I percorsi

[ronfo]

Per variare un po' questa volta Vi propongo un quesito , chiamiamolo, di ricerca operativa ( ma forse il termine non è corretto).
Il disegno allegato rappresenta un rione e i quadratini , ovviamente, le case e , sempre ovviamente ,tra una casa e l'altra c'è la strada; un tale abita in A e tutti i giorni si deve recare in B . Supponendo che egli possa andare solo a destra e verso l'alto ( se può tornare anche indietro allora i percorsi diventano infiniti) in quanti modi il nostro amico può raggiungere la meta???
CIAO
P.S.
I complimenti fanno sempre piacere ma diamo aCesare quel che è di Cesare ; mi riferisco al post precedente le "due dimostrazioni " la soluzione che ho proposto non è mia , a dire il vero non so neppure chi l'abbia scoperta , diciamo solo che , Molto stranamente , la memoria mi ha aiutato a ricordare sia il quesito che la soluzione .
Se mi date tempo ravanando tra le mie scartofie riuscirò a risalire alla fonte originale .
RICIAO

[Quelo]

Il numero dei percorsi monotoni in una griglia è dato da $\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)$, per n=4 ce ne sono 70.

Metodo poco ortodosso con cui ho ricavato la soluzione:
prima ho contato tutti i percorsi $P_n$ per n=1, 2 e 3 poi li ho confrontati con i numeri di Catalan $C_n$ (che indicano i percorsi monotoni che non superano la diagonale) e ho notato che il rapporto è pari a n+1 per cui essendo

$C_n = \frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)$ ricavo $P_n = \left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)=\frac{(2n)!}{n!n!}$

[delfo52]

Nella "geometria dei taxi" la distanza tra due incroci è data dal numero di segmenti necessari a congiungere i due punti.
In una griglia quadrata, provate a segnare come O un incrocio e con X tutti gli incroci che distano da esso 2 segmenti.
Le X andranno a disegnare un quadrato attorno al centro O, da cui sono equidistanti.
Come si chiama il luogo dei punti di un piano equidistanti da un punto ?
Circonferenza !
E così nel mondo geometrico dei taxi abbiamo quadrato il cerchio !
Chissà che ne direbbe Euclide....

[ronfo]

La risposta di Sergio è corretta , però non sono riuscito acapire come funziona la formula . Io ho trovato un metodo più intuitivo per giungere alla soluzione , ma per il momento non lo espongo ancora, in compenso Vi propongo un gioco analogo al precedente , e vediamo come lo risolverebbe Sergio con la sua Formula .
Il gioco è molto semplice : in quanti modi è possibile leggere la parola SPAZIO , della figura allegata , con spostamenti orizzontali e/o verticali?
CIAO