La società Zero-Weekend

[franco]

Un nuovo problema con qualche attinenza col "paradosso dei compleanni" di cui abbiamo discusso qualche tempo fa.

La società Zero-Weekend opera in una nazione nella quale lo statuto dei lavoratori ha un valore trascurabile.
L'amministratore delegato, che casualmente occupa anche una posizione politica di vertice, è riuscito a far approvare una leggina secondo la quale tutti i weekend e le feste diventano giorni lavorativi! (in quella nazione anche il concetto di conflitto d'interesse è tenuto in scarsa considerazione)
I dipendenti, in cambio, ottengono che non si lavori in tutte le giornate nelle quali uno dei lavoratori stessi compie gli anni.
Come verrà dimensionato l'organico della società se i dirigenti vogliono massimizzare la produzione (intesa proporzionale al numero di lavoratori e al numero delle giornate lavorate)?

P.S. Consideriamo l'anno di 365 giorni e le date di nascita distribuite in maniera casuale.

ciao

[Pasquale]

Simulando, direi che intorno ai 363 lavoratori potrebbe andare.

[delfo52]

a naso, non vedo come una qualsiasi dimensione maggiore di UNO possa essere conveniente.
con uno stipendio, il capo ottiene 364 giornate lavorative. Con due operai, e due stipendi, i giorni lavorati saranno 363,qualcosina x 2 . in cui qualcosina è 1/365 cioè la probabilità che i due lavoratori condividano il compleanno. E' comunque un numero di ore lavorative totale inferiore al caso dell'impresa "singola".
Sempre a naso, non vedo come il trend possa invertirsi al crescere della forza lavoro.

[franco]

a naso, non vedo come una qualsiasi dimensione maggiore di UNO possa essere conveniente.
con uno stipendio, il capo ottiene 364 giornate lavorative. Con due operai, e due stipendi, i giorni lavorati saranno 363,qualcosina x 2 . in cui qualcosina è 1/365 cioè la probabilità che i due lavoratori condividano il compleanno. E' comunque un numero di ore lavorative totale inferiore al caso dell'impresa "singola".
Sempre a naso, non vedo come il trend possa invertirsi al crescere della forza lavoro.

Se l'obiettivo fosse la massimizzazione della produttività avresti sicuramente ragione.
Evidentemente però questa azienda ha un ottimo mercato per i propri prodotti e ne ottiene un discreto margine, tale da ritenere che sia meglio massimizzare la produzione!

Per chiarire meglio, con riferimento al tuo esempio ed ipotizzando una produttività pari a 1/unità/giorno/operaio, con un dipendente l'azienda paga 1 stipendio ed ottiene 364 unità di prodotto, con due dipendenti l'azienda paga 2 stipendi ma ottiene 726 unità di prodotto (728 se per caso i due hanno lo stesso compleanno). Gli utili non aumenteranno con la stessa proporzione ma c'è da credere che aumenteranno comunque!

ciao

[Pasquale]

Delfo, ero partito con la tua stessa convinzione, ma poché ho pensato che in quel modo il quesito sarebbe stato banale e non da Franco, rileggendo il testo "intesa proporzionale al numero di lavoratori e al numero delle giornate lavorate", ho letto "intesa direttamente proporzionale" ed a questo punto la soluzione si è complicata, da cui la decisione di passare alla simulazione, per capire l'andamento della funzione, che cresce fino ad un massimo e poi decresce (ho cercato di calcolare la quantità media dei compleanni, al variare del numero dei lavoratori).
La funzione considerata è: $Y_{max}= N[365-gc(N)]$, ove N=numero dei lavoratori e gc(N)=giornate probabili di compleanno al variare di N.

L'unico problema è che non sono sicuro di aver individuato la Y massima, che potrebbe essere anche 362 o 364, in quanto l'esecuzione del programma di simulazione è stata molto lenta e non ho potuto dedicare più tempo alla questione.

Il tutto salvo banali errori commessi nello svolgimento dl quizzzzzzz.

[franco]

Simulando, direi che intorno ai 363 lavoratori potrebbe andare.
... ... ...
... che potrebbe essere anche 362 o 364 ...

La tua simulazione da un risultato molto prossimo a quello che si può trovare analiticamente.

La soluzione che ho trovato è frutto di una ricerca su internet di possibili metodi per calcolare il "numero atteso compleanni diversi" in funzione del numero di lavoratori e quindi non è tutta farina del mio sacco.
Per il momento quindi attendo a scoprire le carte

ciao

[franco]

Ultimamente ho un po' trascurato il forum, preso come sono da altre attività.
Ero però in debito di una soluzione "ragionata" a questo quesito.
Eccola:

$n =$ numero di lavoratori
$C(n) =$ numero atteso di compleanni differenti
$L(n) = 365 - C(n) =$ numero atteso di giorni lavorativi
$P\left( n \right) = n L\left( n \right) =$ produzione totale

$C(1) = 1$
$C\left( 2 \right) = 1 + \left( {1 - {1 \over {365}}} \right) = 1 + {364 \over {365}}$
$C\left( 3 \right) = C\left( 2 \right) + \left( {1 - {{C\left( 2 \right)} \over {365}}} \right) = 1 + \left( {1 - {1 \over {365}}} \right) + \left( {1 - {{1 + \left( {1 - {1 \over {365}}} \right)} \over {365}}} \right) = 1 + {{364} \over {365}} + \left( {1 - {{1 + {{364} \over {365}}} \over {365}}} \right) = 1 + {{364} \over {365}} + \left( {{{364} \over {365}}} \right)^2$

proseguendo allo stesso modo...

$C\left( 4 \right) = 1 + {{364} \over {365}} + \left( {{{364} \over {365}}} \right)^2 + \left( {{{364} \over {365}}} \right)^3$

e quindi in generale, usando per comodità $x = {{364} \over {365}}$

$C\left( n \right) = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {x^i } = {{1 - x^n } \over {1 - x}}$
e
$P\left( n \right) = n\left( {365 - {{1 - x^n } \over {1 - x}}} \right)$

...(uff!!!)...

a questo punto si potrebbe partire con le derivate e calcolare il massimo di $P(n)$ ma siccome i fogli elettronici lavorano egregiamente (in particolare con variabili discrete) ho fatto una tabella da cui si evince che la produzione è massima quando $n = 364$.

In realtà anche con 365 si ottiene la stessa produzione totale ma c'è da credere che i dirigenti preferiscano risparmiare almeno un salario!

Vi convincono i conti?





P.S. c'è anche una morale ... ... la trovate?