"Per sbaglio" mi si è aperta questa vecchia discussione, ed ho visto che finiva con un discorso "serio" sulla libertà.
Non so se lo ho già linkato, ma, pensando di non averlo fatto, ora vi linko una (mia) discussione sul nostro forum (che purtroppo attualmente è abbastanza spento):
Che cosa è la libertà? (Le domande irrinunciabili) , ed in particolare la mia risposta principale (che contiene a sua volta una domanda "chiave" alla quale è importante rispondere se si vuole davvero approfondire la questione: è quella che chiude il 5° concetto) Mia risposta.
Prodotto di n fattori, con n naturale
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
In un mio precedente messaggio avevo scritto:
"[...] Continuo a essere d’accordo con Claudio Citrini [...]"
Ho provveduto a "citare" tali mie parole solo per informare che, a partire dal prossimo numero, la rivista dell'UMI "La Matematica nella società e nella Cultura" avrà un nuovo direttore e tale direttore sarà proprio...Claudio Citrini...
"[...] Continuo a essere d’accordo con Claudio Citrini [...]"
Ho provveduto a "citare" tali mie parole solo per informare che, a partire dal prossimo numero, la rivista dell'UMI "La Matematica nella società e nella Cultura" avrà un nuovo direttore e tale direttore sarà proprio...Claudio Citrini...
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
condivido buona parte degli spunti MA resta presente un fatto importante: è assolutamente inutile.
0^0=1 può essere una scrittura convenzionale nuova, ma non introduce niente che possa realmente servire:
a nessuno salterebbe in testa di sostituire degli uno con degli 0^0 per ottenere qualcosa di semplificabile quando la sostituzione N^0 (con N diverso da 0) è molto più potente ed efficace.
questo perchè 0^0 si porta dietro il problema intrinseco che non può essere posto a denominatore senza qualche remora.
in altri termini 0^0=1 non introduce nulla di nuovo alla matematica.
un qualcosa di nuovo ed interessante potrebbe esserci definendo un nuovo insieme di numeri, i numeri "asteriscati".
Partono da questo fatto:
0^0=1*
e gli altri numeri si ottengono moltiplicando il corrispondente per 1*.
tali numeri hanno le medesime proprietà degli altri tranne che forme tipo a*/b* non si semplificano
0^0=1 può essere una scrittura convenzionale nuova, ma non introduce niente che possa realmente servire:
a nessuno salterebbe in testa di sostituire degli uno con degli 0^0 per ottenere qualcosa di semplificabile quando la sostituzione N^0 (con N diverso da 0) è molto più potente ed efficace.
questo perchè 0^0 si porta dietro il problema intrinseco che non può essere posto a denominatore senza qualche remora.
in altri termini 0^0=1 non introduce nulla di nuovo alla matematica.
un qualcosa di nuovo ed interessante potrebbe esserci definendo un nuovo insieme di numeri, i numeri "asteriscati".
Partono da questo fatto:
0^0=1*
e gli altri numeri si ottengono moltiplicando il corrispondente per 1*.
tali numeri hanno le medesime proprietà degli altri tranne che forme tipo a*/b* non si semplificano
uno più uno non fa sempre due
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
Risposta
Ciao Massimo,
devo dire che proprio non ti capisco, mi sembra quasi che tu abbia un preconcetto che ti ostini a non voler lasciare, e per che cosa, poi?
Comunque rispondo alle tue affermazioni, fermo restando che faccio riferimento solo ai due documenti, per non perdere l'unicità del mio concetto (cioè voglio evitare quello che ho detto nella “storiella” dell'altra discussione, questa (cioè quella che inizia con «Tizio si presenta con un piede scalzo, una scarpa all'altro piede ...»)).
Cioè PROVA tu a dare una di quelle definizioni senza utilizzare quei concetti, ma essendo comunque preciso e completo: forse avrai un'idea più chiara di quello che intendo.
In particolare PROVA a rispondere a quanto osservo al numero 32 di quel documento, cioè a dare una motivazione “decente” (cioè “convincente”) del perché «0!=1».
Ma, in generale, ti rispondo anche con tutte le osservazioni dei numeri dal 31 al 36.
Comunque, rispetto alla “utilità” di definire anche 0°=1, trovi una risposta “non banale” anche nell'altro documento, 0° = 1 , inequivocabilmente, nei punti dal 6.1 al 6.3.
Tieni conto anche del punto 6.8 e, per te soprattutto, del punto 6.7 .
Sono convinto che tu abbia sempre in testa una “specie di dimostrazione” a favore del fatto che «a°=1 solo se a è diverso da 1», cioè qualcosa tipo «a°=a^0=a^(n-n)=a^n/a^(-n)=1, che ovviamente non ha senso se a^n=0.»
Ma nei miei due documenti, nei ragionamenti che portano a far vedere che «0°=1, inequivocabilmente», non ne trovi traccia.
Provo comunque a rispondere a quello che capisco.
«a nessuno salterebbe in testa di sostituire degli uno con degli 0^0»
Mi sembra un modo di procedere a dir poco “contorto”, eventualmente avrebbe senso dire «a nessuno salterebbe in testa di sostituire degli 0^0 con degli uno», visto che l'espressione “1” è decisamente più semplice di “0^0”.
Comunque sappi che sono esattamente la stessa cosa, e sono praticamente “intercambiabili”.
Che cosa risponderesti a chi affermasse «a nessuno salterebbe in testa di sostituire dei “6” con “13-7”»? Beh, forse qualcosa di analogo a quello che ti ho scritto sopra.
«questo perchè 0^0 si porta dietro il problema intrinseco che non può essere posto a denominatore senza qualche remora»
No: 0° è esattamente uguale ad 1, e può essere al denominatore esattamente come può esserci l'uno, “senza alcuna remora” (ovviamente se tu continui a tenerti le tue “definizioni”, in cui 0° non è definito, oppure è 0, allora le cose cambiano …).
I numeri asteriscati non li ho capiti, ma mi sembra che il tutto “esuli” da questa discussione, in cui, ripeto, non sto introducendo una definizione interessante, ma cerco di rendere chiaro che LA definizione di potenza prevede INTRINSECAMENTE (se non si fanno operazioni ad hoc) il caso 0°=1.
Un Buon Anno a te e a tutti.
Ciao Massimo,
devo dire che proprio non ti capisco, mi sembra quasi che tu abbia un preconcetto che ti ostini a non voler lasciare, e per che cosa, poi?
Comunque rispondo alle tue affermazioni, fermo restando che faccio riferimento solo ai due documenti, per non perdere l'unicità del mio concetto (cioè voglio evitare quello che ho detto nella “storiella” dell'altra discussione, questa (cioè quella che inizia con «Tizio si presenta con un piede scalzo, una scarpa all'altro piede ...»)).
nel documento Proposta di una feconda definizione di prodotto, nei punti dal 24 al 28, mostro come si possono dare definizioni molto più sintetiche, «senza necessità di definire casi particolari, di fare casistiche, o di introdurre concetti “ad hoc”», rispetto a TUTTE quelle che non utilizzano i concetti che tu non vuoi accettare.Massimo ha scritto:condivido buona parte degli spunti MA resta presente un fatto importante: è assolutamente inutile.
0^0=1 può essere una scrittura convenzionale nuova, ma non introduce niente che possa realmente servire:
Cioè PROVA tu a dare una di quelle definizioni senza utilizzare quei concetti, ma essendo comunque preciso e completo: forse avrai un'idea più chiara di quello che intendo.
In particolare PROVA a rispondere a quanto osservo al numero 32 di quel documento, cioè a dare una motivazione “decente” (cioè “convincente”) del perché «0!=1».
Ma, in generale, ti rispondo anche con tutte le osservazioni dei numeri dal 31 al 36.
Comunque, rispetto alla “utilità” di definire anche 0°=1, trovi una risposta “non banale” anche nell'altro documento, 0° = 1 , inequivocabilmente, nei punti dal 6.1 al 6.3.
Tieni conto anche del punto 6.8 e, per te soprattutto, del punto 6.7 .
Qui ho non poca difficoltà a seguirti.Massimo ha scritto:a nessuno salterebbe in testa di sostituire degli uno con degli 0^0 per ottenere qualcosa di semplificabile quando la sostituzione N^0 (con N diverso da 0) è molto più potente ed efficace.
questo perchè 0^0 si porta dietro il problema intrinseco che non può essere posto a denominatore senza qualche remora.
in altri termini 0^0=1 non introduce nulla di nuovo alla matematica.
Sono convinto che tu abbia sempre in testa una “specie di dimostrazione” a favore del fatto che «a°=1 solo se a è diverso da 1», cioè qualcosa tipo «a°=a^0=a^(n-n)=a^n/a^(-n)=1, che ovviamente non ha senso se a^n=0.»
Ma nei miei due documenti, nei ragionamenti che portano a far vedere che «0°=1, inequivocabilmente», non ne trovi traccia.
Provo comunque a rispondere a quello che capisco.
«a nessuno salterebbe in testa di sostituire degli uno con degli 0^0»
Mi sembra un modo di procedere a dir poco “contorto”, eventualmente avrebbe senso dire «a nessuno salterebbe in testa di sostituire degli 0^0 con degli uno», visto che l'espressione “1” è decisamente più semplice di “0^0”.
Comunque sappi che sono esattamente la stessa cosa, e sono praticamente “intercambiabili”.
Che cosa risponderesti a chi affermasse «a nessuno salterebbe in testa di sostituire dei “6” con “13-7”»? Beh, forse qualcosa di analogo a quello che ti ho scritto sopra.
«questo perchè 0^0 si porta dietro il problema intrinseco che non può essere posto a denominatore senza qualche remora»
No: 0° è esattamente uguale ad 1, e può essere al denominatore esattamente come può esserci l'uno, “senza alcuna remora” (ovviamente se tu continui a tenerti le tue “definizioni”, in cui 0° non è definito, oppure è 0, allora le cose cambiano …).
I numeri asteriscati non li ho capiti, ma mi sembra che il tutto “esuli” da questa discussione, in cui, ripeto, non sto introducendo una definizione interessante, ma cerco di rendere chiaro che LA definizione di potenza prevede INTRINSECAMENTE (se non si fanno operazioni ad hoc) il caso 0°=1.
Un Buon Anno a te e a tutti.
Gaspero
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
La liberta' nella creazione matematica e' un argomento di interesse per me grandissimo, e che merita di essere sviluppato, ma non so se riusciamo a farlo cosi' in un post al volo. La liberta' come libero arbitrio dell'essere umano e/o come percezione soggettiva (non necessariamente reale) di compiere scelte e di autodeterminarsi, sono a loro volta argomenti molto interessanti anche se forse genererebbero un flame.
Ma 0 e' l'elemento neutro della somma ed e' l'elemento nullificante del prodotto e se andiamo a scrivere 1=0^0 di fatto estendi il campo come ti e' stato proposto nel post precedente, non hai piu un campo numerico, non mi sembra che questa scelta sia particolarmente gradevole, e tutto questo senza avere nessun vantaggio in quanto in tutti i conti, anche se imponi di scrivere x^0=1 per x qualsiasi, dovrai comunque spezzare il conto nei due casi x=0 e x diverso da zero.
Buon 2010 a chi lo festeggia.
Daniela
Ma 0 e' l'elemento neutro della somma ed e' l'elemento nullificante del prodotto e se andiamo a scrivere 1=0^0 di fatto estendi il campo come ti e' stato proposto nel post precedente, non hai piu un campo numerico, non mi sembra che questa scelta sia particolarmente gradevole, e tutto questo senza avere nessun vantaggio in quanto in tutti i conti, anche se imponi di scrivere x^0=1 per x qualsiasi, dovrai comunque spezzare il conto nei due casi x=0 e x diverso da zero.
Buon 2010 a chi lo festeggia.
Daniela
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"
"L'essenza della libertà è la matematica"
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
non compare il mio ultimo intervento di fine anno.
vorrà dire che lo riporterò in questo mio primo intervento del nuovo anno!
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cambio del tutto metodo di persuasione
1. allo studente proponi la doppia definizione? lo sanno i genitori?
2. lo sanno quindi gli studenti che se cambiano istituto scolastico devono arrovellarsi in una matematica normale in cui 0° non fa 1?
3. val la pena insegnarlo ancor prima che sia accettato? (un po' come accusare un presunto assassino prima che ci sia la sentenza definitiva di un giudice..)
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vorrà dire che lo riporterò in questo mio primo intervento del nuovo anno!
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cambio del tutto metodo di persuasione
1. allo studente proponi la doppia definizione? lo sanno i genitori?
2. lo sanno quindi gli studenti che se cambiano istituto scolastico devono arrovellarsi in una matematica normale in cui 0° non fa 1?
3. val la pena insegnarlo ancor prima che sia accettato? (un po' come accusare un presunto assassino prima che ci sia la sentenza definitiva di un giudice..)
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uno più uno non fa sempre due
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
Non so che cosa tu intenda con “persuasione”, ma certo il tuo «metodo» non mi piace per nulla.Massimo ha scritto:1. allo studente proponi la doppia definizione? lo sanno i genitori?
2. lo sanno quindi gli studenti che se cambiano istituto scolastico devono arrovellarsi in una matematica normale in cui 0° non fa 1?
3. val la pena insegnarlo ancor prima che sia accettato? (un po' come accusare un presunto assassino prima che ci sia la sentenza definitiva di un giudice..)
Però, visto che “è così”, è meglio che venga fuori e si veda quello che è.
Solo che, al solito, non condivido assolutamente nulla di ciò che stai dicendo, e per molti motivi.
Vedo di rispondere ai tuoi punti (ma in un ordine diverso).
«3. val la pena insegnarlo ancor prima che sia accettato? (un po' come accusare un presunto assassino prima che ci sia la sentenza definitiva di un giudice..)»
Io non ho ancora capito se c'è una posizione ufficiale oppure no.
Una volta pensavo che fosse ovvio per tutti (i matematici) che 0°=1, e che quindi non ci fossero discussioni in proposito.
Poi (qui sul forum) capii che la posizione ufficiale dell'UMI (unione matematica italiana) fosse che non era definito,
ma ora mi pare di aver capito che non c'è una posizione ufficiale …
Quindi “teoricamente” non è diversa la posizione di chi dice che non è definito, da chi dice che lo è.
Però io, quando presento questa definizione ai miei studenti, faccio sempre presente che ci sono persone che la pensano diversamente ...
Ma aggiungo che da qualche anno dico anche che la definizione è naturale, e chi fa diversamente “sbaglia”; faccio presente che io non ho maggior titolo degli altri per fare una simile affermazione, ma secondo me chi la nega «semplicemente sbaglia».
E lo faccio da quando, dopo che qualcuno si è confrontato con me, mi ha detto che la mia posizione sembrava convincente, e che aveva solamente bisogno (la mia posizione) di reggere “nel tempo”. Io ho fatto notare che ho usato questa definizione “da sempre”, senza incappare in alcuna contraddizione, e che avrei comunque aspettato che anche gli altri ne facessero esperienza. Quando però, senza che siano emerse contraddizioni, nessuno ha più affrontato l'argomento, ho assunto questa nuova posizione (cioè di dire che gli altri «semplicemente sbagliano»).
Mi chiedi se «val la pena insegnarlo ancor prima che sia accettato», e la risposta è «Sì», perché sennò che cosa dovrei fare: insegnare qualcosa di sbagliato, contraddittorio, o senza senso?
Per continuare le motivazioni puoi confrontare quello che ho scritto nel documento “Proposta di una feconda definizione di prodotto” ai punti dal 43 al 52.
«2. lo sanno quindi gli studenti che se cambiano istituto scolastico devono arrovellarsi in una matematica normale in cui 0° non fa 1?»
Io faccio sempre presente che ci sono persone, e forse sono la maggioranza, che affermano che 0° non è definito, per cui gli studenti dovrebbero sapere almeno questo.
Invece probabilmente non sanno che “ devono arrovellarsi”, ma io penso che non lo debbano affatto fare, e questo per innumerevoli motivi:
- non credo che il fatto di eliminare la definizione «0°=1» comporti la minima difficoltà;
- credo che la maggioranza degli studenti di oggi abbia molta difficoltà ad “arrovellarsi” per qualcosa di matematica;
- quelli che sanno arrovellarsi credo che siano in grado di capire sia che la definizione è “naturale”, sia che se qualcuno la rifiuta non si deve capire (o imparare) praticamente niente di nuovo, se non che alcune cose che sono naturale conseguenza della definizione vanno semplicemente introdotte “ad hoc” e “per definizione” (penso che per te e per altri sia più difficile accettare queste definizioni perché siete cresciuti con altre, e non è affatto banale avere il coraggio di rivedere le nostre conoscenze e convinzioni con cui siamo cresciuti);
«1. allo studente proponi la doppia definizione? lo sanno i genitori?»
Alla prima ti ho già risposto (ne propongo una sola, ma faccio presente eh ci sono altre posizioni).
Per la seconda: non lo so, credo di sì, ma ti rendo conto di quello che stai dicendo e facendo?
Mi sembra una specie di “processo” assolutamente fuori luogo …
Nella mia idea di matematica, nella ricerca di ciò che è vero (e qui si può entrare in un ambito che vorrei evitare, ma che ho già affrontato sul forum con Ivana), non è così importante quanti difendono una idea, ma solo le argomentazioni.
Però mi pare che i molti che sono per la non definizione di «0°» si appoggino sul numero dei sostenitori.
Per questo rinnovo l'invito a TUTTI di esprimere la loro posizione di fronte a questo argomento, in modo da vedere che cosa ne pensa il popolo matematico (di Base Cinque).
Fra l'altro io sono persuaso che non sia possibile che “nessuno si renda conto dell'assurdità di sostenere una posizione così assurda”.
Gaspero
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
Credo che la scelta della definizione opportuna (e conveniente) dipenda dagli obiettivi didattici che ogni docente si propone e dai concetti matematici che gli alunni/le alunne hanno già interiorizzato…
Per creare il gusto della libertà, il/la docente non può certo limitarsi a dare una definizione che cala dall’alto, (o, meglio, ex cathedra) senza alcuna rielaborazione critica e personale da parte dei/delle docenti stessi/e e degli/delle alunni/e.
Personalmente ho introdotto, in determinate classi della scuola primaria, l’insegnamento della geometria frattale e, per correttezza, ne avevo discusso a priori sia in sede di Collegio Docenti, sia, successivamente, dopo aver ottenuto il consenso del Collegio Docenti, con i genitori, fornendo loro tutte le informazioni cartacee (e on-line!) riguardo alla realizzazione della ricerca-azione che avevo intenzione di intraprendere insieme con altri/e colleghi/e dei vari ordini e gradi scolastici…
Per visionare tutta la Documentazione inerente alla ricerca - azione on line per introdurre i FRATTALI nell'insegnamento - apprendimento della matematica coordinata da Adalberto Codetta Raiteri, segnalo: http://www.maecla.it/ricerca_azione/index.htm" target="_blank
Non dimentichiamo, poi, la libertà di insegnamento…
Sono convinta che il compito più importante per noi docenti sia quello di “insegnare a ragionare” facendo anche amare la matematica… Non sempre sono riuscita in tale impresa…
Di certo posso dire che tutti i miei alunni mi ripetevano: “Si vede che a te piace tanto la matematica!”
Per creare il gusto della libertà, il/la docente non può certo limitarsi a dare una definizione che cala dall’alto, (o, meglio, ex cathedra) senza alcuna rielaborazione critica e personale da parte dei/delle docenti stessi/e e degli/delle alunni/e.
Personalmente ho introdotto, in determinate classi della scuola primaria, l’insegnamento della geometria frattale e, per correttezza, ne avevo discusso a priori sia in sede di Collegio Docenti, sia, successivamente, dopo aver ottenuto il consenso del Collegio Docenti, con i genitori, fornendo loro tutte le informazioni cartacee (e on-line!) riguardo alla realizzazione della ricerca-azione che avevo intenzione di intraprendere insieme con altri/e colleghi/e dei vari ordini e gradi scolastici…
Per visionare tutta la Documentazione inerente alla ricerca - azione on line per introdurre i FRATTALI nell'insegnamento - apprendimento della matematica coordinata da Adalberto Codetta Raiteri, segnalo: http://www.maecla.it/ricerca_azione/index.htm" target="_blank
Non dimentichiamo, poi, la libertà di insegnamento…
Sono convinta che il compito più importante per noi docenti sia quello di “insegnare a ragionare” facendo anche amare la matematica… Non sempre sono riuscita in tale impresa…
Di certo posso dire che tutti i miei alunni mi ripetevano: “Si vede che a te piace tanto la matematica!”
Ultima modifica di Ivana il sab gen 02, 2010 5:21 pm, modificato 1 volta in totale.
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
intendo che, senza offendere nessuno, non si possono snaturare le regole del gioco senza avere gli avvalli dall'alto. Giusti o sbagliati che siano.
Nel dubbio ci si avvale di riferimenti bibliografici più o meno intrecciati.
Pertanto perdonami se sono stato poco simpatico, ma lo sono stato quanto poco simpatico si possa rivelare la posizione che hai riservato a chi la pensa diversamente.
Trovo poi ad esempio assurdo il fatto che tu non abbia mai avuto sottomano un testo di matematica in cui non si legga che 0° non sia definito.
Poi voglio esemplificare, alle superiori, in prima superiore per l'esattezza in un esercizio di un compito scritto v'era un'espressione nella forma
{...}°. Pur avendo personalmente una scarsa memoria mi rimase impresso che io senza fare alcun conto scrissi "=1" (studio un poco superficiale..) e per esso presi zero punti.
Che facciamo, chiedo che quell'8 mi diventi un 10 o ci rendiamo conto che in un concorso pubblico due individui debbono poter rispondere in modo univoco O volendo scrivere per forza 1 si debba scrivere la tua definizione da qualche parte del foglio (almeno fin quando non sia universalmente accettata)?
______________________________
Ma passerei oltre e tornerei al discorso degli anelli di Daniela che mi interessa poter approfondire specie in combinata con le definizioni di infinito (supposte accettate).
sia quindi in generale u l'elemento neutro della somma* e U quello del prodotto*,
è possibile definire u^u=U apportando qualche modifica alle definizioni generali di somma e prodotto?
Nel dubbio ci si avvale di riferimenti bibliografici più o meno intrecciati.
Pertanto perdonami se sono stato poco simpatico, ma lo sono stato quanto poco simpatico si possa rivelare la posizione che hai riservato a chi la pensa diversamente.
Trovo poi ad esempio assurdo il fatto che tu non abbia mai avuto sottomano un testo di matematica in cui non si legga che 0° non sia definito.
Poi voglio esemplificare, alle superiori, in prima superiore per l'esattezza in un esercizio di un compito scritto v'era un'espressione nella forma
{...}°. Pur avendo personalmente una scarsa memoria mi rimase impresso che io senza fare alcun conto scrissi "=1" (studio un poco superficiale..) e per esso presi zero punti.
Che facciamo, chiedo che quell'8 mi diventi un 10 o ci rendiamo conto che in un concorso pubblico due individui debbono poter rispondere in modo univoco O volendo scrivere per forza 1 si debba scrivere la tua definizione da qualche parte del foglio (almeno fin quando non sia universalmente accettata)?
______________________________
Ma passerei oltre e tornerei al discorso degli anelli di Daniela che mi interessa poter approfondire specie in combinata con le definizioni di infinito (supposte accettate).
sia quindi in generale u l'elemento neutro della somma* e U quello del prodotto*,
è possibile definire u^u=U apportando qualche modifica alle definizioni generali di somma e prodotto?
uno più uno non fa sempre due
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
Ciao Daniela, scusa se anche questa volta non ti ho risposto subito (non so perché ma mi pare che con te sia già la terza volta).Daniela ha scritto:La liberta' nella creazione matematica e' un argomento di interesse per me grandissimo, e che merita di essere sviluppato, ma non so se riusciamo a farlo cosi' in un post al volo. La liberta' come libero arbitrio dell'essere umano e/o come percezione soggettiva (non necessariamente reale) di compiere scelte e di autodeterminarsi, sono a loro volta argomenti molto interessanti anche se forse genererebbero un flame.
Ma (a meno di “lapsus freudiani” che non riconosco) non c'è assolutamente nulla di personale: per cui semplicemente ti chiedo scusa.
Anche per me la libertà è un tema carissimo (ho già citato questa discussione: Mia domanda in «Che cosa è la libertà?» - Mia risposta in «Che cosa è la libertà?»), ed è legato strettamente al tema della Verità («la verità vi farà liberi» Gv 8,32),
Però non c'entra assolutamente nulla, perché io non sto introducendo “liberamente” una mia definizione, ma sto argomentando per dimostrare che «0°=1» è una definizione “naturale.
Sarebbe come se volessi dimostrare che «3°=1» e voi mi diceste che è una questione di “libertà”.
E qui potrei seguirvi anche meglio.
Infatti una volta accettato che «a¹=a» per ogni a reale (anche non nullo) e che «a°=1» per ogni a reale non nullo, mi pare “più che naturale” che lo sia anche per a=0, senza tirare in ballo la libertà.
Continuo a non capire (o a non condividere) quello che stai/state affermando: io non devo spezzare il conto in due casi, perchè, “semplicemente,Daniela ha scritto: Ma 0 e' l'elemento neutro della somma ed e' l'elemento nullificante del prodotto e se andiamo a scrivere 1=0^0 di fatto estendi il campo come ti e' stato proposto nel post precedente, non hai più un campo numerico, non mi sembra che questa scelta sia particolarmente gradevole, e tutto questo senza avere nessun vantaggio in quanto in tutti i conti, anche se imponi di scrivere x^0=1 per x qualsiasi, dovrai comunque spezzare il conto nei due casi x=0 e x diverso da zero.
0°=1
senza alcun caso particolare, anche se la funzione di equazione z=y^x non è continua in (0; 0) (mentre la funzione di equazione y=x^x è continua su tutto R).
Ripeto: non ci sono due casi, e “praticamente” in tutte le applicazioni dove si potrebbe usare 0°, questo è uguale ad 1.
Se invece si vuole parlare di estensione, allora ti ricordo quanto ho scritto in «Proposta di una feconda definizione di prodotto», in «3ª Parte: ulteriori considerazioni» ai punti dal 6.1 al 6.3 (ma puoi vedere anche gli altri, dove ti parlo dell'estensione a TUTTO l'insieme significativo, e senza introdurre i famosi “concetti ad hoc” (che mi fanno venire in mente “ad personam”), ma semplicemente eliminando le restrizioni ad hoc, il che significa “sintesi” e “bellezza matematica”.
«e tutto questo senza avere nessun vantaggio»
Beh, a questo credo di aver già ampiamente risposto.
Non so se qualcuno si immagina che io introduca questo concetto senza alcun commento.Ivana ha scritto:Per creare il gusto della libertà, il/la docente non può certo limitarsi a dare una definizione che cala dall’alto, (o, meglio, ex cathedra) senza alcuna rielaborazione critica e personale da parte dei/delle docenti stessi/e e degli/delle alunni/e.
… «senza alcun commento»??? ma allora in questo post che cosa avete letto? Possibile che qualcuno che ha sentito come mi ci appassioni e come invito a portare argomentazioni (non “lo fanno tutti”, che fra l'altro reputo che non sia vero) possa pensare che non invito alla rielaborazione critica di quello che propongo.
Il problema semmai è un altro: c'è qualche giovane che è in grado di avere idee sue su qualcosa di matematica? Intendo che ne sia capace, ne sia cosciente e che voglia farlo?
Io naturalmente ho invitato (e credo di aver anche aiutato a farlo) a difendere quello che “sentono”, eventualmente facendosi aiutare da chi la pensa diversamente da me, ma non mi illudo che ci siano molti alunni che possano competere con la mia esperienza su questo campo.
Per altre informazioni in proposito ho già risposto qualcosa anche sopra.
Ho già avuto modo di dire che finché non mi sono trovato ad insegnare (cioè non ho preso in mano i libri di testo delle superiori, quelli che conosci anche tu), non avevo mai dovuto affrontare il “problema” (per gli altri) di chiedersi se 0° fosse o meno definito. Quindi, secondo me, tutti i libri precedenti su cui avevo studiato o lo definivano, oppure lo davano per scontato.Massimo ha scritto:intendo che, senza offendere nessuno, non si possono snaturare le regole del gioco senza avere gli avvalli dall'alto. Giusti o sbagliati che siano.
Nel dubbio ci si avvale di riferimenti bibliografici più o meno intrecciati.
...(omissis)
Trovo poi ad esempio assurdo il fatto che tu non abbia mai avuto sottomano un testo di matematica in cui non si legga che 0° non sia definito.
Sono quindi andato fiducioso a cercare qualcuno dei miei vecchi libri, ma su quelli che ho trovato non si parlava di questo caso (0°). Ci sono rimasto male, non lo nego, ma comunque non ho trovato niente né a favore, né a sfavore. Ho ricontrollato alcuni libri di testo “di ora”, e mi hanno confermato quello che dici, cioè che non definiscono il caso 0° (anche se, OVVIAMNENTE, o non lo dimostrano, oppure scrivono quelle fesserie del tipo: ovviamente se applico la regola del rapporto a 0^n/0^n trovo 0°, ma ovviamente non ha senso).
Ho cercato ancora, ed ho intravisto il mio vecchio libro delle superiori, ed ho voluto vedere se anche quello era di quella risma (devo dire che, anche se lo ho studiato davvero poco, ne ho sempre avuta grandissima stima, soprattutto per la sintesi). Purtroppo ho subito visto che era il 2° volume. Comunque vi ho trovato la definizione di potenza nei numeri reali, e lì definisce che a°=1, senza casi particolari, mentre subito dopo, nella definizione di potenza con esponente negativo, esclude il caso a=0.
Il libro è il «Palatini Faggioli – ghisetti & corvi editori – per i licei scientifici – volume 2 – 1973».
Certo non è molto, né recente.
Però non mi stupisce il fatto che i libri di matematica delle superiori scrivano quello che i docenti “vogliono vederci scritto”, perché questo è decisamente conforme a quello che mi dicono i rappresentanti in proposito e all'idea che me ne sono fatto.
Comunque a testimonianza della non uniformità della definizione c'è anche il fatto delle calcolatrici:
- Quella di Windows mi ricordo che dava 1
- La mia (di Linux) dà 0 (??? ma è impazzita?? devo scrivere qualcosa)
- Le mie (ne ho 4) mi danno errore (conforme a “non è definito”)
- La mia vecchia TI (non ricordo il modello) programmabile e con calcoli in logica formale (che evidenzierebbero le contraddizioni) dava 1
- Quelle che ho scaricato dalla rete poco fa (non so quante sono, ione ho scaricato 6 o 7, ma credo che si “ripetano” e che forse siano solo 2 o 3) mi hanno dato 1 (in qualche calcolatrice non era definita la potenza in generale).
Ovviamente il tuo discorso non ha senso:Massimo ha scritto:Poi voglio esemplificare, alle superiori, in prima superiore per l'esattezza in un esercizio di un compito scritto v'era un'espressione nella forma
{...}°. Pur avendo personalmente una scarsa memoria mi rimase impresso che io senza fare alcun conto scrissi "=1" (studio un poco superficiale..) e per esso presi zero punti.
Che facciamo, chiedo che quell'8 mi diventi un 10 o ci rendiamo conto che in un concorso pubblico due individui debbono poter rispondere in modo univoco O volendo scrivere per forza 1 si debba scrivere la tua definizione da qualche parte del foglio (almeno fin quando non sia universalmente accettata)?
anche io a volte lascio decidere alla classe alcune definizioni, ma una volta che uno ha scelto una definizione, deve proseguire in coerenza con tale scelta. Se voi decideste di non dare significato all'espressione “0^0” allora nella tua risposta non potevi dare per naturale che 0^0=1.
Gaspero
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
Mi sono divertita ad usare sia alcuni programmi sia il motore di ricerca google, per vedere come rispondevano alla richiesta di calcolare 0^0 e ho constatato che:
Excel e MSWLogo danno errore
Digitando a = 0^0 nella casella di inserimento di Geogebra, nella finestra di algebra leggo: a indefinito
Usando, invece, la Calcolatrice di google e il calcolatore WIRIS (dell’INDIRE) risulta 0^0 = 1
Qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Zero" target="_blank
si legge:
[...]Di seguito alcune regole base per trattare il numero zero. Queste regole si applicano per qualsiasi numero complesso x, se non diversamente specificato. [...]
Esponenziazione: x^0 = 1, eccetto per il caso x = 0 che può essere lasciato indefinito in alcuni contesti.[...]
QUI: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html" target="_blank
viene riportato un elenco di motivi per cui 0^0 = 1 (Per leggere la pagina ho usato il traduttore di google, anche se la traduzione lascia a desiderare…)
Gaspero, mai ho dubitato che tu potessi limitarti (sei “infinito” e...come potresti?
) a dare definizioni ex cathedra!
Il mio discorso, infatti, era esclusivamente a carattere generale e, almeno nelle mie intenzioni, l’ho ritenuto a sostegno della categoria docenti.
Alla domanda “c'è qualche giovane che è in grado di avere idee sue su qualcosa di matematica?" rispondo segnalando:
http://blog.edidablog.it/blogs//index.p ... 9&m=200612" target="_blank
(Vedi 15/12/06 Ragazzi cavalieri)
Ricordo anche un altro mio alunno che, riguardo alla tavola di verità del connettivo logico e, sosteneva un suo ragionamento:
«Nella frase ”ora io parlo e scrivo” è vero che "io ora parlo", non è vero che “io ora scrivo” quindi la frase “ora io parlo e scrivo” è vera a metà…» Io gli avevo risposto che la sua frase “ora io parlo e scrivo” implicava "sia che ora lui parlasse sia che ora lui scrivesse" e, quindi, era globalmente falsa…Insomma ne era nata una bella discussione…
Excel e MSWLogo danno errore
Digitando a = 0^0 nella casella di inserimento di Geogebra, nella finestra di algebra leggo: a indefinito
Usando, invece, la Calcolatrice di google e il calcolatore WIRIS (dell’INDIRE) risulta 0^0 = 1
Qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Zero" target="_blank
si legge:
[...]Di seguito alcune regole base per trattare il numero zero. Queste regole si applicano per qualsiasi numero complesso x, se non diversamente specificato. [...]
Esponenziazione: x^0 = 1, eccetto per il caso x = 0 che può essere lasciato indefinito in alcuni contesti.[...]
QUI: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html" target="_blank
viene riportato un elenco di motivi per cui 0^0 = 1 (Per leggere la pagina ho usato il traduttore di google, anche se la traduzione lascia a desiderare…)
Gaspero, mai ho dubitato che tu potessi limitarti (sei “infinito” e...come potresti?
) a dare definizioni ex cathedra!Il mio discorso, infatti, era esclusivamente a carattere generale e, almeno nelle mie intenzioni, l’ho ritenuto a sostegno della categoria docenti.
Alla domanda “c'è qualche giovane che è in grado di avere idee sue su qualcosa di matematica?" rispondo segnalando:
http://blog.edidablog.it/blogs//index.p ... 9&m=200612" target="_blank
(Vedi 15/12/06 Ragazzi cavalieri)
Ricordo anche un altro mio alunno che, riguardo alla tavola di verità del connettivo logico e, sosteneva un suo ragionamento:
«Nella frase ”ora io parlo e scrivo” è vero che "io ora parlo", non è vero che “io ora scrivo” quindi la frase “ora io parlo e scrivo” è vera a metà…» Io gli avevo risposto che la sua frase “ora io parlo e scrivo” implicava "sia che ora lui parlasse sia che ora lui scrivesse" e, quindi, era globalmente falsa…Insomma ne era nata una bella discussione…
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
evidentemente non è per te chiaro che forse la pensiamo allo stesso modo.
lo si evince dal fatto che, come me, prevedi il bisogno di dover segnalare questa cosa.
mi sembra che quindi non ci sia altro da aggiungere
PS: come vedi riesci ad essere fastidioso pure tu perchè quel tuo
lo si evince dal fatto che, come me, prevedi il bisogno di dover segnalare questa cosa.
mi sembra che quindi non ci sia altro da aggiungere
PS: come vedi riesci ad essere fastidioso pure tu perchè quel tuo
si intravvede che non ha senso proprio nella misura in cui tu non riesci a comprenderne i fini. Fini che altro non sono che il tentativo di farti scrivere che anche tu stesso se non specifichi che riadatti le definizioni (il prodotto) non puoi arrivare al risultato.Infinito ha scritto:Ovviamente il tuo discorso non ha senso:
uno più uno non fa sempre due
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
Sì, lo so e l'ho visto.Massimo ha scritto:PS: come vedi riesci ad essere fastidioso pure tu ...
Anzi, mi sono stupito di come non ti sia risentito prima.
Dico davvero, a volte sono stato poco "delicato" nelle mie critiche.
Non ho capito bene che cosa intendi con il tuo «forse la pensiamo allo stesso modo» (io penso di no), ma credo che sia chiaro il «mi sembra che quindi non ci sia altro da aggiungere», e questo lo condivido, perché non vedo alcun miglioramento nella nostra comprensione reciproca.
Ti rinnovo quindi il "Buon Anno" e ti ringrazio per essere rimasto "calmo" nonostante le mie critiche a volte pesanti.
Gaspero
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
come io, anche tu ritieni opportuno che ci si accordi prima di intraprendere la 0^0=1 way.
accordi che altro non sono che la tua trattazione sul prodotto rielaborato.
una rielaborazione che consente 0^0=1 ma che è una definizione che va posta in evidenza
spero che mò ce semo capiti
accordi che altro non sono che la tua trattazione sul prodotto rielaborato.
una rielaborazione che consente 0^0=1 ma che è una definizione che va posta in evidenza
spero che mò ce semo capiti
uno più uno non fa sempre due
Re: Prodotto di n fattori, con n naturale
ciao Gaspero e ciao a tutti, niente di cui scusarsi ciascuno di noi ha molti impegni ci mancherebbe altro. Anche io ci sono quando ci sono....
Che cosa e' una potenza? E' una operazione la potenza? Beh forse a rigore no, non so bene come possiamo dire, forse possiamo dire che e' una relazione binaria (un sottoinsieme del prodotto cartesiano NxN su cui una certa proposizione e' vera, o se si preferisce, possiamo considerare il suo grafico, un sottoinsieme in questo caso di NxNxN) cosi' si fanno felici tutti, chi dice che 0^0 e' indeterminata e chi le attribuisce un valore. Comunque non e' una delle operazioni di monoide dei naturali se e' questo che vogliamo dire. OK beh per dirla tutta.... fin tanto che restiamo nel monoide dei naturali, forse potremmo anche fare a meno di introdurre la potenza zero-esima. Che introduciamo principalmente per consistenza per completare certe proprieta' delle potenze, visto che e' possibile fare questo in maniera "pulita". Va da se' che questo non c'entra con lo zero che non ha potenze negative (a mio modo di vedere, neanche nulle).
Che cosa e' una potenza nell'ambito dei soli naturali? Di fatto e' una moltiplicazione ripetuta, null'altro, non abbiamo una struttura densa, abbiamo solo dei numeri isolati su cui fare somma e prodotto in maniera ben fatta e con un ordine che rispetta tutto quanto comprese le proprieta' archimedee. A me in questo contesto di moltiplicazione ripetuta (piuttosto che per es. di analisi funzionale - in cui, insomma, su un insieme di misura nulla ridefiniscitelo come vuoi), l'idea di andare a definire un 0^n che assuma un valore diverso da zero fa ribrezzo, perche' ovviamente ritengo di sentirmi a mio agio nel vecchio monoide dei numeri naturali (....almeno quelli piccoli e domestici!!!) pero', per carita', a me fa ribrezzo il prosciutto ma c'e' chi lo mangia! solamente la cosa importante e' etichettare correttamente tutto quanto, cosa che vale negli alimentari al supermercato ma tanto piu' in matematica. Nel momento in cui tu mi vai a definire 0^0=1, istituendo una relazione (in effetti una funzione) ben definita sul monoide dei naturali, ne hai ogni diritto, anche se io preferirei chiamarla "#" piuttosto che "^" perche' vorrei che fosse chiaro cio' che stai facendo: stai divorziando questa relazione/funzione dalla operazione di prodotto. Pensaci un attimo: 0^1 = 0 pero' 0^0 nella tua definizione vale 1. Eppure 0 precede 1, nell'ordinamento completo dei naturali. Ordinamento che tutte le altre infinite coppie di naturali che vanno a unirsi mediante la potenza, invece, rispettano (anzi se entrambi i partner sono diversi da zero - l'elemento nullificante - e uno - l'elemento neutro - lo rispettano in maniera stretta, vale "strettamente maggiore" se ce n'e' almeno uno). Noi non vogliamo certo andare a toccare la struttura del monoide dei naturali, la natura di elemento neutro, di elemento nullificante, la somma e il prodotto e tutte queste cose qui (che, volendo, permetterebbero di definire cose di questo tipo) noi vogliamo restare nei naturali e quindi di autorita' andiamo a ridefinire questo singolo punto, forti del fatto che si tratta di un punto singolo e quindi..... Deve pero' essere chiaro cio' che stai facendo, che e' dichiarare come privilegiata una fra tante relazioni del tutto equivalenti, per motivi estetici tuoi, e peraltro rigettando quella "standard" che assegna a 0^0 lo status di "indeterminato" (quindi si rinuncia ad avere una funzione, e ci teniamo una relazione! un sacrificio non da poco) per mantenere il legame col prodotto, che poi, e' la ragione per cui abbiamo introdotto le potenze in questo contesto. Infatti tu non hai un algoritmo per calcolare la tua relazione di potenza. La definizione standard ha il seguente algoritmo: se n>0, m^(n+1)=m * m^n e procedi per ricorsione considerando m^1=m ; se n<0, definiamo m^(-1)=1/m e ci riconduciamo al caso precedente; se n=0, m^0=m^(1-1)=m * (1/ m) =1 se m e' diverso da zero. Il caso 0^0 non puo' rientrare nell'algoritmo, sei costretto ad aggiungerlo a mano. Non puoi definirlo per ricorsione o prolungamento e simili, facci caso.... te lo impediscono le proprieta' dei naturali e degli interi (Attenzione!! Potresti procedere benissimo in insiemi estesi in cui si puo dare senso al "dividere per zero" e allora la cosa e' ben definita. Ma non puoi farlo in maniera surrettizia senza dire ai tuoi studenti cosa stai facendo davvero.)
Ci sono molte questioni aperte in matematica e talvolta non sappiamo se la risposta e' "A" "non A" oppure "non determinata" dando vita a matematiche distinte e con lo stesso diritto ad esistere. Sarebbe certamente affascinante discutere con i tuoi studenti dell'assioma della scelta o dell'ipotesi del continuo. C'e' un librettino molto bello in italiano di Lucio Lombardo Radice che il mio insegnante aveva utilizzato quando ero al liceo e che non ha perso attualita'. Riportare poi anche solo poche righe di una posizione diametralmente opposta - per esempio il punto di vista di Cohen - penso che sia in grado di spiazzare chiunque, e fornire materiale di riflessione per decenni.
ciao
Daniela
Che cosa e' una potenza? E' una operazione la potenza? Beh forse a rigore no, non so bene come possiamo dire, forse possiamo dire che e' una relazione binaria (un sottoinsieme del prodotto cartesiano NxN su cui una certa proposizione e' vera, o se si preferisce, possiamo considerare il suo grafico, un sottoinsieme in questo caso di NxNxN) cosi' si fanno felici tutti, chi dice che 0^0 e' indeterminata e chi le attribuisce un valore. Comunque non e' una delle operazioni di monoide dei naturali se e' questo che vogliamo dire. OK beh per dirla tutta.... fin tanto che restiamo nel monoide dei naturali, forse potremmo anche fare a meno di introdurre la potenza zero-esima. Che introduciamo principalmente per consistenza per completare certe proprieta' delle potenze, visto che e' possibile fare questo in maniera "pulita". Va da se' che questo non c'entra con lo zero che non ha potenze negative (a mio modo di vedere, neanche nulle).
Che cosa e' una potenza nell'ambito dei soli naturali? Di fatto e' una moltiplicazione ripetuta, null'altro, non abbiamo una struttura densa, abbiamo solo dei numeri isolati su cui fare somma e prodotto in maniera ben fatta e con un ordine che rispetta tutto quanto comprese le proprieta' archimedee. A me in questo contesto di moltiplicazione ripetuta (piuttosto che per es. di analisi funzionale - in cui, insomma, su un insieme di misura nulla ridefiniscitelo come vuoi), l'idea di andare a definire un 0^n che assuma un valore diverso da zero fa ribrezzo, perche' ovviamente ritengo di sentirmi a mio agio nel vecchio monoide dei numeri naturali (....almeno quelli piccoli e domestici!!!) pero', per carita', a me fa ribrezzo il prosciutto ma c'e' chi lo mangia! solamente la cosa importante e' etichettare correttamente tutto quanto, cosa che vale negli alimentari al supermercato ma tanto piu' in matematica. Nel momento in cui tu mi vai a definire 0^0=1, istituendo una relazione (in effetti una funzione) ben definita sul monoide dei naturali, ne hai ogni diritto, anche se io preferirei chiamarla "#" piuttosto che "^" perche' vorrei che fosse chiaro cio' che stai facendo: stai divorziando questa relazione/funzione dalla operazione di prodotto. Pensaci un attimo: 0^1 = 0 pero' 0^0 nella tua definizione vale 1. Eppure 0 precede 1, nell'ordinamento completo dei naturali. Ordinamento che tutte le altre infinite coppie di naturali che vanno a unirsi mediante la potenza, invece, rispettano (anzi se entrambi i partner sono diversi da zero - l'elemento nullificante - e uno - l'elemento neutro - lo rispettano in maniera stretta, vale "strettamente maggiore" se ce n'e' almeno uno). Noi non vogliamo certo andare a toccare la struttura del monoide dei naturali, la natura di elemento neutro, di elemento nullificante, la somma e il prodotto e tutte queste cose qui (che, volendo, permetterebbero di definire cose di questo tipo) noi vogliamo restare nei naturali e quindi di autorita' andiamo a ridefinire questo singolo punto, forti del fatto che si tratta di un punto singolo e quindi..... Deve pero' essere chiaro cio' che stai facendo, che e' dichiarare come privilegiata una fra tante relazioni del tutto equivalenti, per motivi estetici tuoi, e peraltro rigettando quella "standard" che assegna a 0^0 lo status di "indeterminato" (quindi si rinuncia ad avere una funzione, e ci teniamo una relazione! un sacrificio non da poco) per mantenere il legame col prodotto, che poi, e' la ragione per cui abbiamo introdotto le potenze in questo contesto. Infatti tu non hai un algoritmo per calcolare la tua relazione di potenza. La definizione standard ha il seguente algoritmo: se n>0, m^(n+1)=m * m^n e procedi per ricorsione considerando m^1=m ; se n<0, definiamo m^(-1)=1/m e ci riconduciamo al caso precedente; se n=0, m^0=m^(1-1)=m * (1/ m) =1 se m e' diverso da zero. Il caso 0^0 non puo' rientrare nell'algoritmo, sei costretto ad aggiungerlo a mano. Non puoi definirlo per ricorsione o prolungamento e simili, facci caso.... te lo impediscono le proprieta' dei naturali e degli interi (Attenzione!! Potresti procedere benissimo in insiemi estesi in cui si puo dare senso al "dividere per zero" e allora la cosa e' ben definita. Ma non puoi farlo in maniera surrettizia senza dire ai tuoi studenti cosa stai facendo davvero.)
Ci sono molte questioni aperte in matematica e talvolta non sappiamo se la risposta e' "A" "non A" oppure "non determinata" dando vita a matematiche distinte e con lo stesso diritto ad esistere. Sarebbe certamente affascinante discutere con i tuoi studenti dell'assioma della scelta o dell'ipotesi del continuo. C'e' un librettino molto bello in italiano di Lucio Lombardo Radice che il mio insegnante aveva utilizzato quando ero al liceo e che non ha perso attualita'. Riportare poi anche solo poche righe di una posizione diametralmente opposta - per esempio il punto di vista di Cohen - penso che sia in grado di spiazzare chiunque, e fornire materiale di riflessione per decenni.
ciao
Daniela
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"
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