amici

[delfo52]

Estate, tempo di amicizie....
quale miglior occasione per un pizzico di storia sui numeri...amichevoli !
Abul Hassan Thabit ibn Qurra Marwan al-Harrani nacque in Mesopotamia verso l'836 e morì nel 901.
Tra i suoi contributi alla matematica vi è la derivazione di una formula per creare coppie di numeri amichevoli.
M e N sono definiti tali se ognuno è uguale alla somma dei divisori dell'altro (compreso 1, ma escluso il numero stesso).
La prima coppia è, come noto: 220 e 284.
I loro divisori sono: 1-2-4-5-10-11-20-22-44-55-110
e 1-2-4-71-142
Nel suo "Maqalafi istkhraj al-adad al-mutahabba bi-suhulat al-maslak ila dhalika" il buon
Thabit (lo chiamo cosi, amichevolmente....) fornisce questo sistema:
siano dati tre numeri primi distinti p, q e r
p= 3 x 2^2n-1 - 1
q= 3 x 2^n - 1
r= 9 x 2^2n-1 -1
con n > 1
M e N saranno una coppia amichevole data da
M= 2^n x pq
N= 2^n x r

Esempio: per n=2
p= 3x2 - 1 = 5
q= 3x4 - 1 = 11
r= 9x8 - 1 = 71
siccome sono tutti primi, posso derivare 220 e 284
Per n = 3, ottengo q=287 che non è primo, così la formula non è utilizzabile....
Thabit, pare, ricavò solo la prima coppia (220/284), e solo tre secoli dopo ibn al.banna (1256-1321) ricavò (per n=4) i valori di 23-47 e 1151 per ottenere la coppia 17296 e 18416.
non sappiamo se Fermat e Descartes, che dopo altri tre secoli si applicarono al problema, arrivarono in modo autonomo alla formula o se ebbero modo di leggere trascrizioni di Thabit.
Comunque, Cartesio, per n=7, ricavò 9363584 e 9437056
E' appurato che la geniale formula di T., oltre che per n= 2-4 e 7, non si adatta a nessun altro valore, almeno fino a n=20000.....
Per fortuna esistono altre linee di attacco. Ci si dedicò assai il mitico Eulero, che scovò oltre sessanta coppie...
Oggi sono note oltre quarantamila coppie !
La cosa singolare è che la seconda più piccola coppia di amichevoli sfuggì per un millennio a questo fior fiore di cacciatori, fino al 1866 o 1867, anno in cui uno studente italiano (Nicolò Paganini, solo omonimo) si accorse che 1184-1210 soddisfano le condizioni !
Finora le coppie sono sempre pari-pari o dispari-dispari.
ma non si sa perchè....

[Pasquale]

Ciao Delfo! Molto interessante: la proprietà per cui si ottiene pari-pari o dispari-dispari non è nuova come fenomeno di affinità in genere, come tante altre osservate in passato, tanto da entrare anche nei detti popolari, che evidentemente spesso si fondano su arcane proprietà matematiche.
Ad esempio, è matematico che: "l'aucielli s'accoppiano 'ncielo e i str... s'accoppiano 'nterra", che tradotto vuol dire: "gli uccelli si accoppiano in cielo, così come gli str..ani si accoppiano in terra".

[giobimbo]

Nel numero di novembre 2007 della rivista Math Horizons, William Dunham spiega come Eulero trovò i nuovi numeri amichevoli, usando la funzione $\displaystyle \sigma(a)$, che indica la somma dei divisori interi del numero a; per esempio con a = 15:
$\displaystyle \sigma(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24$.

Nel suo lavoro De Numeris Amicabilibus, Eulero trova, dato un numero a iniziale, la relazione
$\displaystyle \frac{a}{2a - \sigma(a)} = \frac{b}{c}$

con b e c legati dall'equazione
$\displaystyle (cx - b) (cy - b) = b^2$

e scomponendo $\displaystyle b^2$ in tutti i possibili prodotti di due fattori interi trova tutte le possibili coppie (x, y). A ogni coppia (x, y) è associata una tripla (p, q, r) ottenuta ponendo
p = x - 1
q = y - 1
r = xy - 1.
Se la tripla (p, q, r) è formata da tutti numeri primi allora i numeri M = apq e N = ar sono amichevoli.

Ad esempio, con a = 4 abbiamo $\displaystyle \frac{4}{8 - \sigma(4)} = \frac{4}{1}$, poiché $\displaystyle \sigma(4) = 1 + 2 + 4 = 7$, e
$\displaystyle (1x - 4) (1y - 4) = 16$.
Il numero quadrato 16 si può scomporre in tre modi diversi, 16*1, 8*2 e 4*4, da cui ricaviamo le tre coppie (x, y) = (20, 5), (12, 6) e (8, 8 ). Con la coppia (12, 6) ricaviamo la tripla (p=11, q=5, r=71), tutti numeri primi, quindi M = 4*11*5=220 e N = 4*71=284 sono numeri amichevoli.

Dunham fa un altro esempio con numero iniziale a = 585 da cui ricava b=15, c=2 e l'equazione $\displaystyle (2x - 15) (2y - 15) = 225$. Il numero quadrato 225 si può scomporre in cinque modi diversi, 225*1, 75*3, 45*5, 25*9 e 15*15, da cui ricaviamo cinque coppie (x, y); la quarta coppia corrisponde a (x=20, y=12) da cui ricaviamo la tripla (19, 11, 239) con tutti numeri primi e dunque altri due numeri amichevoli M=585*19*11=122.265 e N=585*239=139.815.
Nota: il termine $\displaystyle \sigma(a)$ è moderno, ai suoi tempi Eulero scriveva $\small\int \large a$ allungando la s di summa.

[delfo52]

ho letto da qualche parte che Eulero segnalò 64 coppie, ma che due erano sbagliate.....

[giobimbo]

Nel suo articolo Dunham dice che Eulero scoprì 58 nuove coppie, oltre alle 3 già conosciute da Cartesio. Anche Gino Loria, "Storia delle matematiche", Hoepli, scrive che Eulero portò a 61 le coppie di numeri amici; aggiunge ancora che in una sua memoria postuma trovò altre 30 coppie.
Questo è quanto ho trovato.

[delfo52]

E' Luciano Cresci in "I numeri celebri" a parlare di 64 coppie, di cui 2 errate.
Non ho trovato altre notizie del giovane Paganini. Chi sa che fine ha fatto ?

[giobimbo]

A quest'indirizzo web:

http://www.math.dartmouth.edu/~euler/do ... 92-107.pdf" onclick="window.open(this.href);return false;

si può vedere (o scaricare, a seconda del browser usato) la fotocopia della parte finale della memoria originale di Eulero, in particolare, nelle pagine 105, 106 e 107 c'è il catalogo delle 61 coppie di numeri amichevoli. Nella lista delle 30 coppie di cui dicevo prima, invece, c'è una coppia in cui i numeri non sono amici.

Aggiornamento via Internet: a tutt'oggi le coppie di amici sono quasi 12 milioni.

http://amicable.homepage.dk/knwnc2.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

[Gianfranco]

Carissimi amici,

vorrei ringraziare Enrico per il bellissimo post e Giobimbo per le ulteriori notizie.

Utilizzerò i vostri interventi per aggiornare la pagina di BASE Cinque:
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/numamici.htm

Un amichevole saluto
Gianfranco Bo