Scambio di diagonale

[Pasquale]

Un lavorone Giò! Ma dove li vai a pescare questi incredibili quesiti?
Ogni volta che compare il tuo nome, c'è sempre da aspettarsi qualcosa di interessante e complicato: grazie.

[Sancho Panza]

Analizziamo una generica scacchiera NxN


Congettura 1 di Sancho Panza

La soluzione minima nel caso di N dispari e maggiore di 1 richiede $\frac{{7*N - 13}}{2}$ mosse

Congettura 2 di Sancho Panza

La soluzione minima nel caso di N pari e maggiore di 2 richiede $\frac{{7*N - 14}}{2}$ mosse


P.S.
Chiaramente le congetture hanno una loro giustificazione e ovviamente anche un metodo per trovare la soluzione per la scacchiera NxN (e spero sia la minima....)

Ad esempio, nel caso di N = 9
avremmo la seguente sequenza di mosse.

4D, 5D, 3D, 6D, 2D, 7D, 1D, 7S, 6S, 5S, 2D, 1D, 1D, 8D, 2D, 1D, 1D, 7D, 1D, 6D, 4D, 3D, 5D, 3D, 1D

La mia pretesa è: ritenere che questa sia la soluzione minima.
Non chiedetemi come sono riuscito a trovarla, non voglio dire nulla finché non sarò riuscito a dimostrare le mie due congetture. Anche se ciò dovesse significare aspettare tanto, tanto tempo.
La matematica non ha fretta!!!

Saludos amigos,
Sancho Panza

[giobimbo]

Vai, che sei sulla buona strada!
Beh, fino a N=9 compreso, i valori trovati con le tue formule corrispondono a tutti quelli conosciuti da J.P., il che fa ben sperare.

[Sancho Panza]

Salve,
non sono riuscito a dimostrare le mie congetture, per cui temo che siano false.
Vi spiego il mio metodo.

In una scacchiera NxN, calcolo m=Int(N/2)

Come prima mossa scelgo “m” e mi sposto a destra,
ad esempio nella scacchiera 10x10 la prima mossa è 5D
la mossa successiva è (m+1) verso destra se N è dispari o (m-1) verso destra se N è pari
ad esempio nella scacchiera 10x10 la seconda mossa è 4D

se N è dispari, le mosse successive dispari formano una successione decrescente rispetto alla prima mossa mentre le mosse pari formano una successione crescente fino a (N-2)
se N è pari, le mosse successive pari formano una successione decrescente rispetto alla seconda mossa mentre le mosse dispari formano una successione crescente fino a (N-2)
ad esempio nella scacchiera 10x10 si ottiene: 5D, 4D, 6D, 3D, 7D, 2D, 8D, 1D

Le successive (m-1) mosse formano una successione decrescente a partire da N-2, verso sinistra.
Ad esempio per N=10 si ha: 8S, 7S, 6S, 5S
E quindi le prime mosse sono: 5D, 4D, 6D, 3D, 7D, 2D, 8D, 1D, 8S, 7S, 6S, 5S

Ciò ci fa giungere alla seguente struttura della scacchiera:
(N-1), (N-2), ...,1,2,3,....,N

La mossa successiva sarà inviare (N-1) a destra
Ad esempio per N=10 si ha: 5D, 4D, 6D, 3D, 7D, 2D, 8D, 1D, 8S, 7S, 6S, 5S, 9D

E successivamente si sistemano alternativamente i numeri alti (in ordine rigorosamente decrescente) e quelli bassi (in ordine non sempre crescente) fino ad ottenere la fila ordinata.

Ad esempio per N=10 si ha: 5D, 4D, 6D, 3D, 7D, 2D, 8D, 1D, 8S, 7S, 6S, 5S, 9D, 2D, 2D, 8D, 1D, 1D, 1D, 1D, 1D, 1D, 7D, 4D, 6D, 3D, 3D, 5D

Lo so che la spiegazione è confusa (l’alternativa era rinunciare a spiegarlo), ma comunque questo metodo semiempirico non funziona sempre.
Ad esempio per N=11 ho trovato:

5D, 6D, 4D, 7D, 3D, 8D, 2D, 9D, 1D, 9S, 8S, 7S, 6S, 10D, 1D, 1D, 1D, 1D, 1D, 1D, 9D, 2D, 2D, 2D, 8D, 3D, 5D, 7D, 4D, 3D, 3D, 6D, 4D

Sono ben 33 mosse (troppe!!!)

Rinuncio quindi a dimostrare le congetture iniziali e ne azzardo una nuova.

NUOVA CONGETTURA

La soluzione minima per la scacchiera NxN non è mai inferiore a : $\frac{7}{2}*\left( {N - 2} \right)$

[Pasquale]

Direi che se una congettura vine dimostrata, allora diventa un teorema; per cui ritengo che una congettura resti valida finché non viene confutata.