Vi propongo questi ....semplici quesiti sulle progressioni.
1) Dimostrare che in una progressione aritmetica è:
$\large \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+...+ \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}$
2)In una progressione geometrica sono note le somme:
$\large S=a_1+a_2+...+a_n$ ed $\large S'=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$
Calcolare il prodotto $P=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot...\cdot a_n$ in funzione di S ed S'
3) Semplificare la somma seguente:
$S= (x+\frac{1}{x})^2+ (x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^n+\frac{1}{x^n})^2$
4) Dati 2 numeri interi positivi n e k con $k\ge2$,dimostrare che
ogni numero della forma $n^k$ può essere espresso come somma di
n interi dispari consecutivi
karl
A proposito di progressioni...
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
A proposito di progressioni...
Ultima modifica di karl il dom giu 29, 2008 2:58 pm, modificato 3 volte in totale.
Re: A proposito di progressioni...
Vai col liscio!
Parto dalla 1. Anzitutto razionalizziamo il termine i-esimo della somma a primo membro:
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_i}+\sqrt{a_{i+1}}} = \frac{\sqrt{a_i}-\sqrt{a_{i+1}}}{a_i-a_{i+1}} =\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_i}}{d}$
dove d è la ragione della progressione (l'ultima uguaglianza vale per la definizione di progressione aritmetica).
Sommando tutti i termini a primo membro (magari in ordine inverso) otteniamo
$\displaystyle \frac{(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+(\sqrt{a_4}-\sqrt{a_3})+...+(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})}{d}=\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{d}$.
Questo per il left hand side.
Dall'altra parte abbiamo
$\displaystyle \frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})}{a_1-a_n}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})}{a_1-[a_1-(n+1)d]}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1})}{(n-1)d}$
e con una banale semplificazione il gioco è fatto.
Spero di avere copiato correttamente (può darsi che ci siano degli errorini di segno).
OTino: karl, per questo hai tratto ispirazione da un problema delle OliMat?
Parto dalla 1. Anzitutto razionalizziamo il termine i-esimo della somma a primo membro:
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_i}+\sqrt{a_{i+1}}} = \frac{\sqrt{a_i}-\sqrt{a_{i+1}}}{a_i-a_{i+1}} =\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_i}}{d}$
dove d è la ragione della progressione (l'ultima uguaglianza vale per la definizione di progressione aritmetica).
Sommando tutti i termini a primo membro (magari in ordine inverso) otteniamo
$\displaystyle \frac{(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+(\sqrt{a_4}-\sqrt{a_3})+...+(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})}{d}=\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{d}$.
Questo per il left hand side.
Dall'altra parte abbiamo
$\displaystyle \frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})}{a_1-a_n}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})}{a_1-[a_1-(n+1)d]}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1})}{(n-1)d}$
e con una banale semplificazione il gioco è fatto.
Spero di avere copiato correttamente (può darsi che ci siano degli errorini di segno).
OTino: karl, per questo hai tratto ispirazione da un problema delle OliMat?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
Re: A proposito di progressioni...
Molto bene,0-§ ! Non ho preso l'esercizio da oliforum ,anzi ignoro se su quel sito
ci sia una cosa analoga.In effetti i miei quesiti o sono copiati di sana pianta
dal web ( ) o sono personali rielaborazioni ( a volte anche riuscite !) di
problemi pescati un po' dovunque.
Saluti
karl
ci sia una cosa analoga.In effetti i miei quesiti o sono copiati di sana pianta
dal web ( ) o sono personali rielaborazioni ( a volte anche riuscite !) di
problemi pescati un po' dovunque.
Saluti
karl