Picipoci
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Picipoci
Sapevate che oggi si festeggia anche San Quadrato
martire?
Mhm... 26 al quadrato... Ah! $\;$ 26² = 676 = (6+7+7+6)²
Mhm... 26/3... Toh! $\;$ 26³ = 17576, 1+7+5+7+6 = 26
Ma ci si può sbizzarrire, toccando altre proprietà di questo
numero ben più serie, una delle quali è collegata anche a
un bel problema di Fermat (piuttosto noto e tutt'altro che
facile).
Forse Peppe ed Enrico avranno qualcosa da aggiungere
Due o tre cose non difficili, però carine, magari da risolvere
proprio su una pila di venti cuscini
Nessun numero del tipo $\small z^2+5z+16$, per $\, z\,$ intero, è
divisibile per $\small 26^2$.
Prendendo $\, n\,$ naturale, al contrario, ogni numero del tipo
$\small 17^{2n+1}+3^{n+2}\,$ è sempre divisibile per $\small 26$.
E infine un intruso.
Togliendo $\small 41$ a una potenza di $\small 2$ non si può mai ottenere
una potenza di $\small 3$.
martire?
Mhm... 26 al quadrato... Ah! $\;$ 26² = 676 = (6+7+7+6)²
Mhm... 26/3... Toh! $\;$ 26³ = 17576, 1+7+5+7+6 = 26
Ma ci si può sbizzarrire, toccando altre proprietà di questo
numero ben più serie, una delle quali è collegata anche a
un bel problema di Fermat (piuttosto noto e tutt'altro che
facile).
Forse Peppe ed Enrico avranno qualcosa da aggiungere
Due o tre cose non difficili, però carine, magari da risolvere
proprio su una pila di venti cuscini
Nessun numero del tipo $\small z^2+5z+16$, per $\, z\,$ intero, è
divisibile per $\small 26^2$.
Prendendo $\, n\,$ naturale, al contrario, ogni numero del tipo
$\small 17^{2n+1}+3^{n+2}\,$ è sempre divisibile per $\small 26$.
E infine un intruso.
Togliendo $\small 41$ a una potenza di $\small 2$ non si può mai ottenere
una potenza di $\small 3$.
Bruno
Re: Picipoci
Questo lo lascio a qualcun altroNessun numero del tipo $\small z^2+5z+16$, per $\, z\,$ intero, è
divisibile per $\small 26^2$.
Di questo non ho una dimostrazione rigorosa, però l'ho risolto così:Prendendo $\, n\,$ naturale, al contrario, ogni numero del tipo
$\small 17^{2n+1}+3^{n+2}\,$ è sempre divisibile per $\small 26$.
$\small 17^{2n+1}+3^{n+2}\,$ è sempre divisibile per $\small 26$
equivale a dire che
$\small 17^{2n+1}+3^{n+2}\,\equiv\,0\,(mod\,26)$
Date le proprietà dell’aritmetica modulare, che peraltro conosco pochissimo, posso calcolare separatamente i due moduli, e vedere se dànno 26 come somma.
Poiché inoltre i moduli si ripetono ciclicamente, ho ricavato solo quelli per i primi valori di n.
Per n = 0,1,2,3,4,5,…. si avrà 2n+1 = 1,3,5,7,…. e n+2 = 2,3,4,5,…
$\small 17^1\,\equiv\,17\,(mod\,26)$ $\small 3^2\,\equiv\,9\,(mod\,26)$
$\small 17^3\,\equiv\,25\,(mod\,26)$ $\small 3^3\,\equiv\,1\,(mod\,26)$
$\small 17^5\,\equiv\,23\,(mod\,26)$ $\small 3^4\,\equiv\,3\,(mod\,26)$
…
e poi si ripetono, anche se non so dimostrare il perchè.
Sommando i moduli, è evidente che dànno sempre 26, quindi la proposizione è vera.
Questa la riscrivo così:E infine un intruso.
Togliendo $\small 41$ a una potenza di $\small 2$ non si può mai ottenere
una potenza di $\small 3$.
$\small 3^m+41\,=\,2^n$ non ammette soluzioni per m e n interi.
Tanto per cominciare, 3^m+41 è sicuramente maggiore di 8 per qualsiasi valore di m
Anche qui uso i moduli, in base 8 stavolta:
$\small 41\,\equiv\,1\,(mod\,8)$
$\small 3^m\,\equiv\,1\,oppure\,3\,(mod\,8)$
da cui
$\small 3^m+41\,\equiv\,2\,oppure\,4\,(mod\,8)$
Tutte le potenze di 2 maggiori di 2^3 sono però ovviamente divisibili per 8, quindi l’espressione riportata sopra è vera
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Re: Picipoci
Molto carine, Bruno.
Dimostro soltanto la penultima, perché purtroppo ho poco tempo a disposizione.
Dimostrazione per induzione.
Per n=0
$17^1 + 3^2 = 26$
Supponiamo che (ipotesi induttiva):
(1): $17^{2n+1} + 3^{n+2} = 26k$
Cosa succede per n+1?
(2): $17^{2(n+1)+1} + 3^{n+3} = ???$
Sottraggo (1) da (2)
...
Dopo alcuni passaggi...
$288 \cdot 17^{2n+1} + 2*3^{n+2}$
Cioè
$286 \cdot 17^{2n+1} + 2*17^{2n+1} + 2*3^{n+2}$
Ma gli ultimi due addendi sono uguali a 2*26k per ipotesi induttiva e 286 è divisibile per 26, perciò vale la tesi.
Fabiuz, la tua intuizione, riguardo a questo esercizio, è corretta. Purtroppo, la fregatura matematica è che bisogna dimostrare che è valida in tutti i casi possibili.
Ma, toglimi una curiosità, Bruno: come ha fatto a venirti in mente questo esercizio?
P.S. Forse mi sono perso qualcosa... ma è tuo questo blog?
http://angoloba.splinder.com/tag/disegni
Bellissime tutte le vignette!
A me è piaciuta moltissimo, e mi dà molto da meditare, quella di quel tizio che trova un semino, lo getta in un vaso e alla fine viene baciato dal fiore!
Ciao
Gianfranco
Dimostro soltanto la penultima, perché purtroppo ho poco tempo a disposizione.
Dimostrazione per induzione.
Per n=0
$17^1 + 3^2 = 26$
Supponiamo che (ipotesi induttiva):
(1): $17^{2n+1} + 3^{n+2} = 26k$
Cosa succede per n+1?
(2): $17^{2(n+1)+1} + 3^{n+3} = ???$
Sottraggo (1) da (2)
...
Dopo alcuni passaggi...
$288 \cdot 17^{2n+1} + 2*3^{n+2}$
Cioè
$286 \cdot 17^{2n+1} + 2*17^{2n+1} + 2*3^{n+2}$
Ma gli ultimi due addendi sono uguali a 2*26k per ipotesi induttiva e 286 è divisibile per 26, perciò vale la tesi.
Fabiuz, la tua intuizione, riguardo a questo esercizio, è corretta. Purtroppo, la fregatura matematica è che bisogna dimostrare che è valida in tutti i casi possibili.
Ma, toglimi una curiosità, Bruno: come ha fatto a venirti in mente questo esercizio?
P.S. Forse mi sono perso qualcosa... ma è tuo questo blog?
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Bellissime tutte le vignette!
A me è piaciuta moltissimo, e mi dà molto da meditare, quella di quel tizio che trova un semino, lo getta in un vaso e alla fine viene baciato dal fiore!
Ciao
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Picipoci
E' facile verificare la proposizione nei primi 3 casi, dopodichè "basterebbe" dimostrare che i moduli hanno un andamento ciclico di periodo 3. Io so che è così, ma non so perchè
Mi pare che esista una dimostrazione del genere, l'avevo letta da qualche parte ma non ricordo dove. qualcuno se la ricorda?
Mi pare che esista una dimostrazione del genere, l'avevo letta da qualche parte ma non ricordo dove. qualcuno se la ricorda?
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Re: Picipoci
Dimostro anche la prima, sempre molto telegrafico.
Dimostrazione per assurdo.
Se $z^2+5z+16$ fosse divisibile per $26^2=4 \cdot 169$...
dovremmo avere:
$z^2+5z+16=4 \cdot 169 \cdot k$
Risolvendo l'equazione di secondo grado, otteniamo il seguente DELTA:
$16\cdot169k-39$
ovvero:
$13(16\cdot13k-3)$
Tale DELTA non può essere un quadrato perfetto perché contiene il fattore 13 una sola volta.
Dunque l'equazione non ha soluzioni z intere.
Da cui la tesi.
Fabiuz, cercherò il teorema di cui parli.
Ciao
Gianfranco
Dimostrazione per assurdo.
Se $z^2+5z+16$ fosse divisibile per $26^2=4 \cdot 169$...
dovremmo avere:
$z^2+5z+16=4 \cdot 169 \cdot k$
Risolvendo l'equazione di secondo grado, otteniamo il seguente DELTA:
$16\cdot169k-39$
ovvero:
$13(16\cdot13k-3)$
Tale DELTA non può essere un quadrato perfetto perché contiene il fattore 13 una sola volta.
Dunque l'equazione non ha soluzioni z intere.
Da cui la tesi.
Fabiuz, cercherò il teorema di cui parli.
Ciao
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Picipoci
Ciao a tutti
$17^{2n+1}+3^{n+2}$
è sempre divisibile per 26, si può procedere in questo modo. Sia la successione
$u_n=17^{2n+1}+3^{n+2}$
allora
$u_{n+2}=292 u_{n+1}-867 u_n$ con $u_0=26$ $u_1=4940$
E' chiaro dalla precedente che se due termini consecutivi della successione sono divisibili per uno stesso numero k anche il successivo è divisibile per k.
Ne consegue che essendo $u_0=26$ e $u_1=26\cdot190$ ogni $u_n$ è divisibile per 26.
$17^{2n+1}+3^{n+2}$
è sempre divisibile per 26, si può procedere in questo modo. Sia la successione
$u_n=17^{2n+1}+3^{n+2}$
allora
$u_{n+2}=292 u_{n+1}-867 u_n$ con $u_0=26$ $u_1=4940$
E' chiaro dalla precedente che se due termini consecutivi della successione sono divisibili per uno stesso numero k anche il successivo è divisibile per k.
Ne consegue che essendo $u_0=26$ e $u_1=26\cdot190$ ogni $u_n$ è divisibile per 26.
Vittorio
Re: Picipoci
26 è pure il più piccolo palindromo il cui quadrato è a sua volta palindromo; il che dimostra (?) che 1 , 2 e 3 non sono palindromi
26 è oltretutto uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (17576); il che è utilissimo a sapersi....
Tanto per restare in zona "26", mi risulta che il vecchio Fermat, tra le varie cose che asserì senza provare, sosteneva che 25 fosse un quadrato molto particolare, anzi unico.
La sua "specialità" sarebbe di essere uguale ad "un cubo - 2"
Mi risulta che tale unicità sia stata dimostrata. Personalmente non ho voglia di cimentarmi. Volontari ?
sempre vicino al 26, abbiamo il 27
Anche 27 è uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (19683); esistono altre coppie (o magari triplette) di numeri consecutivi con tale inutile caratteristica?
27 condivide con 37 un'altra simpatica inutile proprietà. La caccia è aperta
26 è oltretutto uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (17576); il che è utilissimo a sapersi....
Tanto per restare in zona "26", mi risulta che il vecchio Fermat, tra le varie cose che asserì senza provare, sosteneva che 25 fosse un quadrato molto particolare, anzi unico.
La sua "specialità" sarebbe di essere uguale ad "un cubo - 2"
Mi risulta che tale unicità sia stata dimostrata. Personalmente non ho voglia di cimentarmi. Volontari ?
sempre vicino al 26, abbiamo il 27
Anche 27 è uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (19683); esistono altre coppie (o magari triplette) di numeri consecutivi con tale inutile caratteristica?
27 condivide con 37 un'altra simpatica inutile proprietà. La caccia è aperta
Enrico
Re: Picipoci
26 è pure il più piccolo palindromo il cui quadrato è a sua volta palindromo; il che dimostra (?) che 1 , 2 e 3 non sono palindromi
26 è oltretutto uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (17576); il che è utilissimo a sapersi....
Tanto per restare in zona "26", mi risulta che il vecchio Fermat, tra le varie cose che asserì senza provare, sosteneva che 25 fosse un quadrato molto particolare, anzi unico.
La sua "specialità" sarebbe di essere uguale ad "un cubo - 2"
Mi risulta che tale unicità sia stata dimostrata. Personalmente non ho voglia di cimentarmi. Volontari ?
sempre vicino al 26, abbiamo il 27
Anche 27 è uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (19683); esistono altre coppie (o magari triplette) di numeri consecutivi con tale inutile caratteristica?
27 condivide con 37 un'altra simpatica inutile proprietà. La caccia è aperta
26 è oltretutto uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (17576); il che è utilissimo a sapersi....
Tanto per restare in zona "26", mi risulta che il vecchio Fermat, tra le varie cose che asserì senza provare, sosteneva che 25 fosse un quadrato molto particolare, anzi unico.
La sua "specialità" sarebbe di essere uguale ad "un cubo - 2"
Mi risulta che tale unicità sia stata dimostrata. Personalmente non ho voglia di cimentarmi. Volontari ?
sempre vicino al 26, abbiamo il 27
Anche 27 è uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (19683); esistono altre coppie (o magari triplette) di numeri consecutivi con tale inutile caratteristica?
27 condivide con 37 un'altra simpatica inutile proprietà. La caccia è aperta
Enrico
Re: Picipoci
Passi per il 676, ma da che parte bisogna guardarlo il 26 per vederlo palindromodelfo52 ha scritto:26 è pure il più piccolo palindromo il cui quadrato è a sua volta palindromo; il che dimostra (?) che 1 , 2 e 3 non sono palindromi
E il 121 quadrato di 11 non è forse palindromo
Tutti i numeri di una cifra, così come le lettere, sono intrinsecamente palindromi, tuttavia tale definizione non mi sembra che abbia molto senso se non applicata a una parola, una frase o un gruppo di cifre. Quindi, gira, gira, 11 è il più piccolo numero palindromo (e il più piccolo il cui quadrato sia anch'esso palindromo), o sbaglio
Per restare in tema di palindromi, eccovi un simpatico algoritmo (che molti di voi già conosceranno): prendere un numero e sommarlo al numero che si ottiene invertendo le cifre, nella maggior parte dei casi, dopo pochi passaggi, si ottiene un numero palindromo.
L'unica altra coppia è costituita dal 17 (4+9+1+3) e dal 18 (5+8+3+2), aggiungi 0, 1, 8 e la serie si chiude. Non ce ne sono altri, almeno secondo OEIS http://www.research.att.com/~njas/sequences/A046459" onclick="window.open(this.href);return false;delfo52 ha scritto:Anche 27 è uguale alla somma delle cifre del proprio cubo (19683); esistono altre coppie (o magari triplette) di numeri consecutivi con tale inutile caratteristica?
Alcune ipotesi (tutte di dubbia utilità):delfo52 ha scritto:27 condivide con 37 un'altra simpatica inutile proprietà. La caccia è aperta
1) il loro fattoriale +1 è un numero primo
2) sono divisori di 999
3) il loro reciproco ha periodo di 3 cifre
4) rispettivamente sono la somma dei primi 4 e 5 numeri composti
5) risolvono l'equazione 6j²+6j+1=13k
6) possono essere espressi come n²+n+7
7) sono soluzioni del problema di Zarankiewicz
e così via (OEIS è una miniera di cose di questo genere)
[Sergio] / $17$
Re: Picipoci
era saltato un NON
26 è ilpiù piccolo NON palindromo il cui quadrato lo sia
1/37 = 0,027027027...
Se prendiamo un numero di tre cifre, se ne possono derivare altri due con una "permutazione ciclica"
es: xyz ; yzx ; zxy
queste terne di numeri, hanno la simpatica abitudine di essere divisibili per 27 e per 37) o nessuno o tutti e tre
In latre parole: ogni numero di tre cifre divisibile per 27 (o 37) lo rimane anche nelle sue varianti ciclicamente permutate.
26 è ilpiù piccolo NON palindromo il cui quadrato lo sia
1/37 = 0,027027027...
Se prendiamo un numero di tre cifre, se ne possono derivare altri due con una "permutazione ciclica"
es: xyz ; yzx ; zxy
queste terne di numeri, hanno la simpatica abitudine di essere divisibili per 27 e per 37) o nessuno o tutti e tre
In latre parole: ogni numero di tre cifre divisibile per 27 (o 37) lo rimane anche nelle sue varianti ciclicamente permutate.
Enrico
Re: Picipoci
Grandi
> Per Gianfranco
Grazie di tutto!
Sì, il link che hai indicato corrisponde al mio blog.
I quiz numerici non li ho inventati, ma solo
adattati al numero 26.
> Per Enrico
In effetti, la questione di Fermat a cui ti riferisci
è quella che avevo in mente io.
Conosco una dimostrazione ma non l'ho trovata
per conto mio.
Ti do anch'io un'inutilità.
Tu dici 37 e 27... mhm... Proviamo a riscrivere:
$\frac{37-27}{37} = 0,\overline{270} \\ \frac{37-27}{27} = 0,\overline{370}$
E ora guarda qui:
$\frac{370270}{370 {\small \times} 270}-\frac{270370}{270 {\small \times} 370}\,=\,1\;$
Volo!
> Per Gianfranco
Grazie di tutto!
Sì, il link che hai indicato corrisponde al mio blog.
I quiz numerici non li ho inventati, ma solo
adattati al numero 26.
> Per Enrico
In effetti, la questione di Fermat a cui ti riferisci
è quella che avevo in mente io.
Conosco una dimostrazione ma non l'ho trovata
per conto mio.
Ti do anch'io un'inutilità.
Tu dici 37 e 27... mhm... Proviamo a riscrivere:
$\frac{37-27}{37} = 0,\overline{270} \\ \frac{37-27}{27} = 0,\overline{370}$
E ora guarda qui:
$\frac{370270}{370 {\small \times} 270}-\frac{270370}{270 {\small \times} 370}\,=\,1\;$
Volo!
Bruno
Re: Picipoci
$\frac{2218-1822}{22\cdot18} = \frac{22221818-18182222}{2222\cdot1818} = \frac{222222181818-181818222222}{222222\cdot181818} = .....= 1$
$\frac{370270-270370}{370\cdot270} = \frac{370370270270-270270370370}{370370\cdot270270} = ..........=1$
$\frac{3616226558-2655836162}{36162\cdot26558} = \frac{36162361622655826558-26558265583616236162}{3616236162\cdot2655826558} = ....... = 1$
e ancora
$\frac{2020198-1980202}{202\cdot198} = 1$
ciao.
$\frac{370270-270370}{370\cdot270} = \frac{370370270270-270270370370}{370370\cdot270270} = ..........=1$
$\frac{3616226558-2655836162}{36162\cdot26558} = \frac{36162361622655826558-26558265583616236162}{3616236162\cdot2655826558} = ....... = 1$
e ancora
$\frac{2020198-1980202}{202\cdot198} = 1$
ciao.
Vittorio
Re: Picipoci
$\{x = 10^n a + b \\ y = 10^n b + a$
$\large \frac{10^n a + b - (10^n b + a)}{ab} = 1$
$10^n a + b - 10^n b - a = ab$
$a [(10^n -1) - b] = b (10^n - 1)$
$\large a = \frac{(10^n - 1) b}{(10^n -1) - b}$
Es.
$\large n = 2 \/ ; \/ b = 18 \to a = \frac{99 \cdot 18}{99 - 18} = 22$
$\large n = 4 \/ ; \/ b = 198 \to a = \frac{9999 \cdot 198}{9999 - 198} = 202$
$\large \frac{10^n a + b - (10^n b + a)}{ab} = 1$
$10^n a + b - 10^n b - a = ab$
$a [(10^n -1) - b] = b (10^n - 1)$
$\large a = \frac{(10^n - 1) b}{(10^n -1) - b}$
Es.
$\large n = 2 \/ ; \/ b = 18 \to a = \frac{99 \cdot 18}{99 - 18} = 22$
$\large n = 4 \/ ; \/ b = 198 \to a = \frac{9999 \cdot 198}{9999 - 198} = 202$
[Sergio] / $17$
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Re: Picipoci
Ciao a tutti,
Io ho provato a trasformarlo nel modo seguente:
$2^n - 3^m = d$
con n, m, d, numeri naturali.
Domanda: quali valori non può mai avere d?
$3^m\, mod\, 8 = 3\, oppure\, 1$
Si dimostra facilmente per induzione, con m pari e m dispari.
$2^n\, mod\, 8 = 0\, (per\, n>2)$
Elementare Watson
Di conseguenza:
$(2^n - 3^m)\, mod\, 8 = 5\, oppure\, 7$
8-3 = 5, 8-1 = 7
Perciò, nell'eguaglianza:
$2^n - 3^m = d$
(con n>2)
d NON può essere un numero del tipo:
8k+0 = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
8k+1 = (1), 9, 17, 25, 33, 41, 49, ...
8k+2 = 2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, ...
8k+3 = 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, ...
8k+4 = 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, ...
8k+6 = 6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, ...
Toh! 41 è tra questi numeri!
Ciao
Gianfranco
Il quesito, posto così, è soltanto un caso particolare, perciò può apparire poco interessante.Togliendo 41 a una potenza di 2 non si può mai ottenere una potenza di 3.
Io ho provato a trasformarlo nel modo seguente:
$2^n - 3^m = d$
con n, m, d, numeri naturali.
Domanda: quali valori non può mai avere d?
$3^m\, mod\, 8 = 3\, oppure\, 1$
Si dimostra facilmente per induzione, con m pari e m dispari.
$2^n\, mod\, 8 = 0\, (per\, n>2)$
Elementare Watson
Di conseguenza:
$(2^n - 3^m)\, mod\, 8 = 5\, oppure\, 7$
8-3 = 5, 8-1 = 7
Perciò, nell'eguaglianza:
$2^n - 3^m = d$
(con n>2)
d NON può essere un numero del tipo:
8k+0 = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
8k+1 = (1), 9, 17, 25, 33, 41, 49, ...
8k+2 = 2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, ...
8k+3 = 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, ...
8k+4 = 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, ...
8k+6 = 6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, ...
Toh! 41 è tra questi numeri!
Ciao
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco