Facendo alcune operazioni mi sono imbattuto per caso nei numeri sferici (altresì detti automorfici), cioè quei numeri i cui quadrati terminano colle stesse cifre (es. 25² = 625, 376² = 141376). Non sapendolo però li ho battezzati "paraquadratici", allo stesso modo ho denominato "paracubici" i numeri i cui cubi finiscono con le stesse cifre e così via ("paraquadrici" per la 4a potenza, "para-n-ici" per l'n-sima potenza).
Ora vi propongo quanto segue:
1) Dimostrare che tutti i numeri paraquadratici sono anche paracubici, paraquadrici, ecc...
2) Dimostare che i numeri nella forma $\frac{10^n}{2}-1$, $\frac{10^n}{2}+1$ e $10^n-1$ sono paracubici
Numeri paraquadratici e paracubici
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Numeri paraquadratici e paracubici
Ultima modifica di Quelo il lun set 01, 2008 4:29 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$
Re: Numeri paraquadratici e paracubici
Alla prima richiesta di Sergio si può rispondere anche così,
in maniera diretta.
Abbiamo per ipotesi:
$a^2 \,=\, 10^m \cdot b+a$
in cui $\,a\,$ ha $\,m\,$ cifre.
Successivamente, allora, troviamo:
$a^3 \,=\, a^2 \cdot a \,=\, 10^m\cdot ab+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a+1)b+a \\ a^4 \,=\, a^3 \cdot a \,=\, 10^m\cdot (a^2+a)b+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a^2+a+1)b+a \\ a^5 \,=\, a^4 \cdot a \,=\, 10^m\cdot (a^3+a^2+a)b+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a^3+a^2+a+1)b+a \\.\\.\\.\\ a^n \,=\, a^{n-1} \cdot a \,= \,10^m\cdot (a^{n-2}+...+a)b+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a^{n-2}+...+a+1)b+a$
Pertanto, se $\, a^2\,$ termina con $\,a\,$, anche $\,a^n\,$ termina con $\,a$.
Riguardo alla seconda richiesta, sempre in maniera diretta,
vediamo che:
$\(a \cdot 10^n \pm 1\)^3 \,=\, a^3 \cdot 10^{3n} \pm 3a^2\cdot 10^{2n}+2a\cdot 10^n+a\cdot 10^n \pm 1$
Se $\,a = 5\,$, abbiamo:
$\small \(5 \cdot 10^n \pm 1\)^3 \,=\, 125 \cdot 10^{3n} \pm 75 \cdot 10^{2n}+10 \cdot 10^n+5\cdot 10^n \pm 1 \,=\, (125 \cdot 10^{2n-1} \pm 75 \cdot 10^{n-1}+1)\cdot 10^{n+1}+5\cdot 10^n \pm 1$
L'espressione nell'ultima parentesi è senz'altro positiva e,
poiché $\,\small 10^{n+1} \,> \,5\cdot 10^n \pm 1\,$, tutte le cifre di $\,\small 5\cdot 10^n \pm 1\,$
compaiono nella parte finale di $\,\small(5 \cdot 10^n \pm 1)^3\,$.
Se $\,a = 10\,$, abbiamo:
$\small (10 \cdot 10^n \pm 1)^3 \,=\, 10^{3n+3} \pm 3 \cdot 10^{2n+2}+2 \cdot 10^{n+1}+10^{n+1} \pm 1 \,=\, (10^{2n+2} \pm 3 \cdot 10^{n+1}+2)\cdot 10^{n+1}+10^{n+1} \pm 1$
In questo caso, la proprietà è senz'altro verificata
solo per $\,\small (10 \cdot 10^n -1)^3\,$, poiché $\,\small 10^{n+1}\,>\,10^{n+1}-1$,
mentre $\,\small 10^{n+1}\,<\,10^{n+1}+1$.
In entrambe le ipotesi il discorso vale per qualsiasi
esponente naturale e anche per $n\,=\,0$.
(Salvo sviste.)
in maniera diretta.
Abbiamo per ipotesi:
$a^2 \,=\, 10^m \cdot b+a$
in cui $\,a\,$ ha $\,m\,$ cifre.
Successivamente, allora, troviamo:
$a^3 \,=\, a^2 \cdot a \,=\, 10^m\cdot ab+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a+1)b+a \\ a^4 \,=\, a^3 \cdot a \,=\, 10^m\cdot (a^2+a)b+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a^2+a+1)b+a \\ a^5 \,=\, a^4 \cdot a \,=\, 10^m\cdot (a^3+a^2+a)b+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a^3+a^2+a+1)b+a \\.\\.\\.\\ a^n \,=\, a^{n-1} \cdot a \,= \,10^m\cdot (a^{n-2}+...+a)b+a^2 \,=\, 10^m\cdot (a^{n-2}+...+a+1)b+a$
Pertanto, se $\, a^2\,$ termina con $\,a\,$, anche $\,a^n\,$ termina con $\,a$.
Riguardo alla seconda richiesta, sempre in maniera diretta,
vediamo che:
$\(a \cdot 10^n \pm 1\)^3 \,=\, a^3 \cdot 10^{3n} \pm 3a^2\cdot 10^{2n}+2a\cdot 10^n+a\cdot 10^n \pm 1$
Se $\,a = 5\,$, abbiamo:
$\small \(5 \cdot 10^n \pm 1\)^3 \,=\, 125 \cdot 10^{3n} \pm 75 \cdot 10^{2n}+10 \cdot 10^n+5\cdot 10^n \pm 1 \,=\, (125 \cdot 10^{2n-1} \pm 75 \cdot 10^{n-1}+1)\cdot 10^{n+1}+5\cdot 10^n \pm 1$
L'espressione nell'ultima parentesi è senz'altro positiva e,
poiché $\,\small 10^{n+1} \,> \,5\cdot 10^n \pm 1\,$, tutte le cifre di $\,\small 5\cdot 10^n \pm 1\,$
compaiono nella parte finale di $\,\small(5 \cdot 10^n \pm 1)^3\,$.
Se $\,a = 10\,$, abbiamo:
$\small (10 \cdot 10^n \pm 1)^3 \,=\, 10^{3n+3} \pm 3 \cdot 10^{2n+2}+2 \cdot 10^{n+1}+10^{n+1} \pm 1 \,=\, (10^{2n+2} \pm 3 \cdot 10^{n+1}+2)\cdot 10^{n+1}+10^{n+1} \pm 1$
In questo caso, la proprietà è senz'altro verificata
solo per $\,\small (10 \cdot 10^n -1)^3\,$, poiché $\,\small 10^{n+1}\,>\,10^{n+1}-1$,
mentre $\,\small 10^{n+1}\,<\,10^{n+1}+1$.
In entrambe le ipotesi il discorso vale per qualsiasi
esponente naturale e anche per $n\,=\,0$.
(Salvo sviste.)
Bruno
Re: Numeri paraquadratici e paracubici
Bravo Bruno, mi sono accorto solo oggi di non aver mai confermato la tua soluzione.
[Sergio] / $17$
