I sentieri

[franco]

Un altro problemino "forestale".

Abbiamo stavolta una foresta a forma di cerchio attraversata da quattro sentieri rettilinei che si intersecano fra loro:



Un bel giorno, in momenti diversi, quattro escursionisti (Alberto, Bruno, Carlo e Dario) partono lungo i quattro sentieri mantenendo velocità e direzione costanti (rispettivamente VA, VB, VC e VD).

Dopo aver camminato un poco Dario incrocia Alberto che gli dice di aver già incontrato precedentemente Bruno e Carlo.

Poco dopo Dario incrocia anche Bruno che gli dice di aver già incontrato Andrea e Carlo.

E finalmente la domanda: in che relazione devono essere le diverse velocità perchè anche Dario incroci Carlo?

PS. I quattro partono dai punti indicati con la loro iniziale e non si fermano mai; anche la chiaccherata in occasione degli incontri è istantanea!!

ciao

[Quelo]

A me risulta

VA > VD > VC > VB

con

VA circa 3 volte VD

VD circa 2 volte VC

VC circa uguale a VB

[franco]

Mi sa che ho messo la domanda in modo sbagliato: è un problema che ho tradotto approssimativamente e pensavo di renderlo più semplice ma, a leggere la risposta di Sergio, credo di aver pasticciato in po'.

Il testo originale, tradotto alla meno peggio (mai fatto francese a scuola), dice all'ultima frase:

Dario ha possibilità ("a-t-il des chances") di incontrare Carlo?
Discutere in funzione delle velocità.

Mi scuso se vi ho messo fuori strada .

ciao

P.S.

Per essere più sicuro metto anche il testo originale; la figura di riferimento è OK (i punti A', B' ecc sono le estremità d'arrivo dei sentieri):

Quatre nouveaux sentiers de randonnée viennent d'être tracés dans la forêt des monts d'Ambazac. Ils sont rectilignes et concourants 2 à 2 et peuvent être représentés par quatre cordes AA' BB' CC' DD'. A des moments différents de la matinée, quatre promeneurs Alexandre, Bertrand, Charles et Denis prennent le départ de chacun d'eux respectivement aux points A B C et D en direction des points A' B' C' et D'. Ils marchent à des vitesses VA VB VC et VD constantes sans changer de direction ni s'arrêter.
Dans le courant de la journée, Denis croise à un carrefour Alexandre. Celui-ci lui fait remarquer que par une étrange coïncidence, il a croisé également sur son chemin Charles puis Bertrand. Un peu plus tard, Denis croise Bertrand à un deuxième carrefour et celui-ci lui fait la même observation qu'Alexandre : « C'est la troisième rencontre que je fais ».

Denis a-t-il des chances de rencontrer Charles ? Discuter en fonction des vitesses

[franco]

Qualcuno si cimenta?

C'è una soluzione molto "intrigante" che prescinde dalle angolazioni che ho dato arbitrariamente ai sentieri e che consente di dimostrare che se Dario incontra Alberto e Bruno i quali si sono precedentemente incontrati fra loro e con Carlo, allora sicuramente anche Dario e Carlo finiranno per incontrarsi!

ciao

[franco]

Mettiamoci in una prospettiva diversa usando la terza dimensione come asse dei tempi.

Il tragitto degli escursionisti è rappresentanto da rette che giacciono sul piano verticale passante per il rispettivo sentiero e con un angolo rispetto all'asse dei tempi pari all'arcotangente della velocità.

Gli incontri avvengono quando le rette "spaziotemporali" di due escursionisti si incontrano.

Noi sappiamo che c'è estato un incontro fra Alberto e Bruno, uno fra Bruno e Carlo ed uno fra Alberto e Carlo.
Ciò significa che le tre rette che descrivono il cammino di Alberto, Bruno e Carlo sono complanari.

Poichè Dario ha incontrato sia Alberto che Bruno, la sua retta è complanare a quelle di Alberto e Bruno e quindi anche a quella di Carlo col quale quindi si incontrerà necessariamente.

Non è facile disegnare una rappresentazione tridimensionale; questo è quanto di meglio sono riuscito a fare:


ciao