comparirà la stessa cifra ripetuta tre volte di seguito; il fachiro copre la seconda e la terza della tripletta

Non è detto. Il numero potrebbe essere nella forma 7878787878787878..... oppure 1234321234321234.... o ancora millanta forme diverse che non presentino cifre ripetute tre volte di seguito (neanche due volte, in linea di principio).

ciao

Enrico ha dato un'idea, anche se sbagliata.

Anch'io, prendendo spunto dalla sua, ne do un'altra che è sbagliata.

Questo perché spero che in questo modo si possa arrivare alla risposta corretta per “aggiustamenti successivi”.


«Se il numero è abbastanza grande, in esso prima o poi comparirà la stessa coppia di cifre (come dire: “numero di due cifre”) ripetuta tre volte di seguito; il fachiro copre la terza coppia.»

E un numero è abbastanza grande è 402 (in realtà basta molto meno, forse la metà), perché con 2 cifre posso scrivere 100 numeri (che quindi mi impegnano 200 cifre), perciò se ne scrivo 200 ne ho o almeno 3 uguali oppure tutti “doppi”; con 201 sono quindi sicuro che ne ho almeno 3 uguali.



Nell'esempio 7878787878787878..... la doppietta è data dalla 5ª e 6ª cifra (appunto la 3ª volta che compare la coppia “78”), per cui se si coprono queste due cifre si possono “indovinare” dicendo la coppia che compare due volte nella prima parte del numero.

Nell'esempio 1234321234321234.... invece le due cifre sono la 13ª e la 14ª (“12”).





L'idea è sbagliata perché, contrariamente al caso di Enrico, che si può non presentare, qui si possono avere più coppie.
Per esempio se un numero inizia con “12345123156789” si coprono le successive 2 cifre se queste sono “12”, “23”, “34” o “45”, senza poter distinguere i vari casi (indipendentemente dal resto del numero.

Io mi accorderei per coprire una sequenza di due cifre ab cosi determinata:
a e' la cifra che ha frequenza piu' elevata
b e' la cifra che fra le 10 possibili che seguono a, ha la frequenza piu elevata (una specie di ordinamento lessicografico)
ma anche questo e' sbagliato a meno di imporre requisiti non soltanto su n_0 ma anche sulla sua struttura, per disambiguare la mia proposta (ad esempio evitare che esistano piu' sequenze di due cifre che andrebbero bene). Il vantaggio e' mi pare che n_0 sarebbe molto piu piccolo rispetto alle proposte dei colleghi.

Nessuna idea, ma complimenti per la trasposizione del problema in chiave ligne claire basecinquina

essendo YZ i due numeri coperti, essendo Y posto in posizione X e Z in posizione X+1
si individuerà se

YZ=resto(X;100) (per X<10, con Y ovviamente =0)

sul quanto dovrà essere il min(X)| sia sempre individuabile lascio la parola ai matematici.

Massimo,

ho controllato la soluzione sul sito e mi sembra che tu ci abbia preso per quanto riguarda il metodo, quindi intanto complimenti!

però non ho capito bene nè quello che dici tu nè quello che dicono i solutori francesi (vuoi per la mia scarsa conoscenza della lingua, vuoi per la mia scarsa conoscenza della matematica ) quindi ti propongo questa simulazione:

io faccio la parte del professor Bo e scrivo questa sequenza casuale di cifre:

38764.59471.54826.48239.
27649.20190.02746.28349.
46662.83934.76284.93726.
48292.17464.78917.65423.
88937.25619.09388.73801.9

(i punti li ho messi solo per contare più facilmente le cifre che sono in tutto 101)

se tu fossi al posto di Ragdalam quali cifre nasconderesti?

ciao

franco ha scritto:Massimo,

ho controllato la soluzione sul sito e mi sembra che tu ci abbia preso per quanto riguarda il metodo, quindi intanto complimenti!

però non ho capito bene nè quello che dici tu nè quello che dicono i solutori francesi (vuoi per la mia scarsa conoscenza della lingua, vuoi per la mia scarsa conoscenza della matematica ) quindi ti propongo questa simulazione:

io faccio la parte del professor Bo e scrivo questa sequenza casuale di cifre:

38764.59471.54826.48239.
27649.20190.02746.28349.
46662.83934.76284.93726.
48292.17464.78917.65423.
88937.25619.09388.73801.9

(i punti li ho messi solo per contare più facilmente le cifre che sono in tutto 101)

se tu fossi al posto di Ragdalam quali cifre nasconderesti?

ciao

penso che min(X)|... sia un numero piuttosto altino...
alternativamente, oltre il 100, si possono considerare le prime due cifre anzichè il resto..

Io invece cancellerei questi altri:

38764.59471.54826.48239.
27649.20190.02746.28349.
46662.83934.76284.93726.
48292.17464.78917.65423.
88937.25619.09388.73801.9

Mi sembra evidente che in qualche modo debba esserci una corrispondenza fra la posizione delle cifre cancellate e la quantità di cifre che le precedono, o meglio ancora che le includono (così minimizziamo), però penso che occorra individuare l'algoritmo adottato dal cancellatore di cifre, evidentemente noto all'indovina, perché il semplice conteggio appare insufficiente.
Se per esempio dopo aver conteggiato 10 cifre, trovo 1 e 0 come nona e decima cifra, tutto va bene, ma se le cifre cancellate fossero 00, sarebbe bene che si trovassero in 99^ e 100^ posizione.
Non è detto che nelle posizioni 10 e 11 ci siano 1 e 1 e potremmo trovarci in presenza di una sequenza infinita di cifre in cui non troveremmo mai la corrispondenza fra le cifre conteggiate e la posizione occupata.
Quindi credo che necessiti studiare qualche altro "trucchetto", pur se connesso in qualche modo alla posizione delle cifre cancellate.
Poniamo che le cifre cancellate siano 12, che siano le prime trovate nella giusta posizione affinchè il modulo 100 della posizione corrisponda a 12, ma poniamo anche che tale posizione sia la 100000000000000012esima: non credo che si sarebbe potuto chiedere la trascrizione di un numero così grande; il gioco sarebbe stato impraticabile.

(il 76 che ho cancellato sopra segue il criterio delle cifre cancellate, incluse nel conteggio: il 6 del 76 si trova in 76esima posizione)

Il trucco mi sembra alquanto simile al seguente:

accordatevi con un amico di individuare un quadrato 10X10 in un foglio di carta a quadretti,esempio con un piccolo segno in prossimità della prima casella d'inizio o in qualsiasi altro modo senza che tale quadrato non sia individuato da una terza persona.
Chiedete poi alla terza persona di dirvi un numero qualsiasi di 10 cifre. Mentalmente sommate le cifre 2 a 2,esempio se il numero fosse 3478530119,sommate 34+78+53+01+19=185 che calcolato in modulo 100 vale 85.
Scrivete il numero partendo dall'ottantacinquesimo quadratino del vostro quadrato virtuale.
Dite alla terza persona ora di cancellare con un penarello nero 2 cifre consecutive a caso avendole prima memorizzate.
Fate ora entrare in gioco il vostro amico, egli vedrà che la prima cifra del numero è collocata sull'ottantacinquesimo quadratino e quindi sa che la somma delle cifre prese 2 a 2 vale 85 in modulo 100.
Eseguirà a sua volta la somma delle cifre 2 a 2 ponendo 0 nel calcolo le cifre mancanti.
Esempio ammettiamo che le 2 cifre depennate siano 53,allora la somma sarà:34+78+00+01+19=132.
Ossia 32 in modulo 100,egli ricaverà le 2 cifre mancanti semplicemente facendo 85-32=53.
Se le cifre cancellate sono in ordine pari,dispari anzichè dispari pari il trucco funziona ugualmente salvo ricordarsi di invertire le cifre calcolate, esempio vengono oscurate le cifre 85,allora il calcolo mentale darà 34+70+03+01+19=127,cioè 27 in modulo 100,ricaviamo dunque 85-27=58 che invertito da le cifre mancanti 85.

Nel caso allora del fachiro e della sua assistente il numero che il prof deve scrivere deve avere almeno 101 cifre poichè la prima cifra da coprire può variare da1 a 100.
Esempio se la somma del fachiro vale 5639,egli coprirà la 39esima e la 40esima cifra del numero pensato dal professore.