Dimensione frattale von Koch

[Gianfranco]

Cari amici,
vi propongo (in riassunto) un quesito tratto dal bel libretto di Gilles Dowek, Volete giocare con la matematica?, Barbera editore.

Si devono lastricare un sentiero, una terrazza e un tratto di costa che è la linea (frattale) di von Koch. (allego la scansione della pagina in cui descrive questa curva)
Per il sentiero servono 300 lastre da mettere in fila, una di seguito all'altra.
Per la terrazza servono 700 lastre.
Per la costa servono 1000 lastre.
All'ultimo momento si viene a sapere che l'impresa costruttrice ha soltanto lastre 3 volte più piccole di quelle previste.

Quante di queste lastre serviranno per il sentiero, per la terrazza e per la costa?
.
.
...segue risposta parziale e altra domanda...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ho alcuni dubbi sulla spiegazione della risposta relativa alla costa.
Dowek dice che:

"Per coprire la costa servivano 1000 lastre grandi, ora con lo stesso quantitativo di lastre più piccole si può ricoprire una costa tre volte più piccola.
La costa però è composta da 4 segmenti che formano ognuno una costa ridotta a un terzo.
Occorre perciò un quantitativo quadruplo di lastre, ammontante a 4000 unità."

L'autore poi approfondisce queste considerazioni per dimostrare che la dimensione di Hausdorff della curva di von Koch è ln 4/ln 3.

Chi sa spiegare meglio la soluzione del problema?

Gianfranco

[Gianfranco]

Ecco la scansione:

von Koch

frattaledowek.gif (24.07 KiB) Visto 9365 volte

[Quelo]

Assumiamo che le lastre siano quadrate e che per 3 volte più piccole si intenda ridotte a un terzo in larghezza e lunghezza.

Supponiamo che il numero di lastre sulla costa sia 1024 (per comodità di calcolo)
Ora consideriamo la linea di costa frattale ottenuta con soli 5 passaggi, avremo che la costa è in questo caso composta da esattamente 1024 segmenti e che ogni segmento è coperto per intero da 1 lastra. Se ora proseguiamo con la costruzione della costa non cambia nulla, perché la lastra copre anche tutti i nuovi segmenti, deve solo essere sagomata in modo diverso.

Torniamo alla fase con 5 passaggi e andiamo a sostituire le 1024 lastre con 3096 lunghe un terzo. Anche in questo caso non cambia nulla (tre piastrelle coprono un segmento rettilineo). Incrementiamo di un passaggio. Le piastrelle laterali coprono un segmento rettilineo e tutti gli eventuali segmenti generati dai passaggi successivi, la piastrella centrale invece copre tutti e due i nuovi segmenti in quanto l'altezza del triangolo equilatero è minore di quella della lastra (pari al lato) e ciò vale anche per tutti i segmenti generati dai passaggi successivi.

Diciamo che le lastre disposte in fila possono essere considerate come un nastro continuo flessibile di lunghezza 1024 e larghezza 1, che può essere ritagliato secondo il caso. Se riduciamo la larghezza del nasto a 1/3, è ancora possibile coprire (piastrellare) tutta la costa ?
Abbiamo visto che è così.

Ora veniamo al nostro problema: 1000 piastrelle equivalgono ad un nastro di lunghezza 1024 e larghezza leggermete superiore a 1 (1,024), di conseguenza 3000 piastrelle 3 volte più piccole sono sufficienti a lastricare tutta la costa.

Spero di aver interpretato correttamente il problema e non aver scritto un sacco di castronerie

[Ivana]

A pagina 27 del libro “Gli oggetti frattali” di Mandelbrot si legge:
“Supponiamo che un tratto di costa tracciato in maniera semplificata alla scala 1 : 1.000.000 sia semplicemente un triangolo equilatero. Che il nuovo dettaglio visibile sulla carta a 3 : 1.000.000 corrisponda a sostituire il terzo centrale di ogni lato con un promontorio a forma di triangolo equilatero, sì da ottenere infine un’immagine formata da quattro segmenti uguali. Che il nuovo dettaglio che compare a 9 : 1.000.000 consista nel sostituire ciascuno di questi quattro segmenti con quattro sotto-segmenti della stessa forma, ma più piccoli secondo un rapporto di un terzo, in modo da formare dei sotto-promontori. Continuando così all’infinito si perviene a una curva limite chiamata curva di Koch 1904”.
Con tale premessa, a me sembra che prendendo, come misurazione del perimetro di un tratto di costa (che è una curva di Koch), piastrelle "filiformi" tre volte più piccole, la lunghezza della costa “aumenta” e, nel caso specifico del problema, poiché sostituendo il terzo centrale di ogni lato si ottiene un’immagine formata da 4 segmenti uguali, allora occorrono 4000 piastrelle.

Per la dimensione frattale della curva di Helge von Koch segnalo una mia presentazione del 2004:
http://www.maecla.it/bibliotecaMatemati ... i_inse.htm" onclick="window.open(this.href);return false;
Vedere: Uno studio relativo al fiocco di neve di Koch sullla stessa riga dove è segnalato il libro di Emma Castelnuovo
"Pentole, ombre, formiche"
P.S. Enrico, poiché nutro massima fiducia in te, stasera ti contatterò privatamente per un consiglio medico…Grazie anticipatamente…

[delfo52]

leggendo il testo del problema e la triplice domanda, si capisce (?) dove vuole andare a parare l'estensore.
Se si tratta di pavimentare un sentiero (paradigma di grandezza unidimensionale, ci sarà bisogno di n piastrelle x 3
Se si tratta di una terrazza (bi-dimensionale) ce ne vorranno n x 9
Per una costa frattale..............
Si ricasca comunque nella solita difficoltà semantica. e di rapporto tra "esempio pratico" e "teoria".
Ad esempio: se la linea di costa, o anche il sentiero, è una linea ad una dimensione, e abbiamo a disposizione formelle quadrate, posso usarle in diagonale ? coprendo 1,4142... ad ogni piastrella. o anche di più se ci sono delle curve ! (e nel frattale ce ne sono....)
x I.N. : sono in attesa; se non fossi raggiungibile, usa i mp

[Ivana]

Genesi della curva di Koch



P.S. Grazie, Enrico!
(Ne approfitto per ringraziare anche Bruno, Gianfranco, Pasquale e Peppe...)

[Gianfranco]

Quelo, la tua spiegazione inizia in modo chiaro per me, ma al quarto paragrafo comincio a perdermi (a causa della mia ottusità).

Ivana, grazie per la segnalazione del link, che ho scaricato ed esminerò con cura. Grazie anche per l'immagine animata. Ho il libro di Mandelbrot che hai citato, ma la sua spiegazione non mi illumina particolarmente. Comunque insisterò.

Enrico, hai ragione, l'autore voleva andare a parare proprio dove hai detto tu.

Le mie difficoltà di comprensione nascono quando si parla (e molti ne parlano forse con troppa facilità di "curva che ottieni dopo aver ripetuto l'operazione all'infinito".


Ciao a tutti
Gianfranco

[Ivana]

Gianfranco, credo che Mandelbrot si riferisca all’infinito potenziale, al processo infinito caratteristico di quei particolari tipi di computazione automatica (tramite computer) per la modellizzazione matematica della realtà.
Emma Castelnuovo, in un suo libro, fa l’esempio di due curve frattali (di cui una è la curva di koch) dicendo che presentano le seguenti due caratteristiche:
- Sono ottenute ripetendo all’infinito una stessa costruzione che rende sempre più piccola una certa forma
-Hanno dimensione compresa fra 1 e 2
Nel caso specifico della curva di Koch tutta la costruzione è sempre fatta in base al modulo che sostituisce a tre segmenti uguali 4 segmenti.
Provo a fare un esempio molto banale e veloce: se con una lastra a forma di triangolo equilatero, con il lato di 9 centimetri, (da me usata come “misura di lunghezza”) “ricopriamo” perfettamente 4 segmenti della curva di Koch, occorreranno, invece, 4 lastre a forma di triangolo equilatero (aventi ognuna il lato di 3 centimetri) per “ricoprire” gli stessi 4 segmenti.
Ecco le due immagini da me costruite velocemente con cabri, per illustrare l’esempio da me fatto (Ho evidenziato in rosso i 4 segmenti uguali):


Lo stesso Mandelbrot, nel capitolo secondo del libro “Gli oggetti frattali”, spiega abbastanza dettagliatamente che quando è una costa a essere misurata, il risultato della misura aumenta all’aumentare della sensibilità dello strumento utilizzato….
So che durante la ricerca-azione sui frattali (a cui avevamo partecipato in vari insegnanti di diverso ordine e grado di scuola) una classe del quarto anno di un liceo aveva preparato una bella presentazione avente per argomento “Linee di costa frattali e loro dimensione”
http://www.maecla.it/ricerca_azione/index.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

[Quelo]

Quelo, la tua spiegazione inizia in modo chiaro per me, ma al quarto paragrafo comincio a perdermi (a causa della mia ottusità).

Be' non esageriamo... Casomai sono io che mi sono spiegato male.

Provo a chiarire il mio pensiero.

Ho considerato il problema pratico (quindi con lastre di certe dimensioni da adattare ad un percorso irregolare), devo quindi lastricare la costa ottenendo un bordo di una certa larghezza (non necessariamente uniforme). Per farlo taglierò e sagomerò le lastre a mio piacimento.

Prendo una costa di 5 iterazioni (1024 segmenti) e 1024 lastre quadrate.
Ora considero una sezione elementare di 4 segmenti e la lastrico con 4 lastre




Così facendo uttengo un nastro continuo che mi permette ti lastricare tutta la costa.
Immediadamente mi accorgo che se itero all'infinito la definizione della costa non sborderò mai dalle mie lastre, devo solo sagomarle ulteriormente. E' chiaro che non riuscirò più ad avere una bordatura di larghezza costante (perchè la lunghezza della costa aumenta).

Ora passo alle lastre da 1/3 e ne uso 12



Ottengo lo stesso risultato ma il bordo è largo solo un terzo.
Cosa accade se itero all'infinito la definizione della costa ?



I nuovi segmenti non sbordano per cui riesco a lastricare tutta la costa con 3096 lastre (magari reciclando il materiale asportato dalla nuova sagomatura)

A questo punto posso considerare che se sono sufficienti 1000 lastre per 1024 segmenti, allora otterrò un bordo lastricato leggermente più largo, quindi a maggior ragione, 3000 lastre da 1/3 sono sufficienti.

Naturalmente ho dovuto accettare un certo livello di approssimazione, del resto se la costa ha un numero infinito di segmenti, allora che le lastre siano 1000, 3000 o 4000 è indifferente perché dovrei fare un numero infinito di tagli per ottenere una lasticatura di larghezza uniforme. Diversamente la soluzione dipende dall'approssimazione scelta.

La risposta al quesito pratico, secondo me, dovrebbe essere: almeno 3000.

[Gianfranco]

Grazie amici,
ora la nebbia comincia a diradarsi, con i vostri disegni mi è tutto più chiaro.

Sto preparando anch'io qualche disegno per illustrare ciò che ho capito.

Una diversità tra i miei risultati e i vostri è che io immaginavo di "coprire" il tratto di costa con le piastrelle, mentre ho visto che voi lo "coprite" talvolta "affiancandolo".

Io inoltre uso dei cerchi, perché mi è risultato più semplice disegnarli, calcolando le coordinate del centro e il raggio.

Buona domenica!

Gianfranco Bo

[delfo52]

si torna sempre alla difficoltà di interpretare il testo....
Nei bei disegni di Ivana, mi pare che, come nota Gianfranco, si consideri "coperto" ciò che è solo "affiancato" o sfiorato.
Restando all'esempio dei triangoli di Ivana, nella parte inferiore, si "mostra" che occorrono 4 triangolini piccoli azzurri per "coprire" i quattri segmenti rossi. quelli esterni a punta in giù, e due intermedi a punta in alto.
Ma se togliamo questi ultimi due, e li sostituiamo con un terzo triangolino a punta in giù, messo in serie con il primo e il quarto (ora terzo), non copriamo ugualmente i due tratti intermedi della linea? sempre che sfiorare valga coprire....
Pensavo al "paradosso" della misurazione delle linee costiere (sul quale scrissi un breve apologo anni orsono), proprio ieri. All'Autogrill (ma io mi ostino a chiamrlo Mottagrill !) mi hanno dato in omaggio un librone di quasi mille pagine, pieno di "fatti": dalle bandiere al nome dei deputati; dagli elenchi dei Nobel a quelli degli Oscar; dal numero degli abitanti alle statistiche Istat. C'è anche una tabella che elenca gli stati con il relativo sviluppo costiero. Mi chiedevo se esiste una convenzione approvata e condivisa che detta le regole di tale misurazione....
Senza andare a cercare: qual è il primo in classifica ? (NON sono le Filippine)

[Quelo]

C'è anche una tabella che elenca gli stati con il relativo sviluppo costiero. Mi chiedevo se esiste una convenzione approvata e condivisa che detta le regole di tale misurazione....
Senza andare a cercare: qual è il primo in classifica ? (NON sono le Filippine)

Io vedrei bene il Canada, che oltre ad essere molto esteso, ha una costa molto frastagliata e possiede numerose isole. Per non parlare poi dei laghi (sempre che contribuiscano allo sviluppo costiero).

...

A questo punto però la tentazione di andare a verificare è stata troppo forte.
Una conferma o smentita l'ho avuta semplicemente guardando una cartina perché il rapporto tra il primo e il secondo è notevole, dell'ordine di 5:1. Inoltre ho ltrovato un sito ricco di informazioni abbastanza inutili con una quantità di classifiche a tema geografico: http://home.comcast.net/~igpl/Earth.html

[delfo52]

Qui su base5 non c'è gusto....
Siete troppo bravi !
Canada centrato al primo colpo.

Questo sul libro non c'è, ma...
qual è , in Europa almeno, l'isola lacustre più estesa ?
(parlando di estensione, non di coste, l'argomento è OT, ma Mandelbrot mi perdonerà...

[Pasquale]

Montisola dell'Iseo?

[delfo52]

A questo punto, ero certo che qualcuno avrebbe indivinato al volo !
Bravo Pasquale