gerri scotti

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delfo52
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gerri scotti

Messaggio da delfo52 »

Ho appena visto in TV Il buon Gerri Scotti che poneva questa domanda:
Quanti raggi ha un cerchio?
Tra le possibili risposte (1, 2, 3 o infiniti) , quella data dal concorrente, e considerata corretta era "infiniti".
Prima di leggere le opzioni, io avrei risposto "uno" senza pensarci un secondo, considerando che ogni cerchio ha "il suo raggio" e solo quello. Ma anche dopo aver letto le quattro scelte, avrei considerato "infiniti" come una trappola.
Lo so; non è questione di vita o di morte, ma...esiste una definizione ufficiale ?
Enrico

franco
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Re: gerri scotti

Messaggio da franco »

Su Wikipedia si legge:

Raggio (geometria)
Secondo la definizione classica della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica, e l'altro estremo nel centro della figura.
Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento.


A dar retta alla prima frase la risposta esatta sarebbe "infiniti".
A dar retta alla seconda frase la risposta esatta sarebbe "uno".

L'arcano resta irrisolto :evil:

Devo dire che però, intuitivamente, io avrei risposto "infiniti" (a sentir parlare del raggio di un cerchio penso al segmento, non alla sua lunghezza).

Non oso pensare che per qualcuno la risposta esatta potesse essere "due" o "tre"!!

ciao
Franco

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infinito
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Re: gerri scotti

Messaggio da infinito »

Quoto Franco.

Mi pare un quesito simile a quello che a volte pongo ai miei sfortunati alunni:
"3 è una cifra o un numero?"

Non considerando che in diversi mi dicono che "una cifra" è "un numero grande" (e quindi che "3" non è una cifra), il problema mi pare sufficentemente chiaro:

«Il numero "3" è un numero e non è una cifra, la cifra "3" è una cifra e non è un numero.»

Può sembrare un gioco di parole, o più semplicemente una grave mancanza di precisione nelle definizioni, ma secondo me è più dello standard: non possiamo dare ad ogni ente definito un nome diverso, perché sarebbero troppi, un po' come quando chiamiamo le incognite sempre con gli stessi nomi, che poi sono nomi già usati per lettre dell'alfabeto.



franco ha scritto:Non oso pensare che per qualcuno la risposta esatta potesse essere "due" o "tre"!!
A me viene sempre spontaneo cercare i controesempi a tutte le affermazioni. così questa volta mi è venuto in mente quello che segue.

Faccio presente che spesso si chiamano "cerchi" anche i cerchioni (delle bici, dei motorini, ...), e "raggi" i fili metellici che li collegano al resto della bicicletta, quelli che a volte si chiamano anche in altri nomi ("razzi" o "razzini").

Ne consegue che potrei ripondere che i cerchi della mia bicicletta hanno 36 raggi ...
Gaspero

Ivana
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Re: gerri scotti

Messaggio da Ivana »

Avrei risposto "infiniti", in base alla definizione "canonica" di raggio, definizione riportata in vari testi scolastici e anche nel dizionario "Le parole della matematica" di S. Nicosia, CEDAM, 2001: "In una circonferenza, si dice raggio uno qualsiasi degli infiniti segmenti congruenti che congiungono un punto qualunque della circonferenza con il centro della circonferenza stessa".

In classe ho sempre detto che 3 è un numero di una sola cifra indicante le unità...
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infinito
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Re: gerri scotti

Messaggio da infinito »

Ivana ha scritto:...In classe ho sempre detto che 3 è un numero di una sola cifra indicante le unità...
Scusa Ivana, ti do sempre contro ...

Il numero "3" si può rappresentare in svariati modi diversi, per esempio "tre" (in italiano), "tri" (in esperanto), "III" (notazione romana), e in base due si può rappresentare come "11", che ha due cifre.

Spesso confondiamo un ente con ciò che lo rappresenta.

Per esempio sembra evidente che
a+a=2a .
Però il primo membro è una somma (e non è un prodotto di due fattori), mentre il secondo è un prodotto (e non è una somma di due addendi): come fanno ad essere uguali?


Quindi confermo quanto ho scritto sopra.

Poi non ho capito la tua parte finale: "... 3 è un numero di una sola cifra INDICANTE LE UNITÀ..."



Ivana ha scritto:Avrei risposto "infiniti", in base alla definizione "canonica" di raggio,...
anche qui: la definizione "canonica" di raggio COME SEGMENTO ..., perché c'è anche la definizione dell'altro concetto.
Infatti penso sche anche tu possa chiedere quanto è IL raggio di una certa circonferenza, oppure possa considerare che, dagti un punto C e un numero positivo r, sia ben definita la circonferenza di centro C e raggio r.
Anzi: nelle formule come quella che da la lunghezza della circonferenza, generalmente si considera che "r" sia il raggio, e non necessariamente "la lunghezza del raggio".


Ciao, Gaspero.
Gaspero

Ivana
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Re: gerri scotti

Messaggio da Ivana »

infinito ha scritto:
Ivana ha scritto:...In classe ho sempre detto che 3 è un numero di una sola cifra indicante le unità...
Scusa Ivana, ti do sempre contro ...

Il numero "3" si può rappresentare in svariati modi diversi, per esempio "tre" (in italiano), "tri" (in esperanto), "III" (notazione romana), e in base due si può rappresentare come "11", che ha due cifre.

Spesso confondiamo un ente con ciò che lo rappresenta.

Per esempio sembra evidente che
a+a=2a .
Però il primo membro è una somma (e non è un prodotto di due fattori), mentre il secondo è un prodotto (e non è una somma di due addendi): come fanno ad essere uguali?


Quindi confermo quanto ho scritto sopra.

Poi non ho capito la tua parte finale: "... 3 è un numero di una sola cifra INDICANTE LE UNITÀ..."



Ivana ha scritto:Avrei risposto "infiniti", in base alla definizione "canonica" di raggio,...
anche qui: la definizione "canonica" di raggio COME SEGMENTO ..., perché c'è anche la definizione dell'altro concetto.
Infatti penso sche anche tu possa chiedere quanto è IL raggio di una certa circonferenza, oppure possa considerare che, dagti un punto C e un numero positivo r, sia ben definita la circonferenza di centro C e raggio r.
Anzi: nelle formule come quella che da la lunghezza della circonferenza, generalmente si considera che "r" sia il raggio, e non necessariamente "la lunghezza del raggio".


Ciao, Gaspero.
In nessuno dei vari testi da me usati durante i miei tanti anni di servizio (compreso il dizionario di S. Nicosia già citato) c'è la definizione di raggio come lunghezza... Anche nei testi dei problemi ho sempre letto: cerchio con il raggio lungo...(misura del raggio), quindi il raggio viene identificato con il segmento, non con la lunghezza di tale segmento...
C'è il diritto di creare le definizioni preferite, ma credo che la definizione canonica di raggio identifichi il raggio con il segmento, non con la lunghezza...
Ho notato che
anche in Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Settore_circolare
il settore circolare è definito come la porzione di un cerchio racchiusa da due raggi e da un arco di circonferenza.
Se fosse identificato, canonicamente, il raggio con la sua misura, il settore circolare andrebbe definito diversamente, per non creare confusioni tra segmento e misura del segmento…
Insomma, c'è il diritto di creare le proprie definizioni, ma c'è l'obbligo di evitare le contraddizioni...

Anche nel manuale di geometria Cateni Fortini (usato da mia figlia durante il biennio del liceo scientifico) nella definizione il raggio è identificato solo con il segmento...
Nel volumetto "Lessico matematico" di Francesco Guadalupi si precisa che in geometria il raggio del cerchio è un segmento che congiunge il centro con un punto qualsiasi della circonferenza...

Nel sistema numerico posizionale in base dieci, il numero 3 è un numero di una sola cifra e tale cifra rappresenta le unità;
32 è un numero di due cifre e il tre rappresenta le decine ecc.
Se vogliamo usare altre basi, ritengo sia necessario, in un contesto formale, specificarlo a priori, o, almeno, usare l'opportuno pedice, per evitare confusioni. Es:
11_base2.gif
11_base2.gif (103 Byte) Visto 10537 volte
Nel “Lessico Matematico” di Francesco Guadalupi si legge:
"cifra (zero) – sia cifra che zero derivano da una stessa parola araba che, tramite il latino, è giunta a noi sotto la forma “cifra”, mentre tramite lo spagnolo ci è pervenuta sotto la forma “zero”.[…]
Qual è la ragione presumibile, per cui c’è stato tale sdoppiamento di significato? […]Il sistema di numerazione dell’India, decimale, e diffuso tra noi dagli Arabi, ha come caratteristica fondamentale, proprio l’uso dello zero, necessario per indicare il valore posizionale dei simboli.[...]
Oggi sono entrati nell’uso altri sistemi con base diversa da dieci, ma che comportano anch’essi l’uso dello zero, che è un segno distintivo di tutte le basi con struttura posizionale. [...]"


Per quanto riguarda: a+a=2a quale simbolo preferiresti fosse usato al posto del simbolo di uguaglianza?

Cari saluti
Ivana

P.S. Enrico, ti risulta che ci siano state contestazioni, a posteriori, per la risposta "infiniti" alla domanda del conduttore Scotti?
Grazie
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infinito
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Re: gerri scotti

Messaggio da infinito »

Ivana ha scritto:In nessuno dei vari testi da me usati durante i miei tanti anni di servizio (compreso il dizionario di S. Nicosia già citato) c'è la definizione di raggio come lunghezza... Anche nei testi dei problemi ho sempre letto: cerchio con il raggio lungo...(misura del raggio), quindi il raggio viene identificato con il segmento, non con la lunghezza di tale segmento...
C'è il diritto di creare le definizioni preferite, ma credo che la definizione canonica di raggio identifichi il raggio con il segmento, non con la lunghezza...
Ho notato che
anche in Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Settore_circolare
il settore circolare è definito come la porzione di un cerchio racchiusa da due raggi e da un arco di circonferenza.
Se fosse identificato, canonicamente, il raggio con la sua misura, il settore circolare andrebbe definito diversamente, per non creare confusioni tra segmento e misura del segmento…
Insomma, c'è il diritto di creare le proprie definizioni, ma c'è l'obbligo di evitare le contraddizioni...

Anche nel manuale di geometria Cateni Fortini (usato da mia figlia durante il biennio del liceo scientifico) nella definizione il raggio è identificato solo con il segmento...
Nel volumetto "Lessico matematico" di Francesco Guadalupi si precisa che in geometria il raggio del cerchio è un segmento che congiunge il centro con un punto qualsiasi della circonferenza...
Ivana, le passate esperienze di “incomprensioni” (poi finite “più che benissimo”) inducono a cercare di chiarirci bene su alcuni punti di possibile fraintendimeno, per cui ti faccio osservare che:

io non dico che il raggio non è un segmento, ma che ci sono due possibili definizioni diverse, una secondo cui il raggio è un segmento, e l'altra secondo cui è un numero (però, già che ci siamo, mi pare utile aggiungere che per raggio si può intendere anche un vettore, il “raggio vettore”, che è importantissimo in fisica, per esempio nel moto circolare uniforme succede che a = ²·r (il grassetto indica “vettore”) ).
Quindi non mi stupisce affatto che tu abbia trovato diverse definizioni che confermano che il raggio è un segmento, mi sarei stupito del contrario.
Perciò mi pare evidente che ti porto prove a sostegno di quello che ho detto sopra se trovo definizioni del fatto che con raggio si intende (oppure che “si può intendere”) un numero.



Allora, come ben sai, io ho studiato molto meno di te, conosco pochissimi testi e sono molto meno inserito nel “modo di pensare comune” (come ben sappiamo io non sono modesto, sono semplicememente ignorante, che è ben diverso).

Inoltre sai che mi piacerebbe che ci fossero delle definizioni ufficiali (sia pure come punto di riferimento) da parte di qualche ente, come per esempio l'UMI, ma ho capito che di fatto non ci sono ...


Così anch'io ho guardato in rete, ma cercando dove potei trovare la definizione di raggio come numero, in particolare ho cercato le diverse definizioni di circonferenza.
Questo perchè è molto comune dire “la circonferenza di centro C e raggio r”, intendendo che r è IL raggio, e non UN raggio, cioè intendendo che ce ne sia uno solo, che è praticamente equivalente a dire che è un numero.

quindi anch'io ho trovato su Wikipedia questa definizione http://it.wikipedia.org/wiki/Circonferenza" onclick="window.open(this.href);return false; “geometria euclidea, una circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di questi punti dal centro si definisce raggio”
Ne ho trovate anceh altre, ma non ne so valutare l'affidabilità (Wikipedia è affidabile?).
L'unica cosa di cui sono certo è la totale inaffidabilità di questa http://www.nienteperniente.it/pinl/robe ... dario.html" onclick="window.open(this.href);return false; “CIRCONFERENZA s.f.: Discorso (o lettura) a carattere culturale, tenuto davanti a un pubblico disposto in cerchio”.


Se invece vogliamo definire il “settore circolare” è chiaro che la cosa più naturale è farlo con due raggi intesi come segmento.
Però puoi osservare che nel link della “tua” definizione di settore circolare (su Wikipedia) la parola “raggi” è essa stessa un link, e questa rimanda alla definizione di raggio http://it.wikipedia.org/wiki/Raggio_(geometria" onclick="window.open(this.href);return false;) “Secondo la definizione classica della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica, e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio è la metà del diametro”, che mi sembra espliciti molto bene quello che dicevo sopra.




Tutto questo alimenta l'insieme delle riflessioni che da un po' di tempo ho iniziato a fare sulla matematica “reale”, quella “dei matematici”.
Infatti mi conferma l'impressione che mi sto facendo di una grossa difficoltà che hanno le persone a guardare le cose con “libertà”, senza farsi condizionare “troppo” dai “pregiudizi” (giudizi precedenti), e questo vale anche per i matematici, categoria che credevo caratterizzata da uno spiccato senso critico e ferrea capacità logica.

Fra l'altro il tutto mi invita anche a continuare a ridimensionare l'idea di “categoria di persone”, e ad essere molto possibilista nei confronti di chicchessia.

Ivana ha scritto:... Nel sistema numerico posizionale in base dieci, il numero 3 è un numero di una sola cifra e tale cifra rappresenta le unità;
32 è un numero di due cifre e il tre rappresenta le decine ecc.
Se vogliamo usare altre basi, ...
Qui, a tutto rigore, siamo OT, ma non così tanto.

Anche qui, comunque, bisogna cercare di capire quello che vogliamo dire, per cui ribadisco:

- il numero 3 è una cosa, ed ha una sua definizione, ma non va assolutamente confuso con il modo di rappresentarlo, infatti nonostante 1·3 = 2+1 = 3 , il primo membro dell'uguaglianza èun prodotto, mentre il secondo è una somma, proprietà che non riguardano il numero 3; le propreità del numero 3 sono invece che è dispari, che è primo, che è positivo, che è il primo primo non pari, ..., proprietà che valgono comunque si rappresenti (in base 10, in base 2, ma anche per i romani, i cinesi e chicchessia che “ragioni”).

- la cifra 3 è qualcosa di assolutamente diverso, e fra l'altro non è sempre uguale, si pensi, per esempio, a come si rappresenta su questo schermo e su alcuni orologi digitali (e per il 4 è ancora più evidente), tant'è che il numero tre si rappresenta anche in base due, dove la cifra tre non esiste proprio.
Il problema è che si chiamano nello stesso modo, ma è evidente che sono diversi, come il miop amico Luca ha lo stesso nome che diamo ad un evangelista, ma io so bene che sono due persone diverse.

- Anche qui, già che ci siamo, faccio presente una ulteriore differenza che non consideriamo quali mai: 3 come ordinale e come cardinale. Noi si confondono bellamente, mentre, per esempio, in esperanto hanno due nomi diversi: “nombroj” e “numeroj”.


Ivana ha scritto:... Per quanto riguarda: a+a=2a quale simbolo preferiresti fosse usato al posto del simbolo di uguaglianza? ...Ivana
No, va bene il simbolo, è che si tratta di cose diverse (per esempio un polinomio e il valore che questo assume)

Ciao, Gaspero.
Gaspero

delfo52
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Re: gerri scotti

Messaggio da delfo52 »

No, nessuna contestazione; anche perchè il concorrente ha risposto "giusto".
Enrico

Pasquale
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Re: gerri scotti

Messaggio da Pasquale »

Interessante discussione, ma permettetemi di citare anche il "raggio luminoso", il "raggio di sole", il "raggio laser", il "raggio di luna" e "Raggio di Luna", nome quest'ultimo spesso attribuito a qualche squaw indiana, almeno in qualche vecchio film che ho visto da piccino.
Anche qui si può notare la differenza fra un fenomeno fisico, una sua rappresentazione ideale ed un nome di persona.
Insomma, come al solito è questione d'intendersi, di premesse e precisazioni.
Per quanto riguarda i quizzzzzz che vengono proposti in TV, spesso e volentieri si sentono degli strafalcioni insiti nelle domande stesse, specialmente quando vertono su argomenti di natura scientifica. :cry:
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Ivana
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Re: gerri scotti

Messaggio da Ivana »

Grazie, Enrico…
Gaspero, nei manuali e nei dizionari da me usati io ho trovato finora esclusivamente la definizione “standard” di raggio come segmento, non ho trovato la definizione di raggio come misura.
So che tra gli addetti ai lavori si è soliti identificare, soprattutto a livello operativo, il raggio con la sua misura, ma ritengo che in un contesto di quiz, in televisione, si consideri valida soltanto la definizione "standard" di raggio come segmento, riportata nei dizionari e nei manuali.
Sì, non ci sono definizioni ufficiali, perché c’è libertà di scelta, ma credo che i dizionari e i manuali riportino le definizioni scelte dalla maggioranza della comunità scientifica.
Gaspero, io sono soltanto “secchiona” mentre tu hai quella grande immaginazione (unita alle capacità logiche!) che distingue il matematico dai non matematici…
Sì, Pasquale, credo che tutto dipenda dal contesto a cui si fa riferimento. Come dici tu, è questione di premesse e di precisazioni.
Inoltre, come sottolinea Bruno D’Amore, “numerosi sono gli esempi di rappresentazioni semiotiche il cui aspetto figurale si presta a differenti interpretazioni, dovute al registro nel quale si ritiene di doverle interpretare”.
Ora, io presumo che, in geometria, nel registro “tecnico operativo” sia usato il termine “raggio” identificandolo con la sua misura, ma nel registro geometrico di definizione “teorica” il termine raggio si identifichi solo con il segmento.
Riguardo al discorso di Gaspero sul numero 3, mi è venuto in mente l’articolo di D’Amore “Concettualizzazione, registri di rappresentazioni semiotiche e noetica”:
http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/articol ... oetica.pdf

Un caro saluto a tutti/e
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infinito
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Re: gerri scotti

Messaggio da infinito »

Ivana, vedo che abbiamo avuto die formazioni diverse (e come potrebbe essere altrimenti, vista la mia inaccettabile esperienza scolastica, in cui praticamente non ho fatto né asilo, né scuola elemntare?),
ma abbiamo anche diversa esperienza attuale.

Infatti "alla fine" (come dire "solo ora" - vedi che approccio diverso ho dal tuo, che, ripeto, non è "peggio del mio", anzi, sono solo molto diversi) sono andato a vedere sui miei libri di geometria (quelli per il nosrto liceo, che mi sono stati lo scorso anno per scegliere il testo da adottare) e ho visto che non concordano con quanto dici di aver visto sui tuoi.

In particolare ti riporto una definizione, quella del libro di Leonardo Sasso "Matematica a colori", edito da Petrini:
«Si chiama circonferenza di centro O e raggio r il luogo dei punti del piano che hanno distanza r dal punto O»
Nella definizione precedente il raggio r indica una lunghezza costante; tuttavia si chiama raggio anche ogni segmento che congiunge il centro O di una circonferenza con u cuo punto qualsisasi.
Gaspero

Ivana
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Re: gerri scotti

Messaggio da Ivana »

infinito ha scritto:Ivana, vedo che abbiamo avuto die formazioni diverse (e come potrebbe essere altrimenti, vista la mia inaccettabile esperienza scolastica, in cui praticamente non ho fatto né asilo, né scuola elemntare?),
ma abbiamo anche diversa esperienza attuale.

Infatti "alla fine" (come dire "solo ora" - vedi che approccio diverso ho dal tuo, che, ripeto, non è "peggio del mio", anzi, sono solo molto diversi) sono andato a vedere sui miei libri di geometria (quelli per il nosrto liceo, che mi sono stati lo scorso anno per scegliere il testo da adottare) e ho visto che non concordano con quanto dici di aver visto sui tuoi.

In particolare ti riporto una definizione, quella del libro di Leonardo Sasso "Matematica a colori", edito da Petrini:
«Si chiama circonferenza di centro O e raggio r il luogo dei punti del piano che hanno distanza r dal punto O»
Nella definizione precedente il raggio r indica una lunghezza costante; tuttavia si chiama raggio anche ogni segmento che congiunge il centro O di una circonferenza con u cuo punto qualsisasi.
In effetti...del diman non v'è certezza... :)
Credo che gli organizzatori del quiz televisivo abbiano consultato, o soltanto avuto in mente, la definizione riportata in dizionari e manuali simili a quelli da me conosciuti (alcuni dei quali ho precedentemente citato), ma dal momento che, come affermi, in altri manuali il raggio è definito come lunghezza, allora sarebbe indispensabile precisare (anche nelle domande di un quiz televisivo) a quale accezione del termine “raggio” si vuol fare riferimento.

Sono "anziana" :( quindi la mia formazione scolastica e professionale è lunga, ma...anche aperta a ogni...novità...
Poco fa ho dato un'occhiata al manuale "Geometria analitica e complementi di algebra" di Cateni-Bernardi-Maracchia, 1987 (usato da mia figlia al liceo scientifico) e ho notato che nel testo dei problemi si legge: "raggio di lunghezza...", "il raggio ha misura...", "la circonferenza ha raggio lungo..."
A quanto pare, i manuali nuovissimi, a cui fa riferimento Gaspero, riportano, invece, definizioni diverse rispetto alle definizioni riportate nei manuali da me citati, per cui ripeto: Sì, del diman non v'è certezza... :) :D
Ultima modifica di Ivana il sab mar 07, 2009 7:45 pm, modificato 1 volta in totale.
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Pasquale
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Re: gerri scotti

Messaggio da Pasquale »

.....e dunque:

ciascun apra ben gli orecchi,
di doman nessun si paschi;
oggi sian, giovani e vecchi,
lieti ognun, femmine e maschi;
ogni tristo pensier caschi:
facciam festa tuttavia.
Chi vuol esser lieto, sia:
di doman non c'è certezza.

(stralcio da Il trionfo di Bacco e Arianna di Lorenzo de' Medici)
Ultima modifica di Pasquale il lun mar 09, 2009 11:46 pm, modificato 2 volte in totale.
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Re: gerri scotti

Messaggio da Ivana »

Ottonari (scherzosi, ma non...troppo!) :) di Grazia Raffa e miei...

"Rigore" matematico

Mamma mia, divento matta
nel trattar di scienza esatta.

Oggi, del "raggio" del cerchio
io sollevo il coperchio;

ei non è solo segmento:
pur misura (che portento!).

Questo "raggio" galeotto
in due modi va tradotto:

quando "raggio" lo chiamiamo,
di lunghezza noi parliamo.

"Ogni cerchio ha il suo raggio",
uno solo, anche a maggio.

Con il nome di segmento
sono...stelle in firmamento.

C'entra la polisemia,
che il "rigore" porta via.

La chimera del "rigore"
a qualcuno spezza il cuore.

Euclidea geometria
non ha una sola via:

gli autori son burloni,
danno più definizioni.

Il trapezio – è senza veli -
ha due lati paralleli:

lo dice più d’un autore,
che così si fa onore.

Se almeno due lati
paralleli son segnati,

tutti i parallelogrammi
stanno bene nei lor panni,

son, cioè, trapezi veri
e di ciò ne vanno fieri.

Altri scritti consultati
dicon solo di due lati

paralleli, precisando,
quindi, altro non domando;

di trapezio qui parliamo
e, pertanto, confermiamo

che i parallelogrammi,
ancorché creino drammi,

e talvolta qualche screzio,
va da sé: non son “trapezio”.

La risposta si può dare
con la facoltà di optare;

definendo in libertà,
ognun "bene" sceglierà.

Grazia Raffa e Ivana Niccolai
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Pasquale
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Re: gerri scotti

Messaggio da Pasquale »

A quanto pare, il duo Grazia-Ivana funziona sempre egregiamente
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