aneddoto

[delfo52]

Ernst Kummer (1810-93) fu un grande matematico; e "quasi solutore" dell'ultimo teorema di Fermat.
Anche se esperto nella teoria dei numeri si dice che non fosse affatto bravo...a fare i conti !
Si racconta che, dovendo risolvere 9x7 alla lavagna davanti ad un'aula gremita, abbia proceduto così:
"è nella decina da 60 a 69; non puà essere pari; non può essere 61 nè 67, che sono primi; non può essere 65 che è multiplo di 5; non può essere 69, che è troppo grande,....è 63 ! "


Un alunno che risponde di botto in modo corretto, dimostra di aver imparato a memoria una filastrocca, magari senza nessuna vera comprensione dei concetti di numerosità e di moltiplicazione.
Chi rispondesse col procedimento "pazzo" di EK , dimostrarebbe di aver immagazzinato e compreso una bella mole di nozioni.....

[infinito]

Io faccio (non "farei": "faccio") così:

9 per 7 = (10-1) per 7 = 70-7 = 63

(sì: la sottrazione 70-7 riesco a farla a mente ... forse Kummer aveva delle difficoltà anche con la differenza ...? Allora era davvero più bravo di me!!!)

[delfo52]

in effetti è strano che qualcuno (sicuramente dotato) si inceppi sulla tabellina del 9.
Io, che amo la sottrazione anche meno di infinito, mi limito a cercare il numero le cui cifre fano somma 9, all'interno della decina inferiore a 10n
(Nell'esempio di EK: 70)

[Ivana]

Ho sorriso nel leggere i messaggi di questa filiera, anche perché i Programmi Ministeriali per la scuola elementare (ora detta "primaria") del 1985 recitano quanto segue:
"La formazione delle abilità di calcolo va fondata su modelli concreti e strettamente collegata a situazioni problematiche. Con ciò non si intende sottovalutare l'importanza della formazione di alcuni automatismi fondamentali (quali le tabelline, ad esempio) da concepire come strumenti necessari per una più rapida ed essenziale organizzazione degli algoritmi di calcolo."

[Daniela]

Ciao Delfo,
ho letto il tuo messaggio qualche giorno fa e mi e' piaciuto moltissimo, come sicuramente immagini. Purtroppo qualche volta l'automatismo e il ragionamento "competono", io non faccio una colpa ai programmi ministeriali di nominare gli algoritmi, ma e' innegabile che 1. le tabelline che 300 anni fa erano utili per l'adulto medio, adesso lo sono molto meno e 2. che se non hanno utilita' pratica tanto varrebbe fare algoritmi piu' interessanti, al limite anche un po' di programmazione (anziche' insegnare ai piccoli "clicca icona windows" eccetera).
la maggior parte dei ragazzini, e anche tante maestre, sono nella mia esperienza privi del concetto di moltiplicazione, che riducono ad una "addizione ripetuta". Quando io domando "e allora perche' ci si prende la briga di costruirla?" alcuni interlocutori non capiscono la domanda, come se dessero quasi per scontato che si costruiscano entita' pseudomatematiche con la sola funzione di rompere le scatole agli studenti. E che sia la cosa piu' normale del mondo.
E' molto bello quello che hai scritto alla ragazza che studiava il problema del cagnolino la mascotte del reggimento.

[Ivana]

[...]la maggior parte dei ragazzini, e anche tante maestre, sono nella mia esperienza privi del concetto di moltiplicazione, che riducono ad una "addizione ripetuta".

Credo che molte insegnanti considerino, dapprima, il termine "moltiplicazione" che, dal punto di vista etimologico, deriva dal latino "multiplicare", composto da "multum" (molto) e "plicare" (piegare, avvolgere, e, per estensione, "prendere più volte").
In didattica, nelle prime classi, vengono usati gli schieramenti e il prodotto cartesiano...

[Daniela]

Ciao Ivana, piacere di risentirti. La "piegatura" e' pero' una rappresentazione corretta della procedura di moltiplicazione, cosi' come lo e' la generazione (di cuccioli ecc); non e' impossibile trovare esempi concreti che presentino sulle quantita' l'analogo di come agisce l'operazione sui numeri. Anzi e' tutt'altro che impossibile proprio perche' tutte queste strutture sono state costruite sui numeri proprio perche' si erano rivelate utili sulle quantita', e da decine di secoli o chissa' quanto. Quindi, per come la vedo io, va benissimo lavorare sulle quantita' e sul concreto, anzi per un bambino va molto meglio (e poi si puo' spendere dieci parole sul fatto che il numero astratto e' leggermente diverso e se anche queste non verranno recepite cambia poco) pero' si deve scegliere una rappresentazione che non sia forzata, perche' anche se forse a rigore la "addizione ripetuta" e' parzialmente difendibile (in una discussione tra adulti che sanno parecchia matematica e che "giocano" a discutere), resta il fatto che non e' certo la piu' adatta, che rischia di creare confusione, che non si capisce la natura del prodotto (che prende due numeri e mi restituisce un numero.... e che sulle quantita' invece non e' cosi' elegante ne' cosi' simmetrico).

[Ivana]

Anche a me, carissima Daniela, fa sempre piacere "leggerti" (e non solo per solidarietà "di genere" )
Condivido quanto da te espresso, ma, con i bambini, perfino lo stesso Peano trasgredì l'"assioma didattico" (inerente alla trattazione rigorosa della matematica), perché si rese conto, giocando con loro, dell'inutilità del ricorso al rigore...

[Daniela]

aspetta aspetta "l'inutilita' del rigore" si potrebbe rovesciare in "il rigore dell'inutilita'".... perche' - a rigore - e perche' mai debbo introdurre un concetto se questo e' un doppione? un noioso (rigoroso?) inutile doppione?
pero' anche bambini molto piccoli sui 4 anni capiscono cos'e' un elemento neutro (dieci matite piu' zero matite restano tali, e tre torte divise in un solo pezzo ciascuna rimangono identiche...) e allora il cardine che connette + e * non e' piu' una misteriosa "proprieta' distributiva" ma e' lo sgabello su cui poggiare il piede per costruire un insieme numerico piu' ricco e (si puo' dirlo?) divertente!!
Si' e' vero qualche volta una spiegazione "inesatta" puo' suscitare la passione su cui costruire decenni - o anche una vita intera - di studi appassionati quanto rigorosi, e rigorosi quanto appassionati. Ma questo e' forse meno frequente di quanto si puo' immaginare, come ci ha magistralmente spiegato Feynman in un brano "corrosivo"

[Ivana]

La distributività, da te citata, mi ha fatto ricordare l’”algebra” della lingua di cui parla Bruno D’Amore, il quale propone ottimi esempi riguardo all'uso della congiunzione “e”, riuscendo ad "algebrizzare" la lingua italiana…

[Daniela]

Ma le aree del cervello deputate all'aritmetica (non quelle, che abbiamo in comune con gli animali, che permettono di contare fino a sei/sette/otto e che permettono di stimare le quantita' e di decidere se un mucchio e' maggiore di un altro e quanto maggiore, anche senza contare) sono proprio quelle che entrano in gioco nel linguaggio! Mi fermo qui, lascio la parola al Delfo

[delfo52]

effettivamente nel linguaggio e nella matematica (non quella innata cui accenna daniela) ha grande importanza la rappresentazione simbolica. Ciò che fa sì che "cane" indichi tutti i cani e che "cinque" indichi la numerosità di cose disparate (lo stesso "5" vale per i pensieri, per le fette di mortadella, per le noci, per i sassi....).
C'è chi sostiene (Devlin) che la particolare conformazione del nostro cervello è alla base del fatto che abbiamo acquisito queste due fondamentali doti.
Per centinaia di migliaia di anni, forse, i nostri antenati hanno avuto le potenzialità di sviluppare un linguaggio simbolico, prima di metterlo in pratica veramente.
Di sicuro c'è voluto molto più tempo per applicare tale "modulo" anche al mondo dei numeri. La grande difficoltà è che i numeri "non c'erano".
Per fare un esempio, è verosimile che già centinaia di migliaia di anni fa fosse utile avere un "vocabolo" per indicare la mamma, l'albero di banane, le orme di un predatore....
molto meno necessario indicare con precisione che il branco di renne che passava era composto da 146 elementi.....
Ci sono indizi (paleontologici, linguistici, archeologici....) che alcuni passaggi fondamentali siano avvenuti solo un numero piccolissimo di volte, nell'evoluzione del linguaggio matematico.
ma sarebbe una storia molto lunga

[infinito]

... pero' anche bambini molto piccoli sui 4 anni capiscono cos'e' un elemento neutro (dieci matite piu' zero matite restano tali, e tre torte divise in un solo pezzo ciascuna rimangono identiche...) ...

Sì, lo so che sono "antiaptico" (dico "antipatico" perché non dico parolacce ...), ma ...


se fosse così ovvio quello che dici, quasi tutti capirebbero che non cambia niente se moltiplico per se stesso 0 volte il 3 oppure il 126 o lo 0, cioè che 3° =1, 126° = 1, e infine ... (rullo di tamburi) ... 0° =1 .


(Mi scuso se probabilmente non risponderò nei prossimi giorni, non sarà "perché mi vergogno", ma dovrebbe essere per l'impossibilità della connessione - ora lo sto facendo da scuola).