Dimensione frattale von Koch

[Ivana]

Credo che la teoria frattale non abbia ancora avuto una sistematizzazione, per cui le manca un proprio “statuto epistemologico” che possa chiarire dubbi e incomprensioni. (In compenso, c'è molto, troppo?, spazio per l'immaginazione)
Cerco di spiegare il mio punto di vista…
Come ripeto, ho utilizzato la lunghezza di uno, e uno solo, lato della lastra per misurare il tratto di costa.
Misurando una costa, più la lastra è lunga, più non si tiene conto delle “insenature” che restano “nascoste” e viene misurato il tratto come se si considerasse rettilineo (immaginato diviso in tre segmenti uguali).
Più la lastra è piccola, più si considerano e misurano i particolari. Poiché nella curva di Koch da un segmento diviso in tre parti uguali si passa a 4 segmenti, con la lunghezza del lato di una lastra grande misuro la lunghezza di un segmento rettilineo (senza tener conto dell’insenatura) mentre con la lunghezza del lato di ognuna delle 4 lastre piccole misuro i 4 segmenti…
Nella rappresentazione grafica ho usato i triangoli equilateri solo per velocizzare la costruzione, avendo già preparato e salvato, molto tempo fa, la macro specifica.
Insomma, sempre in base al mio “punto di vista”, mi ero imposta la “regola” che un lato di una lastra misura un segmento. Se avessi posizionato una lastra nel modo spiegato da Enrico, sarebbero stati due i lati di una stessa lastra a misurare due segmenti distinti della costa…
(Sottolineo che con la lastra grande ho misurato un solo segmento rettilineo (come se ci fosse un unico segmento diviso in tre segmenti uguali).

[Ivana]

Ho cercato in rete "Quanto è lunga la costa della Bretagna" e ho trovato che qui:

http://tomma25.altervista.org/modelli.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

ci sono proprio alcuni brani tratti dal libro "Gli oggetti frattali di Mandelbrot"

e qui
http://www.dti.unimi.it/~citrini/GC/frattali.pdf" onclick="window.open(this.href);return false;

mi pare ci sia qualcosa sempre inerente alla misurazione di una costa...

Purtroppo devo scappare...

[Gianfranco]

Cari amici,
vediamo se ho capito.
Prima di tutto, basandomi sulla spiegazione di Quelo e sulle indicazioni di Ivana e Enrico, ho cercato di usare piastrelle quadrate, invece che circolari.

Estendo la risposta su vari messaggi.

Qual è la piastrella quadrata più piccola con cui posso coprire un segmento rettilineo?
E' quella che ha tale segmento come diagonale.

fig. 1) Koch livello 1
Lo copro con una grande piastrella. La quale copre anche tutti i livelli successivi della curva di von Koch.
Se mi danno piastrelle tre volte più piccole, me ne bastano 3 per coprire il segmento.

[Gianfranco]

fig. 2) Koch livello 2
Lo posso coprire con la stessa piastrella di prima...

[Gianfranco]

fig. 3) Koch livello 2
...ma che succede se ho soltanto piastrelle tre volte più piccole di quella precedente?
Me ne servono 4.
Se ho piastrelle tre volte più piccole (di quelle 4 della figura), e se lo sviluppo della curva frattale si ferma qui, me ne bastano 4*3=12.

[Gianfranco]

fig. 4) Koch livello 3
Lo posso coprire con le 4 piastrelle di prima...

[Gianfranco]

fig. 5) Koch livello 3
...ma che succede se ho soltanto piastrelle tre volte più piccole di quelle precedenti?
Me ne servono 4^2.
Se ho piastrelle tre volte più piccole (di quelle 16 della figura), e se lo sviluppo della curva frattale si ferma qui, me ne bastano 4^2*3=48.

[Gianfranco]

fig. 6) Generalizziamo: Koch livello "infinito"
Lo posso coprire con una grande piastrella...

fig. 7) Koch livello "infinito"
... o con 4, 3 volte più piccole

fig. 8) Koch livello "infinito"
... o con 4^2, 3^2 volte più piccole

fig. 9) Koch livello "infinito"
... o con 4^3, 3^3 volte più piccole


Poiché la curva si suppone generata fino al livello "infinito", il processo non ha termine.
La posso coprire con 4^n piastrelle, 3^n volte più piccole rispetto alla grande piastrella iniziale.

Inoltre, in qualunque stadio mi trovo, se uso piastrelle tre volte più piccole, me ne servono il quadruplo.

Questo perché la curva è generata fino al livello "infinito" (che però non riesco a immaginare).

Ok, ma come si collega questo fatto con la dimensione di Hausdorff?


Gianfranco

[Ivana]

Poiché la curva si suppone generata fino al livello "infinito", il processo non ha termine.
La posso coprire con 4^n piastrelle, 3^n volte più piccole rispetto alla grande piastrella iniziale.

Inoltre, in qualunque stadio mi trovo, se uso piastrelle tre volte più piccole, me ne servono il quadruplo.

Questo perché la curva è generata fino al livello "infinito" (che però non riesco a immaginare).

Ok, ma come si collega questo fatto con la dimensione di Hausdorff?


Gianfranco

Perfetto! Hai reso in modo chiarissimo l'idea che anch'io avevo in testa...
La dimensione della curva di Koch rimane, comunque, 1,261859507... (escludendo lo stadio 0, che rappresenta un segmento) calcolata semplicemente con la "funzione LOG" di excel.
Emma Castelnuovo, nel libro da me già citato in precedenza, ha spiegato in modo elementare ed efficace come calcolare la dimensione frattale della curva di Koch...

Io ho continuato così:

[Gianfranco]

Grazie Ivana,
cercherò di procurarmi il libro di Emma Castelnuovo o una spiegazione equivalente e altrettanto chiara.

Seguendo il tuo ragionamento si ha che:

$d=\log_{3}4$

Spero di avere tempo per sperimentare anche un ricoprimento con piastrelle triangolari, come quello che hai proposto tu all'inizio.

Nota: quello che tu chiami "livello 0", io l'ho chiamato "livello 1", perciò la mia numerazione dei livelli andrebbe tutta scalata di 1 posto.

Ciao
Gianfranco

[Ivana]

Grazie Ivana,
cercherò di procurarmi il libro di Emma Castelnuovo o una spiegazione equivalente e altrettanto chiara.

Spero di avere tempo per sperimentare anche un ricoprimento con piastrelle triangolari, come quello che hai proposto tu all'inizio.

Nota: quello che tu chiami "livello 0", io l'ho chiamato "livello 1", perciò la mia numerazione dei livelli andrebbe tutta scalata di 1 posto.

Ciao
Gianfranco

OK!!!
Avevi letto la poesia di Grazia Raffa e mia dedicata proprio alla dimensione frattale della curva "fiocco di neve" di Koch? Il concetto di dimensione frattale della curva di Koch, espresso nei versi, è il concetto spiegato da Emma Castelnuovo nel suo libro...

[Gianfranco]

Risposta velocissima!
Nel frattempo avevo modificato il messaggio...
La poesia è quella che riporto qui sotto?
E' completa così o manca qualche verso?
Posso inserirla nella sezione "Poesie" di BASE Cinque?


Grazia Raffa e Ivana Niccolai

Qual è la dimensione del fiocco di neve di Koch?

Da un triangolo si parte
con i lati uguali ad arte;
ogni lato in tre segmenti
si divide, "equivalenti".

Un segmento in ogni lato
poi nel centro vien levato.
Fatto ciò, si forma stella,
con sei punte, molto bella,
sostituendo, ai segmenti,
dei triangoli "carenti".

Poi, con un calcolatore,
si ripete anche per ore

Riflettiamo che il costruito
ha un modello stabilito:
che da sempre sostituisce
quattro a tre, quindi arricchisce.

Tre e quattro, qui abbinati,
in che modo son legati?
Tre, pensato alla seconda,
porta a nove, cifra tonda,
che è di quattro ben maggiore,
di sicuro, non ci piove;
mentre tre, quel poverino,
è di quattro più piccino.

Quindi un numero, che è "d",
va cercato lì per lì:
tre alla d, a quattro uguale,
qui risulta tal e quale
e il "d" con emozione
qui si chiama dimensione
della curva, detta in breve
(ma che gel!) "fiocco di neve";

questa fredda dimensione
osserviam con attenzione:
decimal tra uno e due
resta sempre sulle sue;
più di uno ha dimensione,
ma di due è in defezione:
non ricoprirà il quadrato,
perché al due non è arrivato

È un esempio niente male
della curva ch’è frattale;
per saper come si ottiene,

"frattalare" qui conviene,
ripetendo all’infinito
tutto ciò che s’è costruito.

La "foresta" del frattale
non è simbolo di male,
bensì quello d’avventura
sulla strada di cultura.

Grazia Raffa e Ivana Niccolai

Ciao
Gianfranco

[Ivana]

Grazie, Gianfranco, inserisci dove vuoi la poesia di Grazia e mia...Sì, è completa, mancano solo le immagini relative...
Grazia e io avevamo spiegato in ottonari quello che ha detto la Castelnuovo riguardo a come "sono legati" i numeri 3 e 4 nella suddivisione del segmento (che da 3 segmenti uguali passa a 4)...

Oggi pomeriggio non sono uscita (a causa della pioggia) e ogni tanto entro in base5...

Intanto ti segnalo questa mia "vecchia" pagina web:
http://www.maecla.it/bibliotecaMatemati ... onaria.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

[Ivana]

Puoi trovare il libro "Pentole, ombre, formiche : in viaggio con la matematica" di Emma Castelnuovo presso la Biblioteca Bruschi di Sestri ponente.

Si potrebbe "ricoprire" la costa frattale di Koch (la parola "ricoprire" è usata proprio da Mandelbrot nel capitolo "Quanto è lunga la costa della Gretagna?") proprio con i cerchi (come tu avevi intenzione di fare e come dice lo stesso Mandelbrot)...
Mandelbrot ha accennato anche a un nastro di forma rettangolare per la copertura della costa...
Come ripeto, io avevo scelto la forma triangolare perché così non dovevo stare più tempo a preparare macro opportune...Avevo già pronta (perché realizzata molto tempo fa) la macro che mi costruiva il triangolo equilatero su un segmento dato...