72: Numero Magico (Mathematical Gazette 1896)

[franco]

Ancora un problema raccolto nella rete e che risale a qualche anno fa!:

Prendete il numero N = 3 399 999 966 le cui dieci cifre sommate danno il numero magico 72.
Moltiplicate in successione N per gli interi naturali 2, 3, 4, ... k e calcolate ogni volta la somma delle cifre del numero così ottenuto.
Vi fermerete quando questa somma è differente dal numero magico.
Qual'è il numero di moltiplicazioni effettuate? [Io lo interpreto così: Qual'è il valore di k raggiunto?]

Nota: la calcolatrice è ammessa ma sconsigliata


Problema originale:
Prenez le nombre N = 3 399 999 966 qui a dix chiffres dont la somme est égale au nombre magique 72.
Multipliez N successivement par les entiers naturels 2, 3, 4, ... k et ca_lc_ul_ez (*) à chaque fois la somme des chiffres du nombre ainsi obtenu.
Vous vous arrêtez quand cette somme est différente du nombre magique.
Quel est le nombre de multiplications effectuées?
Nota : calculette autorisée...mais déconseillée.

(*) Ma guarda cosa tocca fare per evitare che compaia così: MAPS

ciao

[delfo52]

se non fosse per la postilla rossa, avrei la risposta pronta.
Zero, perchè io affronterei il problema facendo banalmente delle somme....

[Pasquale]

Non ancora so il perché, ma credo che k sia5882353

[franco]

Credi bene Pasquale, ora però resta da capire perchè!

ciao

[Pasquale]

Intanto , notiamo che la magia si manifesta con i numeri formati da tutte cifre 9, anche se i 9 sono rappresentati da somme del tipo 3+6, 2+7, 1+8, con tali cifre disposte in modo simmetrico:

999999 ------------------numero magico: 54
29999997--------------- numero magico: 63
49999995--------------- numero magico: 63
19998-------------------- numero magico: 36
89991-------------------- numero magico: 36
899999991------------- numero magico: 72
99999999--------------- numero magico: 72
4499999955------------ numero magico: 72
5599999944------------ numero magico: 72
5499999945------------ numero magico: 72
4599999954------------ numero magico: 72
999999999-------------- numero magico: 81
9999999999------------ numero magico: 90
99999999999---------- numero magico: 99
999999999999-------- numero magico: 108

Qualcosa si capisce meglio limitandosi allo studio dei numeri formati da cifre 9 e notiamo che nel caso limite di N=9,

9--------------------------- numero magico: 9

qui vediamo che il 9 si ripete, finché k=11, perché 9x11=99 e 9+9=18

mentre:

9x1=9
9x2=18, ove 1+8=9
9x3=27, ove 2+7=9
.
.
.
9x10=90, ove 9+0=9

In sostanza, si esaurisce la somma fissa 9 quando k è tanto grande che risultino esaurite tutte le disposizioni di cifre la cui somma è 9 (1+8, 8+1, 2+7, 7+2, ecc.)

E’ evidente che in un numero più grande, con maggiore quantità di 9, occorre un k più grande prima che si esauriscano tutte le disposizioni di cifre complementari a 9 due a due.

A prima vista, pare incredibile che crescendo il k il risultato di kN sia sempre un numero che fra zeri e coppie di cifre complementari a 9, non supera mai il 72 nella somma delle cifre, ma così è: il prodotto di kN è sempre un numero multiplo di 9, contenente zeri, nove e coppie complementari di cifre.
Insomma, direi che dobbiamo calcolare tutti i numeri composti da otto cifre 9, intendendosi per 9 lo stesso 9, le somme 1+8, 8+1, ecc., comunque disposti, sì da formare numeri diversi.
Bisogna vedere come considerare gli zeri in questo contesto, perché è evidente che esistono numeri grandissimi con molti zeri, che pur danno 72 come somma di cifre, ma questo ci fa solo capire che la somma 72 la si può sempre trovare, mentre il nostro è una sorta di problema di minimo (una volta trovata la somma diversa che vogliamo, quello che accade per kN più grandi non ci interessa).
Bisognerebbe poi dimostrare che tutti i kN sono formati da cifre 9, cifre 0, ed altre a due (o più ?) la cui somma sia 9.

Ultima osservazione:

un numero kN non contenente zeri o 9, con coppie di cifre complementari a 9, al massimo può essere formato da 16 cifre, mentre con la presenza di un 9 avrebbe 15 cifre.

Sempre escludendo gli zeri dalla formazione, il più grande numero accettabile, ammesso che non si presenti prima una somma diversa da 72, è kN=8888888811111111, ove multiplo di N.
Invece, il più piccolo numero con somma delle cifre maggiore di 72 deve avere almeno 11 cifre, perchè N ne ha 10 e potrebbe essere ad esempio 12999999978 , se multiplo di N.

Mi pare abbastanza tosto, ma chissà….l’uovo di Colombo….

Preciso che le mie elucubrazioni sono solo frutto di larvate intuizioni e qualche osservazione con conclusione magari anche errata: quindi non statemi ad obiettare niente, perché non saprei cosa dirvi. Di più ninzò.

[Quelo]

Con una veloce ricerca euristica ho trovato come buon candidato alla soluzione:

k = 5882353

kN = 19999999999999998

somma delle cifre = 144

Non ho provato tutte le combinazioni, ma se c'è una soluzione migliore di sicuro è inferiore a questa.

[franco]

Anche Sergio, come già Pasquale, ha individuato la soluzione esatta.

Faccio i miei complimenti ad entrambi anche se in realtà non ho idea di cosa sia una ricerca "euristica".

I ragionamenti esposti da Pasquale sono interessanti e corretti ma non ho neppure io gran che da aggiungere.
Ho trovato il problema su internet e ne ho "sbirciato" la soluzione giusto il tanto necessario per poter dire che 5882353 è la risposta esatta.
Purtroppo però il metodo che è stato usato per trovare la risposta è al di la delle mie capacità.

Magari più avanti lo metterò sul sito ... nel frattempo buon prosegiomento.

ciao

[Quelo]

Si definisce procedimento euristico un metodo di approccio alla soluzione dei problemi che non segue un chiaro percorso, ma che si affida all'intuito e allo stato temporaneo delle circostanze, al fine di generare nuova conoscenza. È opposto al procedimento algoritmico.

Praticamente ho tirato a indovinare

Sono partito dal presupposto che sotto un certo valore di k tutti i prodotti kN hanno somma delle cifre pari a 72 mentre sopra non tutti.
Prima ho fatto uno screening per decadi (ponendo k = 10^m * 1,1 + 1 per mantenere una certa casualità)
Ho scoperto che la soluzione doveva essere inferiore a 10.000.000, a questo punto ho fatto una verifica tra 1.000.000 e 10.000.000 incrementanto k di 1111 e la soluzione si è posizionata sotto a 5.882.845
Ho ristretto la ricerca progressivamente:
tra 5.000.000 e 6.000.000 con incrementi di 111
tra 5.800.000 e 5.900.000 con incrementi di 11
tra 5.880.000 e 5.890.000 con incrementi di 1
ottenendo così il risultato.

[Pasquale]

OK, anch'io ho utilizzato un procedimento simile a quello di Quelo (scusate il bisticcio) per arrivare al risultato.
E' chiaro che trovato il k, conosciamo anche kN (19999999999999998) che, facendo riferimento ai ragionamenti precedenti per k non noto, è maggiore di 8888888811111111, cioè rientra fra i numeri di 17 cifre con le caratteristiche osservate (cifre 9 e complementi a 9).
Il candidato più piccolo a 17 cifre avrebbe potuto essere 11111111988888888, che però non è divisibile per N, e la somma delle cifre sarebbe stata 81: una volta trovato il valore di k (5882353), vediamo che invece la somma è 144, che salta anche le altre somme (90, 99, 108, ecc.)

[franco]

Come promesso, posto la spiegazione "tal quale" come l'ho letta.
E' tradotta dal francese quindi ci può stare qualche imperfezione.

$N=3399999966=34(10^8-1)$
per tutti i numeri $K<10^8$, ossia aventi $k \le 8$ cifre, $M=K(10^8-1)$ si scrive con le $k$ cifre di $K$, seguite da 8 cifre che sono dei 9 o i complementi a 9 delle cifre di $K$ nelle ultime $k$ posizioni. Ne risulta che la somma delle cifre di $M$ è pari a $8*9=72$.

$34p$ supera il valore di $10^8$ per $p=2941177$; si ha allora $pN=10000001699999982$ la cui somma delle cifre è ancora 72. Ciò vale ugualmente per $10^8<pN<2*10^8$ in quanto allora $pN$ è un numero di 17 cifre, la somma delle 7 coppie di cifre simmetriche rispetto alla mediana è pari a 9 salvo le cifre alle estremità che sommate a quella mediana danno ancora 9 (ogni volta che aggiungiamo $N$, si aggiunge 34 al numero formato dalle prime 9 cifre e si sottrae 34 dal numero formato dalle ultime 8 cifre).
Non appena $34p$ supera il valore di $2*10^8$ ($p=5882353$) abbiamo $pn=19999999999999998$ la cui somma delle cifre è pari a $16*9=144$.

Io non ci ho capito quasi nulla

Metto qui sotto anche la soluzione in lingua originale. Magari è meglio!

$N=3399999966=34(10^8-1)$; or, pour tout nombre $K<10^8$, c’est à dire ayant $k \le 8$ chiffres, $M=K(10^8-1)$ s’écrit avec les $k$ chiffres de $K$, suivis de 8 chiffres qui sont des 9 ou les compléments à 9 des chiffres de K pour les k derniers. Il en résulte que la somme des chiffres de $M$ est égale à $8*9=72$.
Or $34p$ dépasse $10^8$ pour $p=2941177$; on a alors $pN=10000001699999982$, dont la somme des chiffres est encore 72. Il en est de même pour $10^8<pN<2*10^8$, puisque alors $pN$ est un nombre de 17 chiffres, la somme de deux chiffres symétriques par rapport au chiffre médian étant égale à 9, sauf pour les extrêmes, où la somme du premier du médian et du dernier est égale à 9 (à chaque fois que l’on ajoute $N$, on ajoute 34 au nombre formé des 9 premiers chiffres, et on retranche 34 au nombre formé des 8 derniers) .
Ce n’est que lorsque $34p$ dépasse $2*10^8$, et $p=5882353$, que $pN=19999999999999998$, dont la somme des chiffres est $16*9=144$.

Mah!....

ciao

[Pasquale]

Interpreto e integro:

$N = 3399999966 = 34(99999999) = 34(9x10^7+9x10^6+9x10^5$+...+9)

moltiplicando e mettendo in colonna, vediamo che:

$N = 306x10^7+306x10^6+306x10^5$+...+306)

facciamo la somma in colonna ed osserviamo come si perviene a 3399999966;
notiamo che 34x9=34(10-1)= 340-34=306 e che questa particolarità, nella disposizione delle cifre di N, comporta la comparsa del 33 in prima posizione.
La formazione di N va meglio studiata e giustificata, per cui mi attengo alle sole osservazioni effettuate, come peraltro ha fatto l’autore francese, stando alle striminzite spiegazioni.

Aggiungo rispetto a quanto detto dal francese che le prime due cifre del nostro N (tante quante quelle di 34) corrispondono a: K = 34 –1; seguono poi 8 cifre, quanti erano i 9 del moltiplicatore, e di queste 8 cifre, due compensano le prime due in qualità di complementi a 9, mentre le altre sei sono dei 9, per cui la somma è 72.

Come dice il francese, non soltanto il 34 gode di questa caratteristica, ma qualsiasi K < 10^8, che io correggo a qualsiasi $k \le 10^8$; infatti:

$10^8(10^8-1)=10^16-10^8= 9999999900000000$

in cui le prime 8 cifre corrispondono a $10^8-1$ e le restanti sono 8 cifre complementi a 9 delle prime.


In sostanza, la regola è:

qualsiasi $M=K (10^8-1)$, per $K \le 10^8$, è uguale ad un numero formato nelle sue prime cifre dal numero K -1 e, nelle restanti, da altrettante cifre complemeti a 9 delle suddette, oltre tanti nove quanti necessari a completamento di 8 cifre, tante quanti sono gli otto 9 del moltiplicatore.
Quindi, poiché $10^8-1$ è formato da 8 cifre, al massimo possiamo avere un M di 16 cifre, la somma delle quali è sempre 72, perché ad un massimo di 8 cifre iniziali seguono 8 cifre complementi a 9.

Es:

$540(10^8-1)$ = 539 99999 460, in cui:

539=540-1
il 4 del 460 finale è il complemento a 9 del 5 iniziale
il 6 del 460 finale è il complemento a 9 del 3 iniziale
lo 0 finale è il complemento a 9 del 9 del 539 iniziale
al centro restano 5 nove, a completamento delle 8 cifre che devono seguire il 539 iniziale


ancora:

1122(99999999) = 1121 9999 8878, con le stesse proprietà


Ritornando al problema iniziale, occorre determinare quale è il primo p che moltiplicato per 3399999966 produce un numero, la somma delle cui cifre sia diversa da 72, ovvero maggiore.

Cerchiamo allora il più piccolo valore di p per cui sia $K=p\cdot 34>10^8$ e troviamo che questo avviene per p=2941177; infatti:

$K=2941177\cdot 34=100000018 >10^8$

quindi:

$pN = 100000018(10^8 -1) = 100000016 99999982$

Purtroppo notiamo che la somma è ancora 72, nonostante che, se avessimo effettuato il prodotto (10^8+1)(10^8-1), minore di 100000018, avremmo ottenuto 10^16 –1, formato da 16 nove con somma 144, il primo numero che si incontra con somma maggiore di 72, che però non è multiplo di 3399999966.

Si può notare che non appena K supera 10^8, a differenza di quanto detto sopra, $K\cdot 99999999$ è adesso un numero di 17 cifre, uguale nelle sue prime 9 cifre a K-2; seguono poi le solite 8 cifre di cui complementi a 9 ed altri 9 a concorrenza di 8 cifre, ma siccome il numero ha un quantità dispari di cifre, troviamo che sono 3 le cifre che si “complementano” fra loro, per cui 3 cifre danno un 9 e le altre 14 cifre ne danno 7, per un totale di otto, la cui somma è sempre 72 (fa eccezione come detto prima il caso di $K=10^8+1$, che produce 16 nove con somma 144): questo accade perché dopo $K=10^8+1$, quindi da $K=10^8+2$ in poi, siccome le prime 9 cifre sono uguali a K-2, queste formano un numero contenete tutti zeri (100000000 99999998); nelle ultime 8 cifre, peraltro l’ultima cala di un punto e quindi abbiamo in tutto solo 7 nove e due complementi a 9;
in sostanza abbiamo una situazione del KN in cui le prime 9 cifre, partono da 100000000 e le ultime 8 cifre da 99999998; ogni volta che si incrementa il K di una unità, aumenta di una unità il numero delle prime 9 cifre e diminuisce di una unità il numero delle ultime 8 cifre, per cui il totale della somma resta sempre 72.

Vediamo che fino a $K= 2\cdot 10^8$ abbiamo un numero da 17 cifre con somma 72, stando la proprietà che un numero moltiplicato per $10^n -1$ ha la somma delle cifre multipla di 9 e come tale deve avere le cifre uguali a 9, o almeno a due a due complementari a 9 fra loro.

Quando K supera $2\cdot 10^8$, KN è un numero ancora di 17 cifre, in cui però le prime 9 sono adesso uguali a K-3:

per $K= 2\cdot 10^8+1$, $K\cdot 99999999 = 199999998 99999999$ che però non è multiplo di N

incrementando il K di una unità:

$K= 2\cdot 10^8+2$, K(99999999) = 199999999 99999998 , che è divisibile per N ed è quindi uguale 5882353N, appena in tempo, perché successivamente:

per $K= 2\cdot 10^8+3= KN = 200000000 99999997$, ritornano gli zeri e ritorna il 72
Insomma mi pare di aver trattato il problema a livello di osservazioni e calcoli e scarsa dimostrazione, per cui mi scuso per le imprecisioni, la confusione e l'incompletezza, ma siccome ci avevo lavorato, ve lo ammollo lo stesso e passo la palla.