... e divisioni super

[franco]

Prendiamo due numeri di 2008 cifre: A = 9 810 810 ... 810 (la terna di cifre 810 è ripetuta 669 volte)
e B = 9 568 568 ... 568 (la terna di cifre 568 è ripetuta 669 volte).

Il rapporto A/B è maggiore o minore di 81/79 ???


ciao

[Pasquale]

$\text A=\frac{A}{10^{2007}}\cdot 10^{2007}=9,810810...810\cdot 10^{2007}=\(9,\overline {810}-\frac{0,\overline{810}}{10^{2007}}\)\cdot 10^{2007}$

$B=\frac{B}{10^{2007}}\cdot 10^{2007}=9,568568...568\cdot 10^{2007}=\(9,\overline {568}-\frac{0,\overline{568}}{10^{2007}}\)\cdot 10^{2007}$

$\frac{A}{B}=\frac{9,\overline {810}-m}{9,\overline {568}-n}$, in cui: $\frac{0,\overline{810}}{10^{2007}}= m > n = \frac{0,\overline{568}}{10^{2007}}$ e da cui:

$\frac{A}{B}=\frac{\frac{121\cdot 81}{999}-m}{\frac{121\cdot 79}{999}-n}= \frac{121\cdot 81 -999m}{999}\cdot \frac{999}{121\cdot 79-999n}=\frac{121\cdot 81-999m}{121\cdot 79-999n}=\frac{(121-x)\cdot 81}{(121-y)\cdot 79}$

Essendo x > y, concludo che: $\text \frac{A}{B} < \frac{81}{79}$

[franco]

Complimenti!

[Pasquale]

Grazie Franco, ogni tanto mi ci scappa qualcosa; se conosci un procedimento alternativo può far piacere di vederlo.

[franco]

Al volo:



(non è farina del mio sacco e la tua soluzione mi piace di più)

ciao

[Pasquale]

Anche questa è bella; buffo che ambedue conducono a relazioni finali simili (come dire che tutte le strade portano a Roma).
Ho esplorato subito quella strada, pur non essendo sicuro che mi portasse ad una soluzione, essendo stato colpito dalla ripetitività delle cifre che richiamava alla mente quella dei numeri periodici.
Chiaramente il processo è stato più sofferto di quello che ho esposto, che ne è la sintesi.
Nel corso dell'elaborazione, avevo fra l'altro notato che se A e B fossero stati proprio dei numeri periodici, il rapporto fra le loro frazioni generatrici sarebbe stato uguale esattamente a 81/79, .
Concedimi di apprezzare quanto stai facendo in questo periodo per tener vivo il forum con i tuoi quesiti (penso con questo di interpretare anche il pensiero degli altri basecinquini, peraltro già espresso in altre occasioni). Grazie.

[franco]

..
Concedimi di apprezzare...

Sono sempre io in debito con la compagnia dei Basecinquini!

Approfitto di una serie di coincidenze favorevoli: una totale divergenza di opinioni con mia moglie relativamente ai programmi TV che mi porta a passare le serate al PC, il lavoro che non mi sottrae tutte le energie, internet che qui ad Aosta fila che è una bellezza, non resta che mettere a frutto le mie discrete conoscenze di inglese e francese per setacciare la rete e postare i problemi che voglio provare a risolvere.