prendo lo spunto da Gianfranco, e in attesa del post numero 10.000, segnalo
9801 = 99^2
98 + 01 = 99
9999^2 = 99980001
9998 + 0001 = 9999
9999^3 = 999700029999
9997 + 0002 + 9999 = 9999 x 2
diecimila...quasi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
diecimila...quasi
Enrico
Saluto
Enrico 
Ormai il decimillesimo post è già arrivato, mi fermo
qui solo per salutarti ed estendere questo saluto a
tutti gli amici del forum
Ormai il decimillesimo post è già arrivato, mi fermo
qui solo per salutarti ed estendere questo saluto a
tutti gli amici del forum
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: diecimila...quasi
I numeri segnalati da Enrico mi hanno subito fatto pensare ad un lavoro fatto a suo tempo sui "Numeri Buoni" con cui ho notato alcune analogie: Numeri Buoni
In questo caso vediamo che i numeri sono invarianti rispetto alla seguente operazione:
Eleva al quadrato - sepra in due parti - somma le due parti
Cioè dato un numero $c$ di $n$ cifre
$\left \{c = a+b \\ c^2 = a\cdot10^n + b$
E' facile dimostrare che tutti i numeri composti solo dalla cifra 9 hanno questa proprietà:
$\left \{(10^n-1)^2 = 10^{2n}-2\cdot10^n + 1 = (10^n - 2)10^n + 1\\(10^n - 2) + 1 = 10^n - 1$
Altri numeri che soddisfano l'equazione sono quelli espressi nella forma
$\large \frac{10^n \pm 10^{\frac{n}{2}}}{2}$
$\large \left \{(\frac{10^n \pm 10^{\frac{n}{2}}}{2})^2 = \frac{10^{2n} \pm 2\cdot10^{\frac{3n}{2}} + 10^n}{4} = (\frac{10^{n} \pm 2\cdot10^{\frac{n}{2}}}{4})10^n + \frac{10^n}{4}\\\frac{10^{n} \pm 2\cdot10^{\frac{n}{2}}}{4} + \frac{10^n}{4} = \frac{10^n \pm 10^{\frac{n}{2}}}{2}$
Tutte le altre soluzioni possono essere trovate risolvendo l'equazione:
$(a+b)^2 = a\cdot10^n + b$
Dato $n$ si può ricavare $a$ in funzione di $b$
$\large a = \pm \frac{\sqrt{10^{2n}-2^{n+2}\cdot5^n\cdot b+4b}}{2}+2^{n-1}\cdot5^n-b$
Ecco tutti i numeri che ho trovato per $n$ da 1 a 10 (parziale)
$n$ | $c$ ; ( $c^2$ ) - [ $a$ / $b$ ]
1 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
1 | 9 ; ( 81 ) - [ 8 / 1 ]
2 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
2 | 45 ; ( 2025 ) - [ 20 / 25 ]
2 | 55 ; ( 3025 ) - [ 30 / 25 ]
2 | 99 ; ( 9801 ) - [ 98 / 1 ]
3 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
3 | 297 ; ( 88209 ) - [ 88 / 209 ]
3 | 703 ; ( 494209 ) - [ 494 / 209 ]
3 | 999 ; ( 998001 ) - [ 998 / 1 ]
4 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
4 | 2223 ; ( 4941729 ) - [ 494 / 1729 ]
4 | 2728 ; ( 7441984 ) - [ 744 / 1984 ]
4 | 4950 ; ( 24502500 ) - [ 2450 / 2500 ]
4 | 5050 ; ( 25502500 ) - [ 2550 / 2500 ]
4 | 7272 ; ( 52881984 ) - [ 5288 / 1984 ]
4 | 7777 ; ( 60481729 ) - [ 6048 / 1729 ]
4 | 9999 ; ( 99980001 ) - [ 9998 / 1 ]
5 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
5 | 4879 ; ( 23804641 ) - [ 238 / 4641 ]
5 | 17344 ; ( 300814336 ) - [ 3008 / 14336 ]
5 | 22222 ; ( 493817284 ) - [ 4938 / 17284 ]
5 | 77778 ; ( 6049417284 ) - [ 60494 / 17284 ]
5 | 82656 ; ( 6832014336 ) - [ 68320 / 14336 ]
5 | 95121 ; ( 9048004641 ) - [ 90480 / 4641 ]
5 | 99999 ; ( 9999800001 ) - [ 99998 / 1 ]
6 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
6 | 5292 ; ( 28005264 ) - [ 28 / 5264 ]
6 | 38962 ; ( 1518037444 ) - [ 1518 / 37444 ]
6 | 142857 ; ( 20408122449 ) - [ 20408 / 122449 ]
6 | 148149 ; ( 21948126201 ) - [ 21948 / 126201 ]
6 | 181819 ; ( 33058148761 ) - [ 33058 / 148761 ]
6 | 187110 ; ( 35010152100 ) - [ 35010 / 152100 ]
6 | 208495 ; ( 43470165025 ) - [ 43470 / 165025 ]
6 | 318682 ; ( 101558217124 ) - [ 101558 / 217124 ]
6 | 329967 ; ( 108878221089 ) - [ 108878 / 221089 ]
6 | 351352 ; ( 123448227904 ) - [ 123448 / 227904 ]
6 | 356643 ; ( 127194229449 ) - [ 127194 / 229449 ]
6 | 390313 ; ( 152344237969 ) - [ 152344 / 237969 ]
6 | 461539 ; ( 213018248521 ) - [ 213018 / 248521 ]
6 | 466830 ; ( 217930248900 ) - [ 217930 / 248900 ]
6 | 499500 ; ( 249500250000 ) - [ 249500 / 250000 ]
6 | 500500 ; ( 250500250000 ) - [ 250500 / 250000 ]
6 | 533170 ; ( 284270248900 ) - [ 284270 / 248900 ]
6 | 538461 ; ( 289940248521 ) - [ 289940 / 248521 ]
6 | 609687 ; ( 371718237969 ) - [ 371718 / 237969 ]
6 | 643357 ; ( 413908229449 ) - [ 413908 / 229449 ]
6 | 648648 ; ( 420744227904 ) - [ 420744 / 227904 ]
6 | 670033 ; ( 448944221089 ) - [ 448944 / 221089 ]
6 | 681318 ; ( 464194217124 ) - [ 464194 / 217124 ]
6 | 791505 ; ( 626480165025 ) - [ 626480 / 165025 ]
6 | 812890 ; ( 660790152100 ) - [ 660790 / 152100 ]
6 | 818181 ; ( 669420148761 ) - [ 669420 / 148761 ]
6 | 851851 ; ( 725650126201 ) - [ 725650 / 126201 ]
6 | 857143 ; ( 734694122449 ) - [ 734694 / 122449 ]
6 | 961038 ; ( 923594037444 ) - [ 923594 / 37444 ]
6 | 994708 ; ( 989444005264 ) - [ 989444 / 5264 ]
6 | 999999 ; ( 999998000001 ) - [ 999998 / 1 ]
7 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
7 | 627615 ; ( 393900588225 ) - [ 39390 / 588225 ]
7 | 4444444 ; ( 19753082469136 ) - [ 1975308 / 2469136 ]
7 | 4927941 ; ( 24284602499481 ) - [ 2428460 / 2499481 ]
7 | 5072059 ; ( 25725782499481 ) - [ 2572578 / 2499481 ]
7 | 5555556 ; ( 30864202469136 ) - [ 3086420 / 2469136 ]
7 | 9372385 ; ( 87841600588225 ) - [ 8784160 / 588225 ]
7 | 9999999 ; ( 99999980000001 ) - [ 9999998 / 1 ]
8 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
8 | 5479453 ; ( 30024405179209 ) - [ 300244 / 5179209 ]
8 | 8161912 ; ( 66616807495744 ) - [ 666168 / 7495744 ]
8 | 11111112 ; ( 123456809876544 ) - [ 1234568 / 9876544 ]
8 | 13641364 ; ( 186086811780496 ) - [ 1860868 / 11780496 ]
8 | 16590564 ; ( 275246813838096 ) - [ 2752468 / 13838096 ]
8 | 19273023 ; ( 371449415558529 ) - [ 3714494 / 15558529 ]
8 | 19773073 ; ( 390974415863329 ) - [ 3909744 / 15863329 ]
8 | 24752475 ; ( 612685018625625 ) - [ 6126850 / 18625625 ]
8 | 25252525 ; ( 637690018875625 ) - [ 6376900 / 18875625 ]
8 | 30884184 ; ( 953832821345856 ) - [ 9538328 / 21345856 ]
8 | 36363636 ; ( 1322314023140496 ) - [ 13223140 / 23140496 ]
8 | 38883889 ; ( 1511956823764321 ) - [ 15119568 / 23764321 ]
8 | 44363341 ; ( 1968106024682281 ) - [ 19681060 / 24682281 ]
8 | 44525548 ; ( 1982524424700304 ) - [ 19825244 / 24700304 ]
8 | 49995000 ; ( 2499500025000000 ) - [ 24995000 / 25000000 ]
8 | 50005000 ; ( 2500500025000000 ) - [ 25005000 / 25000000 ]
8 | 55474452 ; ( 3077414824700304 ) - [ 30774148 / 24700304 ]
8 | 55636659 ; ( 3095437824682281 ) - [ 30954378 / 24682281 ]
8 | 61116111 ; ( 3735179023764321 ) - [ 37351790 / 23764321 ]
8 | 63636364 ; ( 4049586823140496 ) - [ 40495868 / 23140496 ]
8 | 69115816 ; ( 4776996021345856 ) - [ 47769960 / 21345856 ]
8 | 74747475 ; ( 5587185018875625 ) - [ 55871850 / 18875625 ]
8 | 75247525 ; ( 5662190018625625 ) - [ 56621900 / 18625625 ]
8 | 80226927 ; ( 6436359815863329 ) - [ 64363598 / 15863329 ]
8 | 80726977 ; ( 6516844815558529 ) - [ 65168448 / 15558529 ]
8 | 83409436 ; ( 6957134013838096 ) - [ 69571340 / 13838096 ]
8 | 86358636 ; ( 7457814011780496 ) - [ 74578140 / 11780496 ]
8 | 88888888 ; ( 7901234409876544 ) - [ 79012344 / 9876544 ]
8 | 91838088 ; ( 8434234407495744 ) - [ 84342344 / 7495744 ]
8 | 94520547 ; ( 8934133805179209 ) - [ 89341338 / 5179209 ]
8 | 99999999 ; ( 9999999800000001 ) - [ 99999998 / 1 ]
9 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
9 | 234567901 ; ( 55022100179545801 ) - [ 55022100 / 179545801 ]
9 | 332999667 ; ( 110888778222110889 ) - [ 110888778 / 222110889 ]
9 | 432432432 ; ( 186997808245434624 ) - [ 186997808 / 245434624 ]
9 | 567567568 ; ( 322132944245434624 ) - [ 322132944 / 245434624 ]
9 | 667000333 ; ( 444889444222110889 ) - [ 444889444 / 222110889 ]
9 | 765432099 ; ( 585886298179545801 ) - [ 585886298 / 179545801 ]
9 | 999999999 ; ( 999999998000000001 ) - [ 999999998 / 1 ]
10 | 5000050000 ; ( 25000500002500000000 ) - [ 2500050000 / 2500000000 ]
10 | 4999950000 ; ( 24999500002500000000 ) - [ 2499950000 / 2500000000 ]
10 | 5041932237 ; ( 25421080682499824169 ) - [ 2542108068 / 2499824169 ]
10 | 4958067763 ; ( 24582435942499824169 ) - [ 2458243594 / 2499824169 ]
In questo caso vediamo che i numeri sono invarianti rispetto alla seguente operazione:
Eleva al quadrato - sepra in due parti - somma le due parti
Cioè dato un numero $c$ di $n$ cifre
$\left \{c = a+b \\ c^2 = a\cdot10^n + b$
E' facile dimostrare che tutti i numeri composti solo dalla cifra 9 hanno questa proprietà:
$\left \{(10^n-1)^2 = 10^{2n}-2\cdot10^n + 1 = (10^n - 2)10^n + 1\\(10^n - 2) + 1 = 10^n - 1$
Altri numeri che soddisfano l'equazione sono quelli espressi nella forma
$\large \frac{10^n \pm 10^{\frac{n}{2}}}{2}$
$\large \left \{(\frac{10^n \pm 10^{\frac{n}{2}}}{2})^2 = \frac{10^{2n} \pm 2\cdot10^{\frac{3n}{2}} + 10^n}{4} = (\frac{10^{n} \pm 2\cdot10^{\frac{n}{2}}}{4})10^n + \frac{10^n}{4}\\\frac{10^{n} \pm 2\cdot10^{\frac{n}{2}}}{4} + \frac{10^n}{4} = \frac{10^n \pm 10^{\frac{n}{2}}}{2}$
Tutte le altre soluzioni possono essere trovate risolvendo l'equazione:
$(a+b)^2 = a\cdot10^n + b$
Dato $n$ si può ricavare $a$ in funzione di $b$
$\large a = \pm \frac{\sqrt{10^{2n}-2^{n+2}\cdot5^n\cdot b+4b}}{2}+2^{n-1}\cdot5^n-b$
Ecco tutti i numeri che ho trovato per $n$ da 1 a 10 (parziale)
$n$ | $c$ ; ( $c^2$ ) - [ $a$ / $b$ ]
1 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
1 | 9 ; ( 81 ) - [ 8 / 1 ]
2 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
2 | 45 ; ( 2025 ) - [ 20 / 25 ]
2 | 55 ; ( 3025 ) - [ 30 / 25 ]
2 | 99 ; ( 9801 ) - [ 98 / 1 ]
3 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
3 | 297 ; ( 88209 ) - [ 88 / 209 ]
3 | 703 ; ( 494209 ) - [ 494 / 209 ]
3 | 999 ; ( 998001 ) - [ 998 / 1 ]
4 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
4 | 2223 ; ( 4941729 ) - [ 494 / 1729 ]
4 | 2728 ; ( 7441984 ) - [ 744 / 1984 ]
4 | 4950 ; ( 24502500 ) - [ 2450 / 2500 ]
4 | 5050 ; ( 25502500 ) - [ 2550 / 2500 ]
4 | 7272 ; ( 52881984 ) - [ 5288 / 1984 ]
4 | 7777 ; ( 60481729 ) - [ 6048 / 1729 ]
4 | 9999 ; ( 99980001 ) - [ 9998 / 1 ]
5 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
5 | 4879 ; ( 23804641 ) - [ 238 / 4641 ]
5 | 17344 ; ( 300814336 ) - [ 3008 / 14336 ]
5 | 22222 ; ( 493817284 ) - [ 4938 / 17284 ]
5 | 77778 ; ( 6049417284 ) - [ 60494 / 17284 ]
5 | 82656 ; ( 6832014336 ) - [ 68320 / 14336 ]
5 | 95121 ; ( 9048004641 ) - [ 90480 / 4641 ]
5 | 99999 ; ( 9999800001 ) - [ 99998 / 1 ]
6 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
6 | 5292 ; ( 28005264 ) - [ 28 / 5264 ]
6 | 38962 ; ( 1518037444 ) - [ 1518 / 37444 ]
6 | 142857 ; ( 20408122449 ) - [ 20408 / 122449 ]
6 | 148149 ; ( 21948126201 ) - [ 21948 / 126201 ]
6 | 181819 ; ( 33058148761 ) - [ 33058 / 148761 ]
6 | 187110 ; ( 35010152100 ) - [ 35010 / 152100 ]
6 | 208495 ; ( 43470165025 ) - [ 43470 / 165025 ]
6 | 318682 ; ( 101558217124 ) - [ 101558 / 217124 ]
6 | 329967 ; ( 108878221089 ) - [ 108878 / 221089 ]
6 | 351352 ; ( 123448227904 ) - [ 123448 / 227904 ]
6 | 356643 ; ( 127194229449 ) - [ 127194 / 229449 ]
6 | 390313 ; ( 152344237969 ) - [ 152344 / 237969 ]
6 | 461539 ; ( 213018248521 ) - [ 213018 / 248521 ]
6 | 466830 ; ( 217930248900 ) - [ 217930 / 248900 ]
6 | 499500 ; ( 249500250000 ) - [ 249500 / 250000 ]
6 | 500500 ; ( 250500250000 ) - [ 250500 / 250000 ]
6 | 533170 ; ( 284270248900 ) - [ 284270 / 248900 ]
6 | 538461 ; ( 289940248521 ) - [ 289940 / 248521 ]
6 | 609687 ; ( 371718237969 ) - [ 371718 / 237969 ]
6 | 643357 ; ( 413908229449 ) - [ 413908 / 229449 ]
6 | 648648 ; ( 420744227904 ) - [ 420744 / 227904 ]
6 | 670033 ; ( 448944221089 ) - [ 448944 / 221089 ]
6 | 681318 ; ( 464194217124 ) - [ 464194 / 217124 ]
6 | 791505 ; ( 626480165025 ) - [ 626480 / 165025 ]
6 | 812890 ; ( 660790152100 ) - [ 660790 / 152100 ]
6 | 818181 ; ( 669420148761 ) - [ 669420 / 148761 ]
6 | 851851 ; ( 725650126201 ) - [ 725650 / 126201 ]
6 | 857143 ; ( 734694122449 ) - [ 734694 / 122449 ]
6 | 961038 ; ( 923594037444 ) - [ 923594 / 37444 ]
6 | 994708 ; ( 989444005264 ) - [ 989444 / 5264 ]
6 | 999999 ; ( 999998000001 ) - [ 999998 / 1 ]
7 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
7 | 627615 ; ( 393900588225 ) - [ 39390 / 588225 ]
7 | 4444444 ; ( 19753082469136 ) - [ 1975308 / 2469136 ]
7 | 4927941 ; ( 24284602499481 ) - [ 2428460 / 2499481 ]
7 | 5072059 ; ( 25725782499481 ) - [ 2572578 / 2499481 ]
7 | 5555556 ; ( 30864202469136 ) - [ 3086420 / 2469136 ]
7 | 9372385 ; ( 87841600588225 ) - [ 8784160 / 588225 ]
7 | 9999999 ; ( 99999980000001 ) - [ 9999998 / 1 ]
8 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
8 | 5479453 ; ( 30024405179209 ) - [ 300244 / 5179209 ]
8 | 8161912 ; ( 66616807495744 ) - [ 666168 / 7495744 ]
8 | 11111112 ; ( 123456809876544 ) - [ 1234568 / 9876544 ]
8 | 13641364 ; ( 186086811780496 ) - [ 1860868 / 11780496 ]
8 | 16590564 ; ( 275246813838096 ) - [ 2752468 / 13838096 ]
8 | 19273023 ; ( 371449415558529 ) - [ 3714494 / 15558529 ]
8 | 19773073 ; ( 390974415863329 ) - [ 3909744 / 15863329 ]
8 | 24752475 ; ( 612685018625625 ) - [ 6126850 / 18625625 ]
8 | 25252525 ; ( 637690018875625 ) - [ 6376900 / 18875625 ]
8 | 30884184 ; ( 953832821345856 ) - [ 9538328 / 21345856 ]
8 | 36363636 ; ( 1322314023140496 ) - [ 13223140 / 23140496 ]
8 | 38883889 ; ( 1511956823764321 ) - [ 15119568 / 23764321 ]
8 | 44363341 ; ( 1968106024682281 ) - [ 19681060 / 24682281 ]
8 | 44525548 ; ( 1982524424700304 ) - [ 19825244 / 24700304 ]
8 | 49995000 ; ( 2499500025000000 ) - [ 24995000 / 25000000 ]
8 | 50005000 ; ( 2500500025000000 ) - [ 25005000 / 25000000 ]
8 | 55474452 ; ( 3077414824700304 ) - [ 30774148 / 24700304 ]
8 | 55636659 ; ( 3095437824682281 ) - [ 30954378 / 24682281 ]
8 | 61116111 ; ( 3735179023764321 ) - [ 37351790 / 23764321 ]
8 | 63636364 ; ( 4049586823140496 ) - [ 40495868 / 23140496 ]
8 | 69115816 ; ( 4776996021345856 ) - [ 47769960 / 21345856 ]
8 | 74747475 ; ( 5587185018875625 ) - [ 55871850 / 18875625 ]
8 | 75247525 ; ( 5662190018625625 ) - [ 56621900 / 18625625 ]
8 | 80226927 ; ( 6436359815863329 ) - [ 64363598 / 15863329 ]
8 | 80726977 ; ( 6516844815558529 ) - [ 65168448 / 15558529 ]
8 | 83409436 ; ( 6957134013838096 ) - [ 69571340 / 13838096 ]
8 | 86358636 ; ( 7457814011780496 ) - [ 74578140 / 11780496 ]
8 | 88888888 ; ( 7901234409876544 ) - [ 79012344 / 9876544 ]
8 | 91838088 ; ( 8434234407495744 ) - [ 84342344 / 7495744 ]
8 | 94520547 ; ( 8934133805179209 ) - [ 89341338 / 5179209 ]
8 | 99999999 ; ( 9999999800000001 ) - [ 99999998 / 1 ]
9 | 1 ; ( 1 ) - [ 0 / 1 ]
9 | 234567901 ; ( 55022100179545801 ) - [ 55022100 / 179545801 ]
9 | 332999667 ; ( 110888778222110889 ) - [ 110888778 / 222110889 ]
9 | 432432432 ; ( 186997808245434624 ) - [ 186997808 / 245434624 ]
9 | 567567568 ; ( 322132944245434624 ) - [ 322132944 / 245434624 ]
9 | 667000333 ; ( 444889444222110889 ) - [ 444889444 / 222110889 ]
9 | 765432099 ; ( 585886298179545801 ) - [ 585886298 / 179545801 ]
9 | 999999999 ; ( 999999998000000001 ) - [ 999999998 / 1 ]
10 | 5000050000 ; ( 25000500002500000000 ) - [ 2500050000 / 2500000000 ]
10 | 4999950000 ; ( 24999500002500000000 ) - [ 2499950000 / 2500000000 ]
10 | 5041932237 ; ( 25421080682499824169 ) - [ 2542108068 / 2499824169 ]
10 | 4958067763 ; ( 24582435942499824169 ) - [ 2458243594 / 2499824169 ]
Ultima modifica di Quelo il gio giu 21, 2012 10:57 pm, modificato 2 volte in totale.
[Sergio] / $17$
Re: diecimila...quasi
Uhé Bruno, era un pezzo! Come va? Fai sempre l'aiuto Amministratore?
E' stato un piacere la tua apparizione, seppur fugace. Ciao
E' stato un piacere la tua apparizione, seppur fugace. Ciao
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: diecimila...quasi
Anch'io, come Pasquale, ho gradito moltissimo il saluto di Bruno...
Grazie, Bruno, per aver lasciato traccia del tuo passaggio... Torna presto!
Grazie, Bruno, per aver lasciato traccia del tuo passaggio... Torna presto!
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
-
Gianfranco
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1720
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: diecimila...quasi
Ciao Bruno!
mi ha fatto un enorme piacere il tuo saluto, che contraccambio con tutto il cuore!
Gianfranco
P.S. Tornerà il blog Bolognaquasi? Ho visto che è attivato su wordpress.
mi ha fatto un enorme piacere il tuo saluto, che contraccambio con tutto il cuore!
Gianfranco
P.S. Tornerà il blog Bolognaquasi? Ho visto che è attivato su wordpress.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: diecimila...quasi
Miei cari
Anche se quel mio saluto risale a quasi quattro anni fa (2008),
spesso faccio un salto in questo nostro forum e vi penso,
proprio come ho fatto oggi, e vi ricordo con amicizia.
Non riesco a intervenire nei vostri topics per diversi impegni,
ma un'occhiata alle vostre belle discussioni cerco sempre di
darla.
Non dimentico, e ti questo non vi ringrazierò mai abbastanza,
che con voi ho fatto della matematica ricreativa molto molto
stimolante, un'esperienza fantastica.
Da qualche tempo sto collaborando con l' OEIS di Neil Sloane
(l'Enciclopedia delle sequenze di numeri interi) e se ora sono
lì è anche perché sono stato qui
Pasquale, sì, continuo a dare un supporto a Pietro e a
Gianfranco, pur rimanendo nell'ombra.
Ivana
Gianfranco, purtroppo il blog è stato cancellato, Splinder (la
piattaforma) ha chiuso i battenti e io non sono riuscito a
trasmigrare in tempo su Wordpress.
Dunque, ciò che è stato è stato
Per Quelo
Un abbraccio forte a tutti,
Bruno
Anche se quel mio saluto risale a quasi quattro anni fa (2008),
spesso faccio un salto in questo nostro forum e vi penso,
proprio come ho fatto oggi, e vi ricordo con amicizia.
Non riesco a intervenire nei vostri topics per diversi impegni,
ma un'occhiata alle vostre belle discussioni cerco sempre di
darla.
Non dimentico, e ti questo non vi ringrazierò mai abbastanza,
che con voi ho fatto della matematica ricreativa molto molto
stimolante, un'esperienza fantastica.
Da qualche tempo sto collaborando con l' OEIS di Neil Sloane
(l'Enciclopedia delle sequenze di numeri interi) e se ora sono
lì è anche perché sono stato qui
Pasquale, sì, continuo a dare un supporto a Pietro e a
Gianfranco, pur rimanendo nell'ombra.
Ivana
Gianfranco, purtroppo il blog è stato cancellato, Splinder (la
piattaforma) ha chiuso i battenti e io non sono riuscito a
trasmigrare in tempo su Wordpress.
Dunque, ciò che è stato è stato
Per Quelo
Un abbraccio forte a tutti,
Bruno
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
-
Gianfranco
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1720
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: diecimila...quasi
Ri-ciao Bruno,
oops, nella foga, ho letto le date degli ultimi messaggi ma non quella del tuo, che effettivamente è abbastanza datato!
Ma è andata bene lo stesso perché così abbiamo tue notizie "fresche"!
Quando hai un po' di tempo, ci puoi dare qualche dritta per seguirti su OEIS?
Ciao
Gianfranco
PS
Veramente un bolognaquasi su wordpress c'é: http://bolognaquasi.wordpress.com/...
oops, nella foga, ho letto le date degli ultimi messaggi ma non quella del tuo, che effettivamente è abbastanza datato!
Ma è andata bene lo stesso perché così abbiamo tue notizie "fresche"!
Quando hai un po' di tempo, ci puoi dare qualche dritta per seguirti su OEIS?
Ciao
Gianfranco
PS
Veramente un bolognaquasi su wordpress c'é: http://bolognaquasi.wordpress.com/...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: diecimila...quasi
Come segnalato in un altro post da Edmund, questi numeri sono detti numeri di Kaprekar.
Ecco alcune curiosità:
1) i numeri di Kaprekar con $n$ cifre sono
n - numeri di Kaprekar
1 - 2
2 - 4
3 - 4
4 - 8
5 - 8
6 - 32
7 - 8
8 - 32
9 - 8
10 - 32
2) 55 (5 ripetuto 2 volte) e 22222 (2 ripetuto 5 volte) sono numeri di Kaprekar
7777 e 4444444 sono numeri di Kaprekar
88888888, 999999999, e 1111111111 sono numeri di Kaprekar
3) tutti i numeri di Kaprekar sono divisibili per 9 resto 0 o resto 1
4) ogni numero $K$ di Kaprekar ha un reciproco che vale $K' = 10^n-K$
se $K \equiv 0 \,\pmod 9$ allora $K' \equiv 1 \,\pmod 9$
Per chi volesse approfondire può vedere qui: Journal of Integer Sequences - The Kaprekar Numbers
Lapidaria la conclusione, direi che posso sospendere ogni ulteriore ricerca
Ecco alcune curiosità:
1) i numeri di Kaprekar con $n$ cifre sono
n - numeri di Kaprekar
1 - 2
2 - 4
3 - 4
4 - 8
5 - 8
6 - 32
7 - 8
8 - 32
9 - 8
10 - 32
2) 55 (5 ripetuto 2 volte) e 22222 (2 ripetuto 5 volte) sono numeri di Kaprekar
7777 e 4444444 sono numeri di Kaprekar
88888888, 999999999, e 1111111111 sono numeri di Kaprekar
3) tutti i numeri di Kaprekar sono divisibili per 9 resto 0 o resto 1
4) ogni numero $K$ di Kaprekar ha un reciproco che vale $K' = 10^n-K$
se $K \equiv 0 \,\pmod 9$ allora $K' \equiv 1 \,\pmod 9$
Per chi volesse approfondire può vedere qui: Journal of Integer Sequences - The Kaprekar Numbers
Lapidaria la conclusione, direi che posso sospendere ogni ulteriore ricerca
[Sergio] / $17$
Re: diecimila...quasi
Per quanto riguarda il secondo tipo di numeri (la somma delle tre parti del cubo è uguale al doppio del numero) si può dimostrare facilmente che tutti i numeri nella forma $10^n-1$ appartengono a questa categoria per estensione di quanto già visto per i numeri di Kaprekar:
$\left \{(10^n-1)^3 = 10^{2n}-3\cdot10^n +3\cdot10^n + 1 = (10^n - 3)10^{2n}+ 2\cdot10^n + (10^n-1)\\(10^n - 3) + 2 + (10^n -1)= 2(10^n - 1)$
Più in generale:
dato un numero nella forma $10^n-1$, la somma delle parti (ognuna di n cifre) della sua potenza m-esima è pari al numero moltiplicato per la parte intera di $\large\frac{m+1}{2}$
es:
99^4 = 96059601 > > > 96+05+96+01 = 198
99^5 = 9509900499 > > > 95+09+90+04+99 = 297
99^6 = 941480149401 > > > 94+14+80+14+94+01 = 297
...
9999^25 = 997502997701264468877051940813707351831431199780014_ 5707314442866847306822905312873502299970000249999 > > > 9975+0299+7701+2644+6887+7051+9408+1370+7351+8314+3119+9780+ 0145+7073+1444+2866+8473+0682+2905+3128+7350+2299+9700+0024+9999 = 129987 = 13*9999
Tornando ai numeri cubici, tra quelli finora trovati non vedo nessuna correlazione, a parte il fatto che sono tutti multipli di 9.
Curioso che quelli di 10 cifre (ricerca non completata) siano tutti composti da due parti uguali.
9 ^3 = 729
99 ^3 = 970299
999 ^3 = 997002999
9999 ^3 = 999700029999
47871 ^3 = 109702746157311
52128 ^3 = 141648894001152
64944 ^3 = 273915811344384
82017 ^3 = 551710995098913
82926 ^3 = 570259005118776
99999 ^3 = 999970000299999
571428 ^3 = 186588361516594752
999999 ^3 = 999997000002999999
3570759 ^3 = 45528319307564755479
6429240 ^3 = 265753451769465024000
7866108 ^3 = 486720585332992331712
8563131 ^3 = 627910526700668177091
9302976 ^3 = 805129429844827570176
9999999 ^3 = 999999700000029999999
24657534 ^3 = 14991632306660124749304
55634436 ^3 = 172199176057509933473856
75342465 ^3 = 427680525552225352394625
80291970 ^3 = 517626308044831028373000
95050494 ^3 = 858742851827291985953784
99999999 ^3 = 999999970000000299999999
999999999 ^3 = 999999997000000002999999999
6752767527 ^3 = 307925316466924897073733792183
7393573935 ^3 = 404169242510152800709730175375
9100891008 ^3 = 753792374791487857571515072512
9999999999 ^3 = 999999999700000000029999999999
$\left \{(10^n-1)^3 = 10^{2n}-3\cdot10^n +3\cdot10^n + 1 = (10^n - 3)10^{2n}+ 2\cdot10^n + (10^n-1)\\(10^n - 3) + 2 + (10^n -1)= 2(10^n - 1)$
Più in generale:
dato un numero nella forma $10^n-1$, la somma delle parti (ognuna di n cifre) della sua potenza m-esima è pari al numero moltiplicato per la parte intera di $\large\frac{m+1}{2}$
es:
99^4 = 96059601 > > > 96+05+96+01 = 198
99^5 = 9509900499 > > > 95+09+90+04+99 = 297
99^6 = 941480149401 > > > 94+14+80+14+94+01 = 297
...
9999^25 = 997502997701264468877051940813707351831431199780014_ 5707314442866847306822905312873502299970000249999 > > > 9975+0299+7701+2644+6887+7051+9408+1370+7351+8314+3119+9780+ 0145+7073+1444+2866+8473+0682+2905+3128+7350+2299+9700+0024+9999 = 129987 = 13*9999
Tornando ai numeri cubici, tra quelli finora trovati non vedo nessuna correlazione, a parte il fatto che sono tutti multipli di 9.
Curioso che quelli di 10 cifre (ricerca non completata) siano tutti composti da due parti uguali.
9 ^3 = 729
99 ^3 = 970299
999 ^3 = 997002999
9999 ^3 = 999700029999
47871 ^3 = 109702746157311
52128 ^3 = 141648894001152
64944 ^3 = 273915811344384
82017 ^3 = 551710995098913
82926 ^3 = 570259005118776
99999 ^3 = 999970000299999
571428 ^3 = 186588361516594752
999999 ^3 = 999997000002999999
3570759 ^3 = 45528319307564755479
6429240 ^3 = 265753451769465024000
7866108 ^3 = 486720585332992331712
8563131 ^3 = 627910526700668177091
9302976 ^3 = 805129429844827570176
9999999 ^3 = 999999700000029999999
24657534 ^3 = 14991632306660124749304
55634436 ^3 = 172199176057509933473856
75342465 ^3 = 427680525552225352394625
80291970 ^3 = 517626308044831028373000
95050494 ^3 = 858742851827291985953784
99999999 ^3 = 999999970000000299999999
999999999 ^3 = 999999997000000002999999999
6752767527 ^3 = 307925316466924897073733792183
7393573935 ^3 = 404169242510152800709730175375
9100891008 ^3 = 753792374791487857571515072512
9999999999 ^3 = 999999999700000000029999999999
[Sergio] / $17$
Re: diecimila...quasi
Bruno, forse qualche psicologo potrebbe affermare che, a livello inconscio, il desiderio di “rileggerti” è stato decisamente più forte (e più urgente!) della curiosità di controllare la data…
Comunque:
Comunque:
- Allegati
-
- Per_Bruno.gif (21.5 KiB) Visto 7292 volte
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: diecimila...quasi
Ivana, grazie
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}