CALCOLO DELLA VELOCITA'

[PTCRUISER79]

AVREI UN PICCOLO PROBLEMA:
DOVREI CALCOLARE LA RIDUZIONE DI VELOCITA' DI UN ASSE RISPETTO ALL'AUMENTO
DEL DIAMETRO DI ESSO PER POTER MANTENERE LA VELOCITA' PERIFERICA.

GRAZIE A TUTTI

[delfo52]

intendi qualcosa del genere ?
sono seduto all'esterno di una giostra di diametro=5 metri che ruota al ritmo di un giro ogni n secondi
la mia velocità rispetto al suolo è X
se la giostra si dilata e divento più larga, ma voglio che la mia velocità rispetto al suolo resti la stessa, in quanti secondi deve essere completato un giro dalla giostra più larga ?
se il problema è questo, bisogna considerare che raggio (o diametro) e circonferenza sono in rapporto "semplice", mediato da pigreco.
se il raggio raddoppia, la circonferenza anche; per viaggiare a velocità uguale, bisogna dimezzare il numero dei giri per unità di tempo

[PTCRUISER79]

Diciamo chenello specifico il mio problema è il seguente:
Ho un rullo 1 che stotola un materiale ad una velocità che può variare da 10 a 40Mt/min.,
in uscita ho un'altro rullo 2 con diametro 90mm che deve arrotolare il materiale
che arriva dal rullo 1 precedente.
La velocità del rullo 2 dovrà diminuire di x all'aumentare del diametro.
Sò per certo il valore della mia velocità iniziale e quello della velocita' finale
inoltre conosco lo spessore del materiale da avvolgere, circa 1mm.

come posso calcolare la mia decellerazione per poter arrivare da una velocità massima
ad una minima con un diametro che và da 90 a 900mm?

[Gianfranco]

Ciao PTCRUISER79,
se approssimiamo l'avvolgimento di un nastro su un rullo ad una spirale di Archimede, allora il tuo quesito diventa un problema di cinematica che non dovrebbe essere troppo complicato per chi ha studiato meccanica razionale.
Il nuovo problema potrebbe essere il seguente:

Un punto si muove lungo una spirale di Archimede (r = a*t) ad una velocità v di modulo costante.
Come varia la sua velocità angolare w?

Gianfranco

[PTCRUISER79]

Credo che la strada sia questa ma come riesco a mantenere la velocità periferica costante?
Le mie conoscenze in materia non sono molto approfondite.

Grazie per l'interessamento

[Gianfranco]

Ciao PTCRUISER79,

ti espongo alcuni risultati che ho ottenuto, ma senza garanzie, per cui chiedo un controllo anche ad altri amici del Forum esperti in meccanica razionale.

Consideriamo una spirale di Archimede di equazione, in coordinate polari
r = a*t
dove:
r è il raggio variabile (misurato in metri)
t è l'angolo percorso (misurato in radianti)

Supponiamo che un punto percorra la spirale a velocità:
v = costante (misurata in m/s)

La domanda è: come varia la velocità angolare w del punto, espressa in rad/s? E espressa in giri/min?

Facendo alcuni calcoli, ho ottenuto la seguente relazione:

$\large w=\frac{v}{a\sqrt{1+t^2}}$

Questa formula permette di calcolare la velocità angolare del rullo "arrotolante" in funzione del numero di giri fatti.

Per passare dai rad/sec ai giri/min si può usare la seguente formula:
$\large 1 rad/sec = \frac{60}{2\pi } giri/min$

Nel tuo caso hai un rullo "arrotolante" di raggio:
r = 45 mm = 0.045 m

Poiché lo spessore del nastro è 1 mm, abbiamo che:
passo della spirale d = 1 mm

Da questo si ricava a:
a = d/(2*pi), dove pi = pi greco = 3,1415...

A questo punto devi decidere tu la velocità costante di arrotolamento. Supponiamo, ad esempio:
v = 30 m/min = 0,5 m/s

Ora, applicando la seguente formula:
$\large w=\frac{v}{a\sqrt{1+t^2}}$
si può calcolare, ad esempio la variazione di velocità in giri/min da applicare ad ogni giro del rullo arrotolante.
Ecco la tabella risultante (salvo errori)
giro n.__mm avvolti__velocità in giri/min
1__285.9__104.937__
2__292.2__102.680__
3__298.5__100.518__
4__304.7__ 98.446__
5__311.0__ 96.457__
6__317.3__ 94.547__
7__323.6__ 92.711__
8__329.9__ 90.945__
9__336.2__ 89.245__
10__342.4__ 87.608__
11__348.7__ 86.029__
12__355.0__ 84.507__
13__361.3__ 83.037__
14__367.6__ 81.618__
15__373.9__ 80.246__
16__380.1__ 78.920__
17__386.4__ 77.636__
18__392.7__ 76.394__
19__399.0__ 75.191__
20__405.3__ 74.025__
21__411.5__ 72.895__
22__417.8__ 71.799__
23__424.1__ 70.735__
24__430.4__ 69.703__
25__436.7__ 68.700__
26__443.0__ 67.725__
27__449.2__ 66.778__
28__455.5__ 65.857__
29__461.8__ 64.961__
30__468.1__ 64.089__
31__474.4__ 63.240__

eccetera.

Hai chiesto:

come riesco a mantenere la velocità periferica costante?

Non so come si possa fare in pratica.
Nei registratori a nastro la velocità costante è ottenuta facendo passare il nastro fra due rulli di raggio fisso aventi velocità angolare costante.
La bobina "arrotolante" credo che eserciti soltanto una coppia sufficiente a mantenere il nastro alla giusta tensione.

Ciao
Gianfranco

[PTCRUISER79]

ho fatto due prove ma non riesco ad avere
i tuoi stessi risultati.

[Gianfranco]

Ciao PTCRUISER79,
che cosa non ti torna:
- la formula?
- i risultati numerici della tabella?

Inoltre io non sono sicuro se dal punto di vista pratico l'approssimazione di un nastro arrotolato ad una spirale di Archimede sia accettabile. Non so neanche se lo spessore del nastro sia il passo della spirale: penso che possa variare leggermente in base alla tensione.

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Se consideriamo il problema che hai postato inizialmente:

DOVREI CALCOLARE LA RIDUZIONE DI VELOCITA' DI UN ASSE RISPETTO ALL'AUMENTO DEL DIAMETRO DI ESSO PER POTER MANTENERE LA VELOCITA' PERIFERICA.

e consideramo soltanto il moto circolare abbandonando la spirale di Archimede, allora
la formula che lega:
v = velocità periferica (tangenziale), in m/s
w = velocità angolare dell'asse, in rad/s (radianti al secondo)
r = raggio, in m

è la seguente:

v = w*r (metri al secondo)

da cui si ricava:
w = v/r (radianti al secondo)
che, nel caso di v = costante, esprime la variazione della velocià angolare in funzione del raggio.

Se vuoi ottenere w in giri/min in funzione del diametro devi fare la conversione:
w = (2*v/r) * 60/(2*pi) (giri al minuto)
dove pi = 3.1415...

SE&O

Ciao
Gianfranco

[PTCRUISER79]

Grazie mille tutto chiaro.
E' la prima volta che partecipo a questo forum e
devo dire che non sarà l'ultima siete stati tutti molto
puntuali e precisi.
Grazie ancora