Prodotto di n fattori, con n naturale

[Ivana]

Gianfranco e Ivana, mi avete fatto venire una
gran voglia di andare in biblioteca per leggere
finalmente questo famoso formulario

Grazie, Bruno, sei immancabilmente gentilissimo...
A Genova, tale volume si trova solo nella biblioteca di alcune facoltà universitarie...

[Gianfranco]

Ciao Bruno,

Se lo chiedi alle Edizioni Cremonese, forse ne hanno ancora qualche copia.

Gianfranco

[infinito]

Ivana ha scritto:
Infinito, hai provato a vedere se il Formulario Mathematico è presente in qualche biblioteca universitaria della tua città?
No, non ho provato (e credo che sarà difficile che ci provi), però se ci fosse modo di scaricarlo dalla rete ...

Cita:
Anch’io, come Gianfranco, non riesco a immaginarmi il prodotto di zero fattori, o di un fattore; posso pensare al prodotto di fattori zero (cioè di due o più fattori tutti uguali a zero) o al prodotto di fattori uno (cioè di due o più fattori tutti uguali a 1).
???
Davvero: non riesco a rendermi conto della difficoltà di questa cosa (credo che il non capire bene le difficoltà degli studenti sia per me uno dei miei problemi maggiori (o anche il maggiore) con loro.



Però vi ho dato anche una definizione "intuibile", che formalizzo così:

«Se A è un insieme in cui è definita un'operazione binaria "prodotto" che indico con "·" che sia associativa ed abbia un elemento neutro "u", allora data una n-pla a=(a1; a2; a3; ... a) di elementi di A, il prodotto p degli elementi si ottiene con n prodotti: p=u·a1·a2·a3...an»

Che in un esempio decisamente più concreto è

«Dato un numero reale a e un numero naturale n, definisco la potenza n di a come a^n uguale al prodotto di n fattori uguali ad a, cioè il numero ottenuto moltiplicando 1 n volte per a»

È chiaro che moltiplicando 3 volte ottengo 1·a·a·a=a³, 2 volte ottengo 1·a·a = a², 1 volta ottengo 1·a=a¹, 0 volte ottengo 1.


Mi pare ora perfettamente intuibile che la "nuova definizione
- coincide con la vecchia per n maggiore di 1;
- estende la vecchia ai casi n=0 e n=1;
- non ci sono altri casi "interessanti" (è definita per ogni n naturale);
- non si incappa in concetti "sbagliati", "ambigui" o "brutti" (per esempio "a³ si ottiene moltiplicando a per se stesso 3 volte" (in realtà si moltiplica solo 2 volte) ).

Cioè dovrebbe essere intrinsecamente intuibile.



Comunque faccio notare che questo esempio ("1·a·....") lo ho "trovato" solo per spiegare il concetto in modo più "naturale", mentre per me la definizione è intuitiva intrinsecamente, e mi è nata dalla definizione di potenza: ossevando a^n=a·a·a·a·a·...·a ho visto che è il prodotto di n fattori ugual ad a, il che mi pare ovvio che si estenda almeno fino ad 1 fattore; poi per zero ho fatto un "salto", ma ci sono arrivato abbastanza facilmente per intuito, ho solo controllato che non ci fossero problemi, o meglio: che quelli che si trovavano non dipendessero dalla definizione "a°=1".

[Admin]

Salve,
premetto che non ho le conoscenze necessarie per addentrarmi nel mondo delle definizioni.

Voglio solo riportare le definizioni di potenza presenti sul mio libro delle superiori, il mitico Zwirner-Scaglianti:

Def.1) Dato un numero razionale a e un numero intero positivo n maggiore di 1, si chiama potenza ennesima di a il prodotto di n fattori uguali ad a.

Def.2) Si chiama potenza di un numero razionale a secondo l'esponente 1, il numero a stesso; cioè, per definizione, si pone: $a^1\/=\/a$.

Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a, diverso da zero secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: $a^0\/=\/+1$.

Credo che siano molto chiare e semplici.

Ciao
Admin

[Br1]

Se lo chiedi alle Edizioni Cremonese, forse ne hanno ancora qualche copia.

Grazie, Gianfranco, ho appena inviato un fax
con la mia richiesta. In effetti, per me sarebbe
senz'altro più comodo acquistarne una copia
piuttosto che prenderla in prestito.

A presto!

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Piesse per Ivana, Daniela, Simona: vi ho già
spedito gli "autografi"




>>> Edit

La Cremonese ha chiuso e mi ha invitato a
contattare l'UMI.

[Ivana]

Credevo che sia infinito sia Bruno fossero interessati solo alla consultazione del Formulario di Peano, non all'acquisto...

Bruno, ho ricevuto stamattina il tuo graditissimo dono :

[Ivana]

Sì, Pietro, quando in matematica si vuole estendere un concetto, vengono date nuove definizioni, in modo tale che le proprietà già conosciute siano mantenute (si usa, cioè, il principio di permanenza delle proprietà formali).

[Ivana]

Infinito, personalmente cercando di approfondire il cosiddetto "paradosso cognitivo del pensiero matematico", evidenziato da Duval, credo di aver capito un po' di più le difficoltà che incontrano gli alunni nell'apprendimento dei concetti matematici...

[Gianfranco]

Bruno,

guarda un po' qui (webster.it):
http://www.webster.it/vai_libri-author_ ... e-p_1.html" onclick="window.open(this.href);return false;

Formulario mathematico
Peano Giuseppe

Prezzo: € 33.90

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Pietro, anche Zwirner (1904-1979) era un grande. Non per niente si chiamava Giuseppe!

Gianfranco

[Ivana]

Pietro, anche Zwirner (1904-1979) era un grande. Non per niente si chiamava Giuseppe!

Gianfranco

Diciamo "Giuseppe", non solo come Giuseppe Peano, ma anche come il nostro carissimo Giuseppe (detto Peppe)

[peppe]

Diciamo "Giuseppe", non solo come Giuseppe Peano, ma anche come il nostro carissimo Giuseppe (detto Peppe)

Ivana...Ivana...non bestemmiare!!!

Gianfranco probabilmente si riferiva al falegname più famoso dell'umanità,oppure a
qualche altro grande matematico,di nome Giuseppe come Peano, che in quel momento gli passava per la testa.
Ora verifico nella galleria dei ritratti ...

[Ivana]

Diciamo "Giuseppe", non solo come Giuseppe Peano, ma anche come il nostro carissimo Giuseppe (detto Peppe)

Ivana...Ivana...non bestemmiare!!!

Gianfranco probabilmente si riferiva al falegname più famoso dell'umanità,oppure a
qualche altro grande matematico,di nome Giuseppe come Peano, che in quel momento gli passava per la testa.
Ora verifico nella galleria dei ritratti ...

Esagerato!!!
Mi è venuto spontaneo (in base alla mia..sensibilità?) associare il nominativo "Giuseppe" anche all'unico basecinquino con tale nome dichiarato...

[Gianfranco]

Cari amici,

in realtà pensavo a Giuseppe Peano, ma in questo periodo sto pensando molto anche a Peppe, per cui le due cose vanno assieme.
E, perché no? Mettiamoci anche San Giuseppe!

Tra parentesi: ricordo che su un libro di Zwirner ho trovato una delle migliori spiegazioni didattiche della definizione di Dedekind di numero irrazionale (i "tagli di Dedekind").

Ciao
Gianfranco

[Br1]

Bruno,

guarda un po' qui (webster.it):
http://www.webster.it/vai_libri-author_ ... e-p_1.html" onclick="window.open(this.href);return false;

Grazie mille, Gianfranco, ho già provato a fare
l'ordine
Saprò dirti.

[Ivana]

Cari amici,

in realtà pensavo a Giuseppe Peano, ma in questo periodo sto pensando molto anche a Peppe, per cui le due cose vanno assieme.
E, perché no? Mettiamoci anche San Giuseppe!

Tra parentesi: ricordo che su un libro di Zwirner ho trovato una delle migliori spiegazioni didattiche della definizione di Dedekind di numero irrazionale (i "tagli di Dedekind").

Ciao
Gianfranco

Ricordo che a me era piaciuto il modo in cui veniva brevemente presentata da D’Amore e Oliva, in un loro libro, la storia della questione della continuità dell’insieme dei numeri (o, analogamente, dei punti della retta) per giungere a confrontare l’assioma della continuità di Dedekind e l’assioma della continuità di Cantor.
Avevo ritenuto interessante anche la spiegazione del metodo dei tagli…