Prodotto di n fattori, con n naturale

[Daniela]

2° è 1 in R (sottintendendo il prodotto tradizionale) se e solo se s'accetta prima la scrittura 2^-n come 1/2^n

No, Massimo, ancora una volta ripeti un concetto che credevo si fosse chiarito, e forse vale la pena di ripeterlo.

Nel documento «0°=1, inequivocabilmente», nella 3ª definizione, introduco le potenze in modo molto simile a quello che si fa (anche io) comunemente.
Quindi definisco, per n>1, «a^n è il “prodotto di n fattori uguali ad a», poi ne dimostro le proprietà.
Dopo, al punto 3.4 ho scritto «Si vuole poi estendere la potenza anche agli altri numeri naturali, cioè a 0 e 1, e lo si fa richiedendo che valgano le tre proprietà di sopra, secondo il principio di permanenza delle proprietà formali.»
Quindi, cercando un valore di a¹ tale che verifichi le tre proprietà formali, giungo a trovare che a¹=a.
Sotto, con analogo ragionamento, giungo a a°=0 (per ogni a).

Cioè io non utilizzo il ragionamento sbagliato (quando lo applico ad a=0) che
«poiché a° = a^n/a^(-n), se a=0 l'espressione non ha senso, quindi non si può definire a° con a=0».
Dovrebbe essere evidente la gravità dell'errore di tale ragionamento (se no lo chiarisco).
E forse è evidente come sia vicino a quello spinge a rifiutare il caso a=0 in a°=1.


Allora, riferendomi a quanto ho quotato qui sopra, quando definisco le potenze dei reali, definisco inizialmente le potenze ad esponente naturale, e SOLO DOPO le estendo agli interi.



Resta comunque sempre uno scoglio (per la tua posizione) ancora più grande:
se si vuole estendere l'insieme degli esponenti, si cerca o l'insieme più ampio su cui si possa definire, oppure un “insieme buono” (per esempio N) su cui definirlo. Per quale motivo si esclude il caso 0°? Cioè: mi sai dire una qualunque motivazione “concreta”, oppure logica “stringente”, per cui si debba scartare tale caso?
Sembra che uno abbia due strade “equivalenti”: o accettare 0°=1, oppure scartarlo “a priori”.
«Però, mentre è naturale supporre che 0° abbia significato (e magari che il suo valore sia quello che viene dalle definizioni precedenti, cioè 1, perché a°=1), avere il concetto che «0° non è definito» è una posizione “pregiudiziale” (se non ci sono motivi fondati “a priori” per escluderlo). Ed è davvero difficile non lasciarsi condizionare dall'idea “gratuita” (come idea a priori) che «0° non può essere definito perché è intrinsecamente “una forma indeterminata”». Cioè io credo che il percorso naturale sia: parto dall'idea che il concetto debba essere definito sull'insieme massimo possibile N e che venga ristretto solo se si presentano contraddizioni, o “ineleganze”» (questo è il punto 6.1, ma confronta anche i seguenti).

a^1 è a in R se e solo se s'accetta prima la scrittura a^1/n come radice n-esima di a.

analogamente qui.

Permane la confusione fra strutture numeriche e funzioni.
Per il resto, mi pare che ti si sia ampiamente spiegata la questione, dunque, hai tutti gli elementi per trarre tutte le conclusioni, e se non ti va di trarle, pensala come vuoi.

[Massimo]

per completezza, è possibile poi definire prodotti anche più scarsi di quelli citati. Si pensi all'operazione axb=1 AxB->{1}
esso è un prodotto. Per esso è naturale aspettarsi che 0° faccia 1.

certo che e' un prodotto e che lo puoi anche definire in NxN, ma non e' la moltiplicazione canonica della struttura di N che e' un monoide additivo e moltiplicativo con proprieta distributiva la quale con questo prodotto qui andrebbe a perdersi. Quanto ho detto vale per la moltiplicazione canonica di N, infatti come ho gia' scritto, imporre 0^0:=1 significa divorziare l'operazione di potenza dalla moltiplicazione canonica, e questo puo' essere piu' o meno inutile ma non c'e' nulla di male a farlo (ed e' di fatto quello che si sta facendo, mi pare). Si tratta di un approccio molto diverso da quello di cui ho parlato nel messaggio precedente.
Non credo esisterebbe un prodotto ben fatto e ben definito che vada a generare una operazione di prodotto ripetuto "potenza" come dice Gaspero, ma naturalmente, potrei sbagliarmi.

axb=1 è un prodotto buonissimo.
se cerchiamo però un anello/campo/gruppo (lascio ad altri la definizione, non essendo io un matematico) convincente si deve cercare un'addizione FURBA che si presti.

si pigli quindi l'addizione | a+b=1.

fatto. tutto funziona.

in altri termini: sia il dominio l'insieme degli aggettivi attribuibili a dei pastelli. Sia invece il codominio l'aggettivo "Colorato".
Si consideri la somma come il risultato di più pastelli: ROSSO + GIALLO = COLORATO
COLORATO + VERDE = COLORATO.

Sia poi la moltiplicazione un ragionamento a pixel:
una fila di pixel verdi x una fila di pixel viola = colorato
...

è un anello scemo ma funzionante.

[Daniela]

e' funzionante ma non e' isomorfo a N! e' molto piu' semplice di N

ciao buon weekend a tutti

[Massimo]

e' funzionante ma non e' isomorfo a N! e' molto piu' semplice di N

ciao buon weekend a tutti

non è una condizione necessaria però quella che cerchi.

[infinito]

Guarda infinito, ho cercato di dimostrarlo in tutte le salse ma evidentemente ti sei fossilizzato in un'apparente convinzione di essere nel giusto.
Pertanto vedi di affrontare con spirito critico le critiche mosse nei tuoi confronti e non partendo da un "no massimo" che presuppone che essendoci scritto qualcosa di differente da ciò che scrivi sia sbagliato.

Massimo, entrambi siamo convinti di quello che scriviamo, e pensiamo che sia l'altro che non capisce. E ti riconosco anche di cercare senza avere preconcetti.

Allora ti chiedo se, per favore, mi evidenzi dove e perché che PER LA PRIMA VOLTA ti viene la "necessità" di introdurre il "per a diverso da zero", grazie.

In questo caso, come ho scritto, l'aritmetica ha dei teoremi diversi; uno di questi e' " "0^0=12" non e' una proposizione falsa" mentre la struttura che Gaspero intende costruire ha, ovviamente, il teorema " "0^0=12" e' una proposizione falsa". Dunque una tale costruzione non e' e non puo' essere l'aritmetica.

Daniela, la mia impressione è che in questo ambito (definizioni di base e loro valutazione in N) si possa e debba ragionare in termini “di base” (possibilmente anche intuitivi).
Tutti i discorsi complicati che introducono “concettoni” che io conosco da poco a nulla (anche se a suo tempo mi sono studiato le dimostrazioni di Goedel, e mi sono pure piaciute) mi pare che abbiano come principale scopo il “mettere paura”.

Non ci ho capito molto, ma se ho ben capito la conclusione (cioè la parte che ho quotato) tu stai semplicemente dicendo che ho esteso la definizione di potenza facendoci entrare anche il caso 0°, quindi sono in un ambito diverso dal tuo (o vostro).
Mi dici a che serve dirlo con tutti quei paroloni, se non solo a dare una parvenza di “discorso serio”?

O forse non ho capito quello che intendevi.
Allora te lo chiedo: «È come ho detto, oppure non ho capito?»





Comunque mi pare che si sia perso quasi del tutto il collegamento, si continui a ripetere le stesse cose e che effettivamente si parli di cose diverse (non nel senso più volte ripetuto da Daniela).
Per questo cerco di riassumere evidenziando
- che cosa richiedo da voi;
- su cosa concordo e su cosa no.
Poi magari siamo comunque in disaccordo ...


Ammettiamo pure che la non definizione di 0° sia la posizione ufficiale, io sto dicendo comunque che non c'è alcuna MOTIVAZIONE LOGICA (“stringente”) che porta ad escludere il caso 0°=1, .
Vi chiedo quindi o di dimostrare l'opportunità logica di tale esclusione, oppure di riconoscere la (vostra) non dimostrabilità, oppure l'assenza di motivazioni logiche.
Nelle motivazioni logiche escludo del tutto il “si fa così”, “è la posizione ufficiale”, ed altri “ipse dixit” senza dimostrazioni.



Voi mi dite che però se io cambio la definizione “ufficiale” io introduco una NUOVA OPERAZIONE.
Su questo concordo senza problemi: se ce ne è già una, ed io la ampio, questa è una nuova operazione, anche se è solo un ampliamento.



Una volta stabilito che ci sono le due operazioni (potenze) viste, la “mia” e la “vostra” (“di tutti”) una in N, l'altra … (non è definita solo in (0, 0), chiedo se è possibile darne una valutazione non troppo soggettiva delle loro caratteristiche.



Analoga valutazione la chiederei per il passaggio da “operazione iterata” (nel caso in cui la “operazione singola” sia binaria, si tratta dell'operazione ripetuta con almeno due fattori) a “operazione estesa (anche con 0 o 1 elementi).

[Massimo]

forse ho fatto male a non postare un mio intervento ieri provo ad inserirlo in calce.
======
comunque provo a risponderti per come la penso.

per a diverso da 0 non mi viene sempre. Mi viene qualora non sappia giungere ad a^0 in altri modi.

il prodotto canonico in Zn porta a 0^0 = 0 senza ombra di dubbio. idem per il prodotto = resto di un prodotto...

per il prodotto canonico invece parti da una struttura a^n con n app. ad N>=2. Poi accetti la scrittura a^-n=1/a^n e ciò ti consente di aggiungere elementi. Poi accetti radicem-esima di a = a^(1/m) e completi il quadro dei razionali. Poi completi con gli irrazionali.

Bene, adesso mi ricollego alla premessa. Ci tengo a ricordare che ciò che seguirà non ha nulla a che vedere con il concetto di limite.
Si vogliano studiare 3^3, 3^pigreco, pigreco^3, pigreco^pigreco e 0^0.
il primo caso ovviamente lo omettiamo 3^3 =27.

3^pigreco e pigreco^3 si hanno numeri irrazionali. operativamente SCRIVEREMO una rappresentazione di tale risultati APPROSSIMATA, con un errore
nella forma X+/-E.
studiamo solo 3^pigreco. pigreco^3 non aggiunge molto.

pigliamo due insiemi contigui di 3^pigreco.
esso è compreso tra 3^3 e 3^4: 27 e 81. X lo assumiamo pari alla media: 54, E lo assumiamo pari al valore assoluto tra la media e un estremo: 27.
per ora quindi 3^pigreco = 54+/-27.
non ci basta, allora gestiamo 3^3.1 e 3^3.2=....=31.9+/-1.8.
proseguo.. 3^3.14 e 3^3.15=....=31.66+/-0.17.
...
si noti la convergenza.


pigreco^pigreco.
quì la faccenda è un po' più complicata. questo perchè i "cicli" di insiemi contigui per arrivare ad un qualcosa sono a scelta dell'operatore.
Tutti convergeranno a un qualcosa. Al di là del numero di cicli esaminati ogni strada scelta può perseguire una certa precisione.
Calcolatricisticamente parlando lo faccio direttamente: pigreco^pigreco, ma in realtà sto studiando razionale^razionale. 3,14^3,14=36.34+/-.01.

0^0.
a parte che sono due razionali e tutta questa faccenda degli irrazionali è un surplus.
comunque sia la faccenda che si sottolinea è che i cicli di insiemi contigui sono tali da non convergere allo stesso X e soprattutto E rischia di non convergere a 0.
anzi.. si noti come la base negli esponenziali è >=0 per cui si potrebbe addirittura prescindere da un blocco di insiemi contigui e anche in questa circostanza individuare valanghe di opzioni che rendono maggiormente naturale la 0^0=0...


Ma lasciamo perdere l'ultimo periodo. Potrebbero sorgere alcune domande: quanto fa allora 0^0,1;0,1^0 e 0,1^0,1?
a voi le risposte.

[Ivana]

Se il mio ricordo è vero, (non posso verificarlo subito, perché non ho più in casa il libro specifico) Kaplan, nel suo volume dedicato allo zero, da me letto anni fa,
http://www.maecla.it/bibliotecamatemati ... kaplan.htm" target="_blank
a proposito dell’1 come elemento neutro della moltiplicazione, diceva che l’1 diventa identità moltiplicativa e penso che abbia usato tale linguaggio per evitare di intaccare il concetto “classico” di prodotto…
Qualcuno ha letto tale libro? Può confermare questo mio ricordo?

Buon fine settimana soprattutto a Daniela, Gaspero e Massimo

[infinito]

per a diverso da 0 non mi viene sempre. Mi viene qualora non sappia giungere ad a^0 in altri modi.

il prodotto canonico in Zn porta a 0^0 = 0 senza ombra di dubbio. idem per il prodotto = resto di un prodotto...

No, no: mi vuoi dimostrare una cosa che io dico essere falsa e tu mi parti con la tesi. No: 0°=1 anche in Zn, ma se non ci sono nuovi modi di motivarlo per ora lasciamolo stare.

per il prodotto canonico invece parti da una struttura a^n con n app. ad N>=2. Poi accetti la scrittura a^-n=1/a^n e ciò ti consente di aggiungere elementi.

ECCOLO QUA, il solito errore che porta a non definire 0°:
se mi metti per definizione che a° deve seguire da qualcosa in cui compare la scrittura «1/a^n» (con n >0) allora, visto che 0^n=0, non può avere significato l'espressione a° con a=0.
Però questa posizione segue esclusivamente dalla tua scelta di definire a° passando per a^(-n); fra l'altro introducendo gli indici negativi (quindi non naturali) prima ancora di aver definito quelli uguali ad 1 e 0 (cioè di aver esaurito N).

Si vogliano studiare 3^3, 3^pigreco, pigreco^3, pigreco^pigreco e 0^0.
il primo caso ovviamente lo omettiamo 3^3 =27.

3^pigreco e pigreco^3 si hanno numeri irrazionali.

Sì, lo so che poi lo dici, ma non mi sembra sufficientemente chiaro che la potenza NATURALE di qualunque numero (3, pigreco, -2/3, 0, -rad5) non da nessun tipo di problema. Gli unici problemi vengono dagli esponenti, nel senso che con certi esponenti non si possono avere certi valori delle basi.

operativamente SCRIVEREMO una rappresentazione di tale risultati APPROSSIMATA, con un errore
nella forma X+/-E.

??? Perché vuoi approssimare? Per parlare di cosa succede? Forse non è il linguaggio adatto, ma provo a seguirti.

pigreco^pigreco.
quì la faccenda è un po' più complicata. questo perchè i "cicli" di insiemi contigui per arrivare ad un qualcosa sono a scelta dell'operatore.

È più complicato solo come calcolo, perché concettualmente non c'è differenza.

0^0.
a parte che sono due razionali e tutta questa faccenda degli irrazionali è un surplus.

Esatto! Questa volta mi trovi “d'accordissimo” con te: hai introdotto un sacco di concetti che, lungi dall'essere utili, servono solamente a confondere le idee e a non vedere chiaro.
Allora ti “miglioro ancora la frase:
«0^0. Base ed esponente sono due naturali (e tutta questa faccenda degli irrazionali è un surplus), per cui il valore della potenza va ricercato all'interno delle potenze a d esponente naturale.»

comunque sia la faccenda che si sottolinea è che i cicli di insiemi contigui sono tali da non convergere allo stesso X e soprattutto E rischia di non convergere a 0.

Sei ancora più fuori controllo di prima: 0^a è 0 per ogni a positivo, è 1 per a=0 (questo è il caso che tu non definisci) ed infine non è definito per gli a negativi, mai.
Ne segue che la tua “approssimazione negativa …
Ma che cosa hai pensato? Che tipo di errore hai fatto?

anzi.. si noti come la base negli esponenziali è >=0 per cui si potrebbe addirittura prescindere da un blocco di insiemi contigui e anche in questa circostanza individuare valanghe di opzioni che rendono maggiormente naturale la 0^0=0...

Non ci ho capito nulla … se non che DAGLI ERRORI DI PRIMA segue che 0°=0.

Ma lasciamo perdere l'ultimo periodo. Potrebbero sorgere alcune domande: quanto fa allora 0^0,1;0,1^0 e 0,1^0,1?
a voi le risposte.

Non capisco il problema, ma volentieri rispondo:
0^0,1 = 0^(1/10) cioè la radice decima di 0, cioè 0.
0,1°=1 , anche voi dite (anche se non ho capito il perché) che a°=1 per ogni a diverso da 0.
0,1^0,1=(1/10)^(1/10) che è il reciproco (“uno fratto...”) di radice decima di 10.

Cioè: non ci sono problemi.

[Daniela]

Se ho usato dei paroloni me ne scuso, ma dovete dirmi "<citazione> non si capisce, che cosa vuol dire questo, questo, e quest'altro?" Tra l'altro non sono affatto specialista in logica matematica, ho seguito un corso all'universita' e un altro al dottorato, tutto qui Qualsiasi cosa si spiega partendo dalle cose che sappiamo tutti, magari avro sorvolato su qualche passaggio dandolo per scontato, me ne scuso di nuovo, ma se me lo dite, faro' del mio meglio per spiegare quelle tre cose che so....

Gaspero dici:
"0^0=1"
questa NON e' una affermazione falsa. Questa e' una affermazione del tipo "a=0" e non e' mica falso! Dipende.
Gaspero pero lasci intendere (anzi a volte lo scrivi esplicitamente, anche se in termini diversi da quelli che uso io):
"la affermazione "0^0=1" e' la verita' che io mi sto battendo per far riconoscere come tale"
affermazione che equivale ad un'altra molto piu' terra terra
Proposizione P: "la affermazione "0^0=37" e' falsa"
Questa affermazione P qui sopra e' in contrasto con l'aritmetica solita quella insomma dalla prima elementare fino a Godel e oltre (naturalmente ci vuole qualcosa di piu sofisticato della aritmetica delle elementari, la ho chiamata per nome, e' la logica del secondo ordine, quella che permette di associare un numero naturale ad una proposizione ben formata, quella che quindi permette all'aritmetica di fare affermazioni sull'aritmetica "Si consideri la funzione che vale 1 sui numeri di Godel di tutte le proposizioni che hanno valore di verita' V e vale 0 sui numeri di Godel di tutte le proposizioni che hanno valore di verita' F".... e simili).
Questa affermazione qui sopra ti costringe Gaspero, se la vuoi portare avanti come tale, a costruire una struttura di cui e' difficile (a me, e' impossibile) dire se e' coerente o no, se e' interessante o no, se e' gia' stata studiata sotto altri nomi o no.....
Pero' sta di fatto che questa struttura NON ripeto NON e' l'aritmetica, all'interno della quale "0^0=70" e' una proposizione non falsificabile (per usare una terminologia popperiana) o se preferiamo usare quella standard "il valore di 0^0 e' indeterminato"
OPPURE si puo' dire che: Definisco una funzione # t.c. #:=^ per ogni (n,m) diversi da (0,0) e 0#0:=1
Questa funzione # puo' essere generata da un prodotto ben fatto e ben definito (DIVERSO da quello standard dei naturali) oppure puo' non esserlo (cosa che non ne intacca minimamente il diritto ad esistere e la legittimita').

Spero di aver chiarito un po' meglio, se non ci sono riuscita replicate e nei limiti di cio che conosco e che capisco cerchero' di rispondere....

[Ivana]

[...] o se preferiamo usare quella standard "il valore di 0^0 e' indeterminato"

Non sono d'accordo, perché credo che senza aver prima definito 0^0, cioè senza sapere prima che cosa rappresenta il simbolo 0^0, non sia possibile affermare che il valore di 0^0 è indeterminato, perché la scrittura 0^0, nell'aritmetica "canonica", non ha alcun senso. I testi di V. Villani e (soprattutto) quelli di G. Zwirner sono categorici su tale concetto: prima si definisce, e finora 0^0 non è stato definito, almeno nell'aritmetica "canonica", per cui, per ora, nell'aritmetica "canonica", 0^0 è "non definito". I matematici, finora, almeno nell'aritmetica "canonica", non hanno saputo (o voluto!) dare alcun significato numerico al simbolo 0^0 che, dunque, risulta "non definito".

[Massimo]

Non capisco il problema, ma volentieri rispondo:
0^0,1 = 0^(1/10) cioè la radice decima di 0, cioè 0.
0,1°=1 , anche voi dite (anche se non ho capito il perché) che a°=1 per ogni a diverso da 0.
0,1^0,1=(1/10)^(1/10) che è il reciproco (“uno fratto...”) di radice decima di 10.

Cioè: non ci sono problemi.

Alt!

Ragiona invece per insiemi contigui in cui includi 0°...
E' sufficiente che mi ragioni anche per sommi capi.

[Daniela]

Ivana: la potenza non e' una operazione di N, non e' intrinseca a N, ma se ci mettiamo a costruirla, abbiamo una maniera "naturale" di costruirla. Una e non due! (per esempio sui numeri primi ne abbiamo due, quella se scegliamo l'approccio di "vado a enumerare i divisori naturali" che porta a concludere che 1 e' primo, e quell'altra che classifica algebricamente gli Zn)
0^0 si sceglie di non definirlo per la coppia (0,0) per salvaguardare la natura di funzione dell'operatore potenza. Mi sembra che stiamo dicendo la stessa cosa in termini diversi oppure pensi che mi sbaglio?

[Ivana]

Ivana: la potenza non e' una operazione di N, non e' intrinseca a N, ma se ci mettiamo a costruirla, abbiamo una maniera "naturale" di costruirla. Una e non due! (per esempio sui numeri primi ne abbiamo due, quella se scegliamo l'approccio di "vado a enumerare i divisori naturali" che porta a concludere che 1 e' primo, e quell'altra che classifica algebricamente gli Zn)
0^0 si sceglie di non definirlo per la coppia (0,0) per salvaguardare la natura di funzione dell'operatore potenza. Mi sembra che stiamo dicendo la stessa cosa in termini diversi oppure pensi che mi sbaglio?

A partire dalla moltiplicazione, si può introdurre l'elevamento a potenza con base n appartenente a N ed esponente k appartenente a N* (indico con N* il sottoinsieme di N con esclusione dello zero, ossia indico il sottoinsieme dei numeri naturali positivi) e si pone n^1 = n
Per s(k) si intende "il successivo di k"
n^(s(k)) = (n^k) * n


Daniela, tu avevi scritto: "o se preferiamo usare quella standard il valore di 0^0 e' indeterminato".
Quella standard non riconosce il valore di 0^0 indeterminato (perché dicendo che il valore di 0^0 è indeterminato risulterebbe implicito che sia stato definito tale e non è così), ma riconosce 0^0 come una scrittura priva di senso, non definita.

[infinito]

Se ho usato dei paroloni me ne scuso, ma dovete dirmi "<citazione> non si capisce, che cosa vuol dire questo, questo, e quest'altro?" Tra l'altro non sono affatto specialista in logica matematica, ho seguito un corso all'universita' e un altro al dottorato, tutto qui Qualsiasi cosa si spiega partendo dalle cose che sappiamo tutti, magari avro sorvolato su qualche passaggio dandolo per scontato, me ne scuso di nuovo, ma se me lo dite, faro' del mio meglio per spiegare quelle tre cose che so....

Va bene, Daniela, mi scuso io. Non per quello che ho detto (che mi pare molto rispettoso), ma per quello che ho pensato, cioè che tutto questo fosse un modo per non confrontarti sui concetti: lo confesso e me ne scuso.

Ora però forse si può partire da questo mio errore cercando di trarne il maggior profitto possibile.

Intanto credo di aver capito quello che intendi dire, e partendo dalla “ovvia” verità “che ci credi”, passo ad affrontare il problema.

Io non mi ricordo bene gli enunciati dei teoremi e non ne conosco poi molti (per essere un matematico), ma quelli che conosco in genere li conosco “bene”, nel senso che sono “miei”, che me li sono “rivisti” e che “li conosco in senso biblico” (anche questa locuzione è mia e forse non è del tutto corretta, intendo che uno può conoscere le lasagne nel senso che sa che cosa sono, conosce gli ingredienti, magari sa anche prepararle e cucinarle …, ma poi c'è anche la conoscenza di cui parlo io, che consiste nelle averle assaggiate e, soprattutto, “gustate”).
Nel caso specifico dei teoremi di Goedel, a suo tempo mi stupirono moltissimo gli enunciati, e quando ebbi occasione di leggerne le dimostrazioni mi rimasero bene in mente i concetti. Non so bene i limiti degli enunciati, ma i concetti, e la validità nei naturali credo che di averli ben saldi.
Quello che dici tu è un'altra cosa, e Ivana ti ha già risposto molto bene.

Gaspero pero lasci intendere (anzi a volte lo scrivi esplicitamente, anche se in termini diversi da quelli che uso io):
"la affermazione "0^0=1" e' la verita' che io mi sto battendo per far riconoscere come tale"
affermazione che equivale ad un'altra molto piu' terra terra
Proposizione P: "la affermazione "0^0=37" e' falsa"

Giusto per intenderci: Sì, questo è vero.

Come dici tu, se ho ben capito la faccenda del primo e del secondo ordine (che io affronto parlando di “matematica” e di “metamatematica”), io qui sto introducendo un'affermazione “del secondo ordine”, su cui ha senso fino ad un certo punto il confrontarci: ha senso per chi accetta di confrontarcisi, non ha senso su chi intende confrontarsi solamente sulla logica del primo ordine.
Questa distinzione la faccio anche nel mio lavoro, subito in prima pagina, al punto 8:
«Provo anche a motivare adeguatamente le mie affermazioni, a volte con logica stringente, altre con

affermazioni da “metamatematico” che, mi rendo conto, possono apparire da “fanatico”, ma credo

che bastino anche solo poche delle prime per essere convincenti.
»

Cioè: se vuoi confrontarti anche sul secondo ordine ne sono più che contento, ma se (come penso di aver capito) questo non ti interessa affatto, allora ci si limita al primo ordine, e la mia posizione è la seguente:

Se accettiamo da definizione di “prodotto esteso”, e quindi anche che 0°=1 si ha che:
a) il tutto resta coerente;
b) tutte le proprietà (“principali”) restano valide;
c) tutte le formule (significative) dove compaiono i prodotti multipli vengono semplificate in maniera significativa (oltre che estese);
d) si evitano tutte le definizioni “ad hoc” (che spesso hanno la sola motivazione che “funziona”);
e) ovunque (nei casi “significativi”) si sia usata qualche espressione interpretabile come prodotto esteso (per esempio “0°”) questa resta valida anche con l'estensione.

Ragiona invece per insiemi contigui in cui includi 0°...
E' sufficiente che mi ragioni anche per sommi capi.

Semplicemente:
per tutti i numeri positivi è definita la potenza ad esponente reale, per cui puoi calcolarti limite destro e sinistro.

Per 0 le sono definite solo le potenze positive (come dici u) o (come dico io) quelle non negative.
In tutti i casi, quindi, non solo non puoi avere il limite sinistro,
ma nemmeno una potenza con esponente negativo.

[Massimo]

infinito, poniti nell'ottica di non dover spiegare, bensì in quella di dover ragionare.

Se ti chiedo di espormi la traccia di studio di 0,1^0,1 e Co. più di dirmi che il limite sx non ha molto senso vorrei vedere come giustifichi la scelta casuale sul come prendere tali insiemi in funzione di come poi il risultato converga ad un risultato piuttosto che ad un altro.