Prodotto di n fattori, con n naturale

[Ivana]

gentilissima ivana, a costo di diventare scortese le chiedo di citare qualcosa in meno ma si gradirebbe la sua posizione in merito postata in questa discussione.

sia essa pro 0°=1, 0°=0 o sia 0° non definito.

Ritengo che la mia posizione sia stata chiara fin dall'inizio della discussione (è sufficiente leggere i miei "vecchi" messaggi in questa filiera): per me 0^0 è un'espressione non definita, (per me è...rassicurante l'assiomatica di Peano), ma questo non implica che io non voglia cercare di capire la posizione di chi sceglie 0^0 = 1 Mi piace cercare di capire i diversi punti di vista matematici...
Le mie citazioni fanno parte del mio modo di "essere" e di "comunicare", ma, se vi disturbano, d'ora in poi mi sforzerò di evitarle, anche se per me sarà veramente uno sforzo, quasi uno...snaturarmi...

[Massimo]

Ritengo che la mia posizione sia stata chiara fin dall'inizio della discussione (è sufficiente leggere i miei "vecchi" messaggi in questa filiera): per me 0^0 è un'espressione non definita, (per me è...rassicurante l'assiomatica di Peano), ma questo non implica che io non voglia cercare di capire la posizione di chi sceglie 0^0 = 1 Mi piace cercare di capire i diversi punti di vista matematici...
Le mie citazioni fanno parte del mio modo di "essere" e di "comunicare", ma, se vi disturbano, d'ora in poi mi sforzerò di evitarle, anche se per me sarà veramente uno sforzo, quasi uno...snaturarmi...

no, anzi è molto interessante. Solo che avendo io stesso seguito le prime fasi di questa discussione m'ero anche dimenticato e continuavo ad attendere un qualcosa che già c'era.

[infinito]

spesso credo non mi capisci perchè ti soffermi a singoli blocchi e non a tutto l'insieme.

0°=6^6=46656=0 in Z6.

in Zx 0°=X^X=0.

Non puoi non seguire questi ragionamenti che sono molto più semplici e naturali dei tuoi.

In generale in Zx 0° = 0.

Devo dire che inizialmente non avevo capito, poi mi sono accorto di quello che dicevi, e mi sembrava corretto e interessante …
… anche se “sapevo” che ci doveva essere qualcosa che non tornava.


Il tuo errore sta nel confondere la base e l'esponente. Cerco di spiegarmi meglio.

Nell'aritmetica modulare fare il modulo della somma o la somma dei moduli è praticamente la stessa cosa, e analogamente con il prodotto e la potenza, per cui in Z6 tu puoi scambiare 0 e 6 negli addendi, nei fattori e NELLE BASI delle potenze, MA NON NEGLI ESPONENTI.

Mi spiego con un esempio: in Z5 le potenze successive di 3, a partire da 3²=9=4 sono:
3²=4; 3³=4·3=2; 2·3=1; 3; 4; 2; 1; 3; 4; 2; 1; 3; 4; 2; 1; 3; 4; 2; 1; 3; 4; 2; 1; 3; 4; 2; 1, con un ciclo di 4, non di 5, per cui in Z5 si ha che a^n = a^(n+4) .

Invece in Z6 per il numero 2 si ha la seguente successione:
2²=4; 2³=2; 2·2=4; 2; 4; 2; 4; 2; 4; 2; 4; 2; 4; 2; 4; 2; 4; … , con un ciclo di 2, e quindi anche di 6, ma ovviamente non c'è “l'automatismo”, e soprattutto, se il tuo ragionamento fosse corretto, si avrebbe che 2°=2^6=4, che ti farebbe “saltare” anche tante altre proprietà delle potenze che pure voi accettate.

Ti faccio invece osservare che, sebbene in Z6 si alternino sempre 4 e 2, si è iniziato con 2² (conformemente all'idea che il prodotto iterato si abbia con almeno 2 fattori), ma se volessimo considerare anche 2¹ si avrebbe 2¹=2, ottenendo l'elemento che ci si aspetterebbe nella sequenza, cioè il 2 (che precede tutti i 4).
Invece con 2° ci si aspetterebbe il 4, ma io non so voi come potete fare a giustificarlo (ammesso che vi interessi), ma a me viene 2°=1, cioè invece del 4 io ho 1.
Però “stranamente” si ha la proprietà che 2¹=2°·2=1·2=2, come si avrebbe se al posto di 1 ci fosse 4: 4·2=8=2 .

Invece nella successione delle potenze di 3 in Z5 prima di 3 (che è il valore di 3¹) c'è 1, che è il valore di 3°.

Per 0° vale l'analoga problematica che si analizza in Z: 0^n è 0 per tutti gli n positivi, non si definisce per gli n negativi e in 0 …



Spero che concorderai che anche per questo esempio il concetto di “prodotto esteso” e la conseguente proprietà che 0°=1 hanno mostrato di essere concetti “solidi”, “di base”, e “facilmente comprensibili”, nel senso che aiutano a fare chiarezza e a non cadere nei soliti banali trabocchetti.


Comunque ribadisco che questo (il tuo) è il modo corretto per cercare di capire se un concetto è “saldo” o no, se è “di base” o no, se …
e non lo segue "chi è contrario" o "chi è favorevole", ma chiunque cerca di valutarlo.
Certo ci sono idee in cui uno crede (per esempio io “so” che il concetto 0°=1 è vero) e queste danno fiducia, aiutano, ma non possono (cioè “NON DEVONO”) portare a dichiarare il falso o a non vedere quello che è.

[Daniela]

Ivana concordo con quanto scrivi e in effetti qualche giorno fa ho portato esempi in merito, quali l'ipotesi del continuo. Non lo sa - ad oggi - nessuno, se l'ipotesi del continuo si puo' dimostrare vera, si puo' dimostrare falsa, se entrambe le possibilita' sussistono e danno vita a matematiche diverse ma coerenti e interessanti (vedasi geometrie non euclidee), se l'ipotesi del continuo e' vera ma non dimostrabile (dopo i lavori di Godel siamo costretti a tenere in considerazione anche questo) o quant'altro. (Prima che Cohen mi appaia in sogno a coprirmi di insulti mi affretto a precisare che l'ipotesi del continuo non e' decidibile a partire da ZF+scelta come provato decenni fa da Godel e Cohen - ipotizzando che la teoria degli insiemi sia consistente - ma naturalmente questo e' ben lungi dall'esaurire la questione.)

Ma qui stiamo parlando di una verita' dell'aritmetica, che e' se posso permettermi abbastanza ben conosciuta almeno per quanto riguarda proposizioni di questo tipo. Non possiamo prendere l'aritmetica, introdurre una nuova ipotesi, o verita', e poi dire "Se mio nonno avesse le ruote, radice di due sarebbe ancora minore di pigreco?"

Ci sono fatti veri e dimostrati nella aritmetica e nella matematica, ovviamente non e' mica una setta, uno puo' anche dire "al teorema di Godel non ci credo" (non so esattamente cosa significhi, ma c'e' gente che crede alle cose piu' strane, se qualcuno mi dicesse che crede nella falsita' del teorema di Godel, bah, non starei a discutere e per dire la verita' non sarei neanche troppo sorpresa). Pero' non e' che uno puo' dire, prendo un teorema della matematica che non mi piace (nel caso specifico ""0^0=3" non e' una proposizione falsa"), lo sostituisco con il suo contrario (nel caso specifico ""0^0=3" e' una proposizione falsa"), chiamo questa nuova entita' "matematica 2" (nel caso specifico e' stata addirittura presentata come la "vera" variante che non viene universalmente adottata solo per via di pregiudizi) e via.

Non ho nessun problema se Gaspero si costruisce il suo insieme (che avra' tutta una serie di cose strane rispetto a quello consueto, ma questo non significa che sia poco interessante! Se e' non banale potrebbe essere interessante, se poi non lo ha mai studiato nessuno, ne viene fuori una pubblicazione e una struttura matematica che portera' il suo nome). Se e' coerente e non banale ho una vaga idea di come potrebbe venire fuori.... ma potrebbe benissimo essere qualcosa di totalmente diverso da cio' che ho in mente, non essendo nata in una certa maniera, come modello di una logica del primo ordine cosi' e cosa', la difficolta' e' provare che stia in piedi, ma se sta in piedi e si riesce a dimostrarlo, tante volte si hanno delle sorprese. Mi aspetto comunque che il tuo concetto di moltiplicazione ripetuta in una certa maniera che hai evidenziato vada a causare una somma nonstandard che si dimostra non essere possibile definire ricorsivamente.... che esiste ma di fatto non si puo' calcolare con un algoritmo ricorsivo, di quelli che spesso diamo per scontato esistere.

Se poi qualcuno contattasse un matematico specialista in questo tipo di problematiche, gli offriro' molto volentieri da bere se condivide qui i suoi pensieri.

[Massimo]

uhm, infinito hai ragione. O meglio non ho ragione io
nel senso che forse ho trasmesso che per me x° in Zn è 1 sempre tranne che per x=0 per il quale è 0. Ma appunto ciò non è vero.

Comunque sia che in Z6 2°=4 non mi impaurisce

2^1=2 2^2=4 2^3=2 2^4=4.... così come 2^0 precedendo nella successione un 2 sarà un ...4!

4,2,4,2,4,2,4,2,...

analogamente in Z5 3° =1


1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,4,2,1,...

-----
Quali sarebbero le proprietà saltate?
-----
Ecco la tua percezione è che il prodotto esteso il quale genera per ogni x, x°=1 sia ovunque corretto. Ma appunto s'è dimostrato che non è così.
E ribadisco un concetto basilare: questi prodotti (non speciali) definiti come il <<resto del devisore "n" di a x b>> pur confinato in n numeri naturali non perdono di significati se s'intendono con il codominio coincidente con N. Ciò smonta tutta la questione.

[Massimo]

....Il teorema che stai cercando di dimostrare "0^0=1" (che non e' come sostiene Massimo "definire una potenza estesa"....

Scusami, non capisco la punteggiatura nella parentesi citata

[Massimo]

per completezza, è possibile poi definire prodotti anche più scarsi di quelli citati.

si pensi all'operazione axb=1 AxB->{1}

esso è un prodotto. Per esso è naturale aspettarsi che 0° faccia 1.

[infinito]

Ho pochissimo tempo, guardo cosa mi ci entra ..

Comunque sia che in Z6 2°=4 non mi impaurisce

2^1=2 2^2=4 2^3=2 2^4=4.... così come 2^0 precedendo nella successione un 2 sarà un ...4!

4,2,4,2,4,2,4,2,...

analogamente in Z5 3° =1


1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,4,2,1,...

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Quali sarebbero le proprietà saltate?
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Ecco la tua percezione è che il prodotto esteso il quale genera per ogni x, x°=1 sia ovunque corretto. Ma appunto s'è dimostrato che non è così.
...
E ribadisco un concetto basilare: questi prodotti (non speciali) definiti come il <<resto del devisore "n" di a x b>> pur confinato in n numeri naturali non perdono di significati se s'intendono con il codominio coincidente con N. Ciò smonta tutta la questione.

No massimo, ancora una volta segui un “ragionamento” (meglio direi con “procedimento”) non corretto: tu dai delle definizioni, e poi fai “ad occhio” (e con un occhio da perfezionare).

Non puoi dire che poiché dalla seconda potenza in poi queste sono 4,2,4,2,4,2,4,2,...allora prima ci devono essere ancora le stesse, ma la potenza prima e “zeresima” vanno prese dalla definizione, che tu stesso alla fine dici essere “resto del devisore "n" di a x b”, cioè in Z6 2° è resto del devisore "n" di 2°, cioè di 1, che è quindi 1.

... devo andare

[Massimo]

guarda, non esiste proprio!


2° è 1 in R (sottintendendo il prodotto tradizionale) se e solo se s'accetta prima la scrittura 2^-n come 1/2^n

a^1 è a in R se e solo se s'accetta prima la scrittura a^1/n come radice n-esima di a.

il prodotto esteso rende intrinseche queste due cose e con esso si ottiene direttamente a° e a^1.
=================
Ma in Zn 2° ed a^1 non richiedono di quelle accettazioni di scritture, trovano compimento senza di esse.
Le potenze funzionano proprio come debbono funzionare, sennò dimostrami il contrario!
L'unica questione, che anticipo già, è la radice in Zn. Non ha senso d'esistere non essendo una funzione ma una semplice relazione di poco conto.

[Ivana]

no, anzi è molto interessante. [...]

Grazie, Massimo!

[Ivana]

[...]la difficolta' e' provare che stia in piedi, ma se sta in piedi e si riesce a dimostrarlo, tante volte si hanno delle sorprese. [...]

Condivido pienamente.

Se poi qualcuno contattasse un matematico specialista in questo tipo di problematiche, gli offriro' molto volentieri da bere se condivide qui i suoi pensieri.

Personalmente avevo già provveduto, tramite posta elettronica, a contattare più di un matematico specialista e ognuno di loro mi aveva molto gentilmente (e prontamente!) risposto (e per questo li ringrazio ancora), ma non ho ottenuto il permesso di pubblicare la nostra corrispondenza privata e, soprattutto, nessuno ha espresso alcun commento riguardo ai documenti di Gaspero; d'altra parte la pagina web (che avevo segnalato in un mio "vecchio" messaggio di questa filiera) in cui era presente lo scambio di e-mail tra ottimi matematici che discutevano riguardo a 0^0, è stata rimossa e io ipotizzo che sia stata rimossa su richiesta degli stessi autori dello scambio epistolare (forse per evitare che tali ragionamenti possano creare confusione nel pubblico di internet?)

[infinito]

2° è 1 in R (sottintendendo il prodotto tradizionale) se e solo se s'accetta prima la scrittura 2^-n come 1/2^n

No, Massimo, ancora una volta ripeti un concetto che credevo si fosse chiarito, e forse vale la pena di ripeterlo.

Nel documento «0°=1, inequivocabilmente», nella 3ª definizione, introduco le potenze in modo molto simile a quello che si fa (anche io) comunemente.
Quindi definisco, per n>1, «a^n è il “prodotto di n fattori uguali ad a», poi ne dimostro le proprietà.
Dopo, al punto 3.4 ho scritto «Si vuole poi estendere la potenza anche agli altri numeri naturali, cioè a 0 e 1, e lo si fa richiedendo che valgano le tre proprietà di sopra, secondo il principio di permanenza delle proprietà formali.»
Quindi, cercando un valore di a¹ tale che verifichi le tre proprietà formali, giungo a trovare che a¹=a.
Sotto, con analogo ragionamento, giungo a a°=0 (per ogni a).

Cioè io non utilizzo il ragionamento sbagliato (quando lo applico ad a=0) che
«poiché a° = a^n/a^(-n), se a=0 l'espressione non ha senso, quindi non si può definire a° con a=0».
Dovrebbe essere evidente la gravità dell'errore di tale ragionamento (se no lo chiarisco).
E forse è evidente come sia vicino a quello spinge a rifiutare il caso a=0 in a°=1.


Allora, riferendomi a quanto ho quotato qui sopra, quando definisco le potenze dei reali, definisco inizialmente le potenze ad esponente naturale, e SOLO DOPO le estendo agli interi.



Resta comunque sempre uno scoglio (per la tua posizione) ancora più grande:
se si vuole estendere l'insieme degli esponenti, si cerca o l'insieme più ampio su cui si possa definire, oppure un “insieme buono” (per esempio N) su cui definirlo. Per quale motivo si esclude il caso 0°? Cioè: mi sai dire una qualunque motivazione “concreta”, oppure logica “stringente”, per cui si debba scartare tale caso?
Sembra che uno abbia due strade “equivalenti”: o accettare 0°=1, oppure scartarlo “a priori”.
«Però, mentre è naturale supporre che 0° abbia significato (e magari che il suo valore sia quello che viene dalle definizioni precedenti, cioè 1, perché a°=1), avere il concetto che «0° non è definito» è una posizione “pregiudiziale” (se non ci sono motivi fondati “a priori” per escluderlo). Ed è davvero difficile non lasciarsi condizionare dall'idea “gratuita” (come idea a priori) che «0° non può essere definito perché è intrinsecamente “una forma indeterminata”». Cioè io credo che il percorso naturale sia: parto dall'idea che il concetto debba essere definito sull'insieme massimo possibile N e che venga ristretto solo se si presentano contraddizioni, o “ineleganze”» (questo è il punto 6.1, ma confronta anche i seguenti).

a^1 è a in R se e solo se s'accetta prima la scrittura a^1/n come radice n-esima di a.

analogamente qui.

[Massimo]

Guarda infinito, ho cercato di dimostrarlo in tutte le salse ma evidentemente ti sei fossilizzato in un'apparente convinzione di essere nel giusto.
Pertanto vedi di affrontare con spirito critico le critiche mosse nei tuoi confronti e non partendo da un "no massimo" che presuppone che essendoci scritto qualcosa di differente da ciò che scrivi sia sbagliato.

[Daniela]

Massimo: scusami hai ragione, rileggendolo mi pare che non sia chiaro per niente

"0^0=1" cosi' come "0^0=3" o "3x0=47" sono affermazioni della logica del primo ordine, si costruisce il lambda calculus e tutte le altre strutture introdotte da Skolem, abbiamo quindi la possibilita' di generare dei teoremi con una macchina di Turing a nastro infinito o queste cose qui.... verranno generate moltissime affermazioni vere ma di tutte quelle che non vengono generate non possiamo dire nulla. Possiamo generare quindi il teorema dell'aritmetica "3x1=3" ma sulla affermazione "3x0=47" a questo livello possiamo solo avere dei dubbi.
" "0x2=0" e' un teorema " e' invece una affermazione della logica del secondo ordine. E' qui che possiamo costruire strutture piu' complesse, e' qui che si dimostra il teorema di Godel, qui che si iniziano a creare modelli non standard con numeri non naturali (piu' grossi di qualsiasi naturale) e strutture estese, a lavorare con tecniche del tipo "c'e' un numero che fa cosi' e cosa, ma non e' zero, non e' uno, non e' due......" che poi e' la base delle tecniche operative di Godel e della versione originale del forcing di Cohen. In questo tipo di struttura siamo in grado di fare affermazioni sull'aritmetica - siamo in grado di provare teoremi del tipo " "3x1=2" non e' un teorema dell'aritmetica"

Ora torniamo alla questione di 0^0, non c'e' naturalmente problema a definire una funzione # tale che #:=^ su tutti i naturali positivi, #:=1 su zero. Ben diversa e' la questione quando si va a sostenere che e' "VERO" che 0^0=1 cioe' che e' un teorema, una verita' della aritmetica. In questo caso, come ho scritto, l'aritmetica ha dei teoremi diversi; uno di questi e' " "0^0=12" non e' una proposizione falsa" mentre la struttura che Gaspero intende costruire ha, ovviamente, il teorema " "0^0=12" e' una proposizione falsa". Dunque una tale costruzione non e' e non puo' essere l'aritmetica.

Ivana mi dispiace moltissimo quanto mi scrivi e avrei letto molto molto volentieri, anche se sinceramente comprendo le persone che hanno cancellato tutto quanto e che non ti danno il permesso di pubblicare e che tantomeno commentano su questa proposta, purtroppo chiunque sia nel settore accademico e sia minimamente accessibile al "pubblico" viene tormentato da innumerevoli mail di "crackpots", questo va dal dottorando sconosciuto su su fino ai professori e ai premi nobel, ovviamente questo tipo di mail viene cestinato senza neanche essere letto, mi immagino che i crackpot pensino e dicano in giro che all'universita' c'e' una casta di delinquenti e/o imbecilli ecc ecc, e vabbe' pazienza.

[Daniela]

per completezza, è possibile poi definire prodotti anche più scarsi di quelli citati. Si pensi all'operazione axb=1 AxB->{1}
esso è un prodotto. Per esso è naturale aspettarsi che 0° faccia 1.

certo che e' un prodotto e che lo puoi anche definire in NxN, ma non e' la moltiplicazione canonica della struttura di N che e' un monoide additivo e moltiplicativo con proprieta distributiva la quale con questo prodotto qui andrebbe a perdersi. Quanto ho detto vale per la moltiplicazione canonica di N, infatti come ho gia' scritto, imporre 0^0:=1 significa divorziare l'operazione di potenza dalla moltiplicazione canonica, e questo puo' essere piu' o meno inutile ma non c'e' nulla di male a farlo (ed e' di fatto quello che si sta facendo, mi pare). Si tratta di un approccio molto diverso da quello di cui ho parlato nel messaggio precedente.
Non credo esisterebbe un prodotto ben fatto e ben definito che vada a generare una operazione di prodotto ripetuto "potenza" come dice Gaspero, ma naturalmente, potrei sbagliarmi.