Impegnativo

[ronfo]

E' da un po' che non mi faccio più vivo ma non mi sono dimenticato di Voi. Ho trovato un problema che reputo abbastanza impegnativo e che non ho risolto, un po' perchè non mi sono impegnato più di tanto e un po' perchè così lo propongo a Voi senza la certezza della risposta. E' un problema di massimo che viene dato nei licei ECCOVELO:

In un sistema di assi cartesiani si considerino le parabole rappresentate dalle equazioni y = 3x - x2 e y = x2 -2x. Nella regione finita di piano delimitata dalle due curve si determini il triangolo avente un vertice nel punto comune alle due curve, diverso dall'origine, e il lato opposto parallelo all'asse delle ordinate e la cui area abbia valore massimo.

[Quelo]

Facendo qualche calcolo veloce mi risulta $\frac{5}{6}$ per l'ascissa di B, C e H e $\frac{125}{54}$ per l'area del triangolo

[Gianfranco]

Ciao Ronfo,

...che non ho risolto, un po' perchè non mi sono impegnato più di tanto...

Confermo: non ti sei impegnato!
AB=5x-2x^2 (basta sottrarre le equazioni delle parabole)
AH=(5/2-x)

4*Area(x)=4x^3-20x^2+25x

Derivata prima dell'area
4*Area'(x)=12x^2-40x+25

Massimo: x=5/6
minimo: x=5/2

...come ha detto Quelo

Gianfranco

[Quelo]

Propongo di trovare il poligono C-A-B-origine e il triangolo A-B-origine di maggior area

[ronfo]

La mia sincerità mi è costata una tirata di orecchie da parte di Gianfranco e me la meritavo ... ma se si legge bene il testo si evince che ero di fretta , infatti le due parabole sono rispettivamente
$y = 3x-x^2$
e
$y = x^2-2x$
ma tanto Voi lo avevate capito lo stesso !!!
Ottima la proposta di Quelo
CIAO

[panurgo]

Così, a naso, poiché le due parabole sono speculari rispetto al punto $\left ( \frac 54 , \/ \frac 54 \right)$, il triangolo ABO massimo è l'immagine speculare di ABC massimo rispetto al centro di simmetria, mentre il quadrilatero AOBC massimo è il parallelogramma che si ottiene con la retta verticale passante per il centro di simmetria