Due strane lotterie

[franco]

Prima lotteria:

In questa lotteria vi sono tre urne contenenti i bussolotti numerati da 0 a 9; i tre bussolotti estratti formano il numero premiante che sarà compreso fra 000 e 999.
I biglietti in vendita sono però solo 100, numerati da 00 a 99.
Si vince quando le cifre del proprio biglietto risultano presenti, nell'ordine esatto, nel numero premiante.
Ad esempio, il biglietto numero 23 vince se il numero premiante è nelle forme 23x, 2x3 o x23; analogamente, se il numero premiante fosse il 123, i vincitori sarebbero i possessori dei biglietti 12, 13 e 23
La domanda è la seguente: quanti e quali biglietti devo acquistare per essere sicuro di vincere


Seconda lotteria:

Pino e Tino partecipano ad una cena di beneficenza assieme ad altre 198 persone.
Ognuno dei partecipanti alla cena ha acquistato un biglietto della lotteria che mette in palio 100 premi; la regola prevede che ogni persona non possa vincere più di un premio.
Tino a metà serata decide di abbandonare la compagnia e dice a Pino: "Tieni anche il mio biglietto, così raddoppierai le tue probabilità di vincere qualcosa".
Pino accetta volentieri ma poi comincia a ragionare: "Se in palio ci fosse stato un solo premio, effettivamente la mia probabilità di vincere sarebbe il doppio. Del resto però se i premi fossero stati 200 la mia probabilità di vittoria era già pari ad 1 ed avere un secondo biglietto non la muterebbe!".
Essendo i premi 100, di quanto aumenta la probabilità di vittoria avendo 2 biglietti anzichè 1

ciao

P.S. Sulla seconda lotteria sono ammesse (e gradite) generalizzazioni: N partecipanti alla cena, P premi e T amici che regalano il biglietto a Pino

[vulneraria]

prima lotteria.

ad occhio solo 18 numeri :
ad esempio quelli che contengono lo zero.
01..09
10..90

[delfo52]

non è facile interpretare e "calarsi" in questo strano mondo di strane lotterie..
Vulneraria probabilmente ha capito male qualche passaggio.
la sua scelta risulta infatti inefficace; anche nell'esempio proposto: se esce il 123, non si vince
è meno facile di quel che appare

[Pasquale]

Circa la prima lotteria, al momento direi, ad occhio, che occorrono non meno di 36 biglietti, ma nutro i miei dubbi che ci si riesca proprio con 36 (vedremo).

[franco]

Premettendo che sono anch'io a caccia della soluzione, visto che ho postato il problema non appena l'ho trovato (scavando in un Math Forum statunitense), dico la mia a proposito della prima lotteria:

Io sono arrivato sin'ora ad un numero minimo di biglietti pari ad 82

Ci sono arrivato con considerazioni teoriche dopo aver perso non poco tempo in tentativi più o meno casuali; illustrerò il mio ragionamento in seguito.

Non ho fatto una verifica puntuale ma sono quasi certo di vincere qualunque sia il numero premiante; resta da vedere se lo stesso risultato si può ottenere acquistando un numero minore di biglietti. Certo è che se Pasquale ha ragione il risparmio è notevole

ciao

[vulneraria]

ihihihih...

quelli scritti erano i numeri che potevo non prendere.

si 82 anche per me. io l'ho trovato facendo un mini test con basi inferiori, tipo 3 4 e 5...

[franco]

quelli scritti erano i numeri che potevo non prendere.

Lo supponevo

anch'io ho eliminato gli stessi numeri, o, in alternativa, questi:
09-19-29-...-79-89
90-91-92-...-97-98

ciao

[franco]

... illustrerò il mio ragionamento in seguito.

Ecco il seguito:

Il numero premiante N può essere composto:
1) da 3 cifre uguali
2) da 2 cifre uguali ed una 3^ differente
3) da 3 cifre diverse

1) se le 3 cifre sono uguali (N nella forma AAA), i biglietti sono quelli con cifre uguali!
Devo quindi acquistare i dieci biglietti 00-11-22-...-88-99.

2) se N ha due cifre uguali (AAB o ABA o BAA) coi biglietti gia acquistati sono a posto!

3) più complicato è il caso di 3 cifre diverse.
Siano le tre cifre A<B<C; A=0...7, B=1...8, C=2...9
i casi possibili sono:
a) ABC
b) ACB
c) BAC
d) BCA
e) CAB
f) CBA
I biglietti vincenti saranno composti da due cifre diverse X<Y.
Per essere sicuro di vincere devo aver acquistato sia biglietti con "tipologia" XY che biglietti con tipologia YX (vedi possibili casi a e f).
Per minimizzarne il numero posso prendere:

tutti quelli con B≤X<Y≤C


oppure
quelli con A≤X<Y≤B


In entrambi i casi si tratta di 72 biglietti che, aggiunti ai 10 acquistati in precedenza, danno appunto un totale di 82.

Una volta trovate queste due soluzioni è facile verificare che la sicurezza si ottiene escludendo dall'acquisto tutti i biglietti con una determinata cifra (a scelta) escluso quello dove tale cifra è doppia.

Qui sotto i gli 82 biglietti con l'esclusione dei "4".


ciao

[Pasquale]

Veramente ho detto che si può fare con "non meno" di 36, ma ho trovato che si può fare con 52 biglietti.
Se non trovate meno, ve li elenco.
Devo aggiungere che il problema appare come una sorta di ricerca di un sistema ridotto per il totocalcio, con la differenza che qui le colonne contengono due soli segni, invece di tre, e che si tratta di nonuple invece di doppie o triple.

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Ecco i miei 52:

00,03,06,09,11,12,14,15,17,18,21,22,24,25,27,28,30,33,36,39,41,42,44,45,47,48
51,52,54,55,57,58,60,63,66,69,71,72,74,75,77,78,81,82,84,85,87,88,90,93,96,99

[franco]

Mi sembra che i 52 biglietti acquistati da Pasquale siano sufficienti.

Li ho messi nel mio schemino e viene un bel disegno pieno di simmetrie:


Mi ha fatto venire voglia di provare un'altro schema"simmetrico":


L'ho verificato, funziona e consente di risparmiare ancora qualcosa visto che è formato da soli 50 biglietti

ciao

[Pasquale]

Complimenti Franco!
Sapevo, come spesso accade in queste cose, che si sarebbe potuto migliorare il risultato ed è interessante come ci sei arrivato (anch'io, in prima battuta, avevo iniziato con 77 numeri, ma non mi ero fermato).
Simpatica peraltro questa sorta di "ricerca di equipe".

[franco]

Mi è venuta in mente "a posteriori" una spiegazione che sarebbe stato bello avere "a priori".

Abbiamo in partenza un insieme di 10 cifre {0, 1, 2, ..., 9} che compongono sia il numero premiante che i numeri dei biglietti.
Posso dividerlo nei due sottoinsiemi delle cifre pari {0, 2, 4, 6, 8} e dispari {1, 3, 5, 7, 9}.
Il numero premiante avrà necessariamente almeno 2 cifre appartenenti ad uno dei sottoinsiemi quindi se acquisto i biglietti formati da sole cifre pari e quelli formati da sole cifre dispari avrò sicuramente un biglietto vincente!

Il ragionamento funziona quale che sia la suddivisione in sottoinsiemi; la prima soluzione che avevo ipotizzato (assieme a Vulneraria) corrispondeva alle combinazioni dei sottoinsiemi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e {0} (9^2+1^2=82 biglietti).
La soluzione di Pasquale corrispondeva alle combinazioni dei sottoinsiemi {1, 2, 4, 5, 7, 8} e {0, 3, 6, 9} (6^2+4^2=52 biglietti).

Le soluzioni con 5^2+5^2=50 biglietti sono quelle ottimali e ce ne sono parecchie diverse; io ho preso quella relativa ai sottoinsiemi "pari" e "dispari" ma lo stesso si poteva fare ad esempio coi sottoinsiemi {0, 1, 2, 3, 4} e {5, 6, 7, 8, 9}.
Le possibili soluzioni diverse con 50 biglietti acquistati dovrebbero essere 252 (almeno credo!).

ciao e avanti con la seconda lotteria.

[Pasquale]

Seconda lotteria:

se non prendo un abbaglio, con il secondo biglietto, la probabilità di vincita sale dal 50% a poco più del 75%.

Infatti:
con 200 numeri si ottengono 19900 accoppiate
con i 100 numeri non estratti, se ne realizzano 4950

Quindi, la probabilità afficché non venga estratto nessuno dei due biglietti è di 4950/19900 = 0,24874...; la probabilità che ne venga estratto almeno uno è 1-0,24874=0,75126 ed è quella che cerchiamo, perchè è ininfluente che venga estratto l'uno, l'altro o ambedue i biglietti.

Generalizzando, la probabilià di vincere un premio, secondo il ragionamento precedente, sarebbe 1-C(P,T+1)/C(N,T+1)