Prodotto di n fattori, con n naturale

[infinito]

Sorry boys, ma concordo assolutamente con Daniela, malgrado sia un fisico!!!

Simona

Sì, ma con quali motivazioni (valide)?


Altrimenti continui ad alimentare la mia idea espressa sopra

...(non vorrei essere offensivo, anche se mi rendo conto che "un po' lo sono":)
Io quindi credo che quasi tutti, su questi argomenti, abbiano delle idee ormai vecchie, e che rispondano più sotto la spinta del "quel che so non lo cambio" che sotto la scelta di un pensiero razionale, eventualmente arricchito da credi "metamatematici"...

[Massimo]

Ho riflettuto sulle considerazioni di infinito e sono arrivato a ragionare con i suoi ragionamenti per capire se a mio avviso possa ritenersi corretto o meno l'impiego di 0^0=1.

Premesso che le definizioni di potenza sono quelle già scritte, l'obiettivo è quello di aggiungerne una 4a che appunto introduca la imposizione 0^0=1. Alchè la 3a può essere annichilita con la 4a facendo sparire l'imposizione a diverso da 0.

Il concetto di limite non serve a invalidare l'impostazione di infinito. Questo perchè non gliene frega a nessuno che x^y abbia limite per x,y->0,0. O almeno in questo frangente.

L'unica cosa che realmente vedo è che le definizioni e soprattutto le proprietà delle potenze siano trattate come a def e prop. di serie B e non di serie A.
Dalle definizioni e soprattutto dalle proprietà visionate sembra quasi non considerarsi l'ipotesi che la base possa essere =0. Invece mi pare adeguato valutare anche quella circostanza.

Questo perchè le proprietà dovrebbero essere utilizzabili meccanicamente, senza quindi usare ipotesi aggiuntive, che per l'appunto dovrebbero essere interne alla proprietà stessa!

Di tutte le proprietà mi pare che 0^a sia preso un po' in controgamba, forse perchè a fini didattici 0^a si introduce in un secondo tempo... E' quindi una carenza bella e buona.

Quindi invito a riformulare dapprima le proprietà (ad esempio non valgono se al denominatore compare 0^a con a diverso da 0 o se si usa la 0^0:=1 [limitazione quest'ultima non necessaria se si resta nell'ambito delle definizioni classiche]) in modo da renderle meccaniche e poi decidere se usare le potenze classiche o le potenze infinitiane in cui 0^0=1.

In conclusione, porre 0^0:=1 semplifica le definizioni e complica le proprietà. rendere 0^0 privo di significato complica le definizioni, ma semplifica le proprietà. Quest'ultime comunque sono tradizionalmente divulgate in modo inesatto perchè non sono di tipo meccanico.

Inoltre nella pratica la 0^0:=1 resta di fatto un puro segno convenzionale poichè è impossibile applicare qualche proprietà su questo risultato. Porta in pratica a far scrivere allo studente 0^0=1 piuttosto che "privo di significato",... ma quell'"1" è un 1* ossia non gode delle proprietà dell'1.


OT:
Lo sapevate che log in base 0 di 1 = 0?

[Daniela]

Se l' obiettivo e' introdurre una definizione di proprio gradimento, questo e' senz'altro possibile. Ricordo poi che tutte le funzioni (integrabili cioe' "domestiche" ma se volete anche quelle selvatiche che non sono neanche misurabili / mu-misurabili) su un insieme di misura nulla si possono ridefinire a piacere senza andarne a toccare la continuita' o mancanza di continuita', per cui, se proprio voglio incaponirmi, posso pure ridefinire la funzione potenza al valore di 137 per ogni coppia di interi su tutto il piano cartesiano, e non cambiera' niente. Riguardo alla obiezione che introdurre il concetto di funzione potenza e mettere in mezzo i reali "non era richiesto", faccio notare che al contrario questa e' l'unica strada per definire un concetto di potenza non banale; se ci limitiamo agli interi positivi, il rasoio di Occam taglia la gola al concetto di potenza, che e' soltanto una notazione abbreviata per un prodotto effettuato parecchie volte (e che e' ben definito perche' stiamo moltiplicando sempre lo stesso elemento per se stesso, quindi, tanto piu' in un corpo - leggasi campo commutativo per gli anglofili - ma anche in un campo o algebra generico, tutto funziona). In questo contesto possiamo introdurre la convenzione n^0=1 un po' perche' vogliamo scrivere n^(m-m) che si comporti come desideriamo, e un po' perche' e' comodo definire 1 come risultato di questa notazione potenza, visto che sappiamo che presto la faremo diventare una struttura piu' interessante (se non ancora una funzione, almeno una relazione), e allora se i suoi valori comprendono l'elemento neutro del prodotto ottenuto in maniera non banale, questo ci serve, ci e' utile, ci e' comodo, ed e' gia' tutto pronto quando debanalizzeremo il tutto. In questo contesto piu' limitato non ha neanche senso parlarne, di 0^0, cosi' come non ha nessun senso (come nella battuta di Massimo) definire la base 0 o la base 1 per rappresentare i naturali, e cosi' come non avrebbe nessun senso ridefinire 0/0 come uguale a 1 per avere la gradevole soddisfazione che n/n=1 per ogni n. (Mentre invece, costruire una funzione che vale y/x se x diverso da 0, che non e' definita se x=0 e y e' diverso da zero, e assume valore 1 se (x,y)=(0,0) e' forse ozioso ma senz'altro fattibile.) Credo che difficilmente troverai un matematico che prende in considerazione la tua proposta e questo indipendentemente dalle convinzioni religiose e politiche o dalle rappresentazioni del mondo che questo o quel singolo matematico puo' avere, puoi comunque cercare - nella enorme varieta' di matematici, accomunati soltanto dal desiderio di cercare la verita' - una persona che abbia una visione del mondo in accordo con la tua, e non dubito che ti dira' le stesse cose, anzi forse, magari in confidenza te le dira' in maniera ancora piu' diretta.

[infinito]

Continuo a ripetere che la discussione non era centrata su “0°”, ma sulla “possibilità di definire il prodotto di n fattori, con n naturale (e quindi anche 1 e 0 fattori)”.


Intanto ringrazio Massimo per aver preso in considerazione le mie argomentazioni.

...Premesso che le definizioni di potenza sono quelle già scritte, l'obiettivo è quello di aggiungerne una 4a che appunto introduca la imposizione 0^0=1...

Non ho capito molto, e forse lo hai detto anche tu, però non è questione di “aggiungerne una 4ª”, ma di semplificare la 3ª eliminando “la parte in più”:
per esempio (rifacendosi alle definizioni citate da Admin), invece di
Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a, diverso da zero secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: $a^0\/=\/+1$.
si avrebbe
Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: $a^0\/=\/+1$.





Non ho capito bene nemmeno alcune cose di quelle che seguono, in particolare in

...Di tutte le proprietà mi pare che 0^a sia preso un po' in controgamba, forse perchè a fini didattici 0^a si introduce in un secondo tempo... E' quindi una carenza bella e buona.

Quindi invito a riformulare dapprima le proprietà (ad esempio non valgono se al denominatore compare 0^a con a diverso da 0 o se si usa la 0^0:=1 [limitazione quest'ultima non necessaria se si resta nell'ambito delle definizioni classiche])...

Non capisco il problema:
se si definisce
“$\forall a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \quad a^n = \prod_{i=1}^n a$”
cioè, più semplicemente,
“$\forall a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \quad a^n$ è il prodotto di n fattori uguali ad a”
Tutte le proprietà che valgono secondo voi continuano a valere “secondo me”, e non ho limitazioni di sorta, nemmeno per la base nulla.
Le prime “limitazioni” sorgono estendendo le potenze agli esponenti negativi: ovviamente la base deve essere diversa da 0 (a meno di avere 0 anche come esponente, che quindi non da problemi); perciò la nostra definizione semplificata non genera nessun ostacolo.

...In conclusione, porre 0^0:=1 semplifica le definizioni e complica le proprietà. rendere 0^0 privo di significato complica le definizioni, ma semplifica le proprietà....

Se accetti le mie correzioni di sopra, questa frase diventa quindi:
“In conclusione, porre 0°:=1 semplifica le definizioni e le proprietà, rendere 0° privo di significato complica le definizioni.”

...Inoltre nella pratica la 0^0:=1 resta di fatto un puro segno convenzionale poichè è impossibile applicare qualche proprietà su questo risultato. Porta in pratica a far scrivere allo studente 0^0=1 piuttosto che "privo di significato",... ma quell'"1" è un 1* ossia non gode delle proprietà dell'1.

In realtà semplifica la scrittura, perché ogni volta che devo calcolare a°, con la “mia” definizione ho “1”, con l'altra ho “se a diverso da 0 ottengo 1, se a = 0 l'espressione è priva di significato”.

Però ripeto che introducendo il concetto di prodotto di 0 fattori, ho un concetto importante che altrimenti non avrei, oltre a diversi vantaggi “pratici”.

Infine (ovviamente “secondo me”) il motivo è più profondo: è semplicemente vero che 0°=1.

[infinito]

...Riguardo alla obiezione che introdurre il concetto di funzione potenza e mettere in mezzo i reali "non era richiesto", faccio notare che al contrario questa e' l'unica strada per definire un concetto di potenza non banale; se ci limitiamo agli interi positivi, il rasoio di Occam taglia la gola al concetto di potenza, che e' soltanto una notazione abbreviata per un prodotto effettuato parecchie volte (e che e' ben definito perche' stiamo moltiplicando sempre lo stesso elemento per se stesso, quindi, tanto piu' in un corpo - leggasi campo commutativo per gli anglofili - ma anche in un campo o algebra generico, tutto funziona)....

Direi che la tua è una visione “utilitaristica” ed oggettivamente adattata ai tuoi fini specifici “da fisica” (senza polemica, credo che, almeno in parte, possa concordare anche tu).
Infatti il concetto di potenza, che, come ho scritto 11 post fa

2ª Come la somma e il prodotto, anche la potenza ha una sua definizione insiemistica, che io reputo “precedente” (non in senso storico, ma logico) a quella standard, e secondo questa definizione (ovviamente) 0°=1.

, si trova anche in ambito insiemistico, nasce con gli esponenti naturali, anche se poi si cerca di ampliarne il significato.
Resta tuttavia chiaro che, praticamente, ogni volta che si tenta di espandere l'inseme di definizione dell'esponente, si deve ridurre quello della base ... con l'unica eccezione di 0° (in realtà l'affermazione è falsa, nel senso che non c'è da estenderla a “0°”, essendo definito naturalmente appena si introduce l'esponente nullo).

Faccio altresì notare che “il rasoio di Occam” obbliga a eliminare l'assurda aggiunta $a \ne 0$ dalla definizione di a°, semplicemente.

... che e' ben definito perche' stiamo moltiplicando sempre lo stesso elemento per se stesso, quindi, tanto piu' in un corpo - leggasi campo commutativo per gli anglofili - ma anche in un campo o algebra generico, tutto funziona...

Anche a me sembra ovvio che “funziona”, ma considerando che non ci si intende proprio su una di queste definizioni “banali”, forse non è poi così ovvio, e quello che introduciamo con la funzione esponenziale è qualcosa di “sostanziale” (almeno se non si conosce l'ormai famoso, anche se se ne parla pochissimo, “prodotto di n fattori con n naturale").

...In questo contesto possiamo introdurre la convenzione n^0=1 un po' perche' vogliamo scrivere n^(m-m) che si comporti come desideriamo, e un po' perche' e' comodo definire 1 come risultato di questa notazione potenza, visto che sappiamo che presto la faremo diventare una struttura piu' interessante (se non ancora una funzione, almeno una relazione), e allora se i suoi valori comprendono l'elemento neutro del prodotto ottenuto in maniera non banale, questo ci serve, ci e' utile, ci e' comodo, ed e' gia' tutto pronto quando debanalizzeremo il tutto...

No, Daniela, non è vero che si fa tutto finalizzato ai reali.
Se così fosse non ci sogneremo di definire $a^n$ per gli a negativi, visto che non ne esiste la radice quadrata (esponente $\frac 1 2$). Invece la definizione di potenza ad esponente naturale si dà per ogni base reale.

Forse io ho una visione troppo “metamatematica” con la mia ricerca della Verità, ma dubito che si possa conoscere la matematica cercando solo che le cose “funzionino”.

... cosi' come non avrebbe nessun senso ridefinire 0/0 come uguale a 1 per avere la gradevole soddisfazione che n/n=1 per ogni n. (Mentre invece, costruire una funzione che vale y/x se x diverso da 0, che non e' definita se x=0 e y e' diverso da zero, e assume valore 1 se (x,y)=(0,0) e' forse ozioso ma senz'altro fattibile.) ...

Beh, è molto diverso cercare di introdurre l'unica potenza con denominatore nullo (mentre tutte le altre espressioni con tale denominatore continuerebbero a non avere significato), senza ricavarci alcunché di utile, e senza chiedersi (scusa la solita “ricerca”) se è vero che $\frac 0 0 = 1$,
rispetto a chiedersi se l'espressione con l'unico valore per la base che si eliminato dalla definizione di potenza ad esponente nullo ha o meno significato; constatare che TUTTO FUNZIONA (notalo bene), chiedersi e chiedere perché non evitare di eliminarlo “ad hoc”, e decidere di lasciarlo, magari anche se questo implica una “battaglia matematica”.

Se l' obiettivo e' introdurre una definizione di proprio gradimento, questo e' senz'altro possibile...

Speravo che alla fine si capisse che non ho “introdotto” niente, mi sono limitato a “non eliminare” valori ad hoc (per finalità che davvero non ho capito: QUAL È QUALCHE VANTAGGIO DELL'OPERAZIONE DI ESCLUSIONE DI 0°?) e a constatare che le cose funzionano perfettamente lo stesso.

[Massimo]

edit. infinito, mi hai quasi convinto, scusami Daniela

probabilmente per gli studenti del 3° millennio spariranno dai compiti in classe le espressioni del tipo {...}^0=? e compariranno le espressioni del tipo
log in base 0 di {...} = ?

[Ivana]

Come ripeto, concordo con Mario Ferrari: ognuno ha la libertà di scegliere le definizioni che vuole…
Esprimo il mio punto di vista riguardo a
“prodotto di 0 fattori”.
Personalmente, per evitare ogni possibile ed eventuale confusione, preferirei scrivere “prodotto privo di fattori”.
Ritengo che proprio in base alla scrittura convenzionale $a^0 = 1$ un prodotto privo di fattori risulta uguale all’elemento neutro della moltiplicazione.

[infinito]

Ciao Ivana, “bentornata”.

Come ripeto, concordo con Mario Ferrari: ognuno ha la libertà di scegliere le definizioni che vuole…

Lo dici spesso, infatti.
Diamolo per scontato, una volta per tutte, ma insieme al fatto che alcune definizioni sono decisamente fuori luogo (ancorché “possibili”, cioè “coerenti”, e quindi “ognuno ha la libertà ...”), altre sono “accettabili”, altre ancora vanno meglio, ed infine altre sono “naturali”, nel senso che vengono a semplificare, ampliare e/o generalizzare altre definizioni o i i concetti che esprimono, oppure a permettere di reinterpretarli con concetti più sintetici.
A me pare, per l'appunto, che la definizione che sto proponendo abbia queste caratteristiche, e che quindi pur lasciando a ogni singolo la libertà di scegliere quello che vuole, la comunità dei matematici (o la matematica “ufficiale”) non possa non accogliere la “mia” proposta (ho virgolettato “mia” perché, la definizione “0°=1” è tutt'altro che mia, essendo io stato convinto di conoscerla “da sempre” - per il prodotto di 0 fattori invece il doscorso è diverso, ma mi sembrerebbe un po' strano che nessuno l'abbia mai proposto prima ... può semplicemente darsi che questo qualcuno abbia trovato “strane” difficoltà a farla accetare).

Personalmente, per evitare ogni possibile ed eventuale confusione, preferirei scrivere “prodotto privo di fattori”.
Ritengo che proprio in base alla scrittura convenzionale $a^0 = 1$ un prodotto privo di fattori risulta uguale all’elemento neutro della moltiplicazione.

??? Non ho proprio capito: mi stai dicendo che “ proprio in base alla scrittura convenzionale $a^0 = 1$ un prodotto privo di fattori risulta uguale all’elemento neutro della moltiplicazione”, quindi che “un prodotto privo di fattori è già definito"? Quindi non ci sono problemi per te ad accettarlo?

Poi non capisco la differenza e la preferenza che hai espresso: se io voglio definire il “prodotto di n fattori” per ogni n naturale, ho necessità di definirlo per 3 fattori, per 2, per 1 e per 0.

Se è tutto qui il punto su cui non si concorda ti chiedo di esprimerlo meglio, grazie.

[Ivana]

So che il motivo per cui è stato posto, per definizione, $a^0 = +1$ (con a diverso da zero) si deve ricercare nel fatto che, con tale definizione, la seconda proprietà delle potenze è valida, anche quando gli esponenti delle due potenze sono uguali.

Insomma, so che si è posto $a^0 = +1$ per definizione e tale definizione si giustifica con il fatto che, così, la seconda proprietà delle potenze è valida anche quando gli esponenti delle due potenze sono uguali.

Preferisco dire “prodotto privo di fattori”, perché a me appare più elegante rispetto a “prodotto di 0 fattori” e, inoltre, evita ogni eventuale equivoco, da parte dei non matematici, a intendere “prodotto di fattori tutti uguali a zero" (cioè: 0*0*0…)

Reputo che proprio in base alla scrittura convenzionale$a^0 = +1$ il "prodotto
privo di fattori" risulti uguale a uno.
Non credo sia stato definito il “prodotto privo di fattori”, ma a me appare evidente che la scrittura convenzionale
$a^0 = +1$rende uguale all’elemento neutro della moltiplicazione un "prodotto privo di fattori".

Infinito, Daniela, Massimo (e a chi altri fosse interessato!) segnalo una bella discussione tra matematici. A me sono piaciuti, in modo particolare gli interventi di Claudio Citrini (il quale precisa che il principio guida dovrebbe essere -secondo Frege - il "principio di
permanenza delle proprietà formali", principio a cui io ho sempre fatto riferimento ) e di Sergio Invernizzi (che risponde, in modo semplice, chiaro e condivisibile, a una domanda di Mauro Cerasoli) :
http://guide.dada.net/matematica_risors ... 7556.shtml" onclick="window.open(this.href);return false;

[Massimo]

Sia ben chiaro che 0° :=1 a mio avviso non dovrebbe essere insegnato, se non come curiosità, non essendo proprio della matematica classica.
Uno studente che scriva 0°=1 è da considerarsi un errore, perchè non combacia con le regole universalmente accettate, a meno che non si precisi appunto volta per volta che si pone 0°:=1.

Come suggerisce il link di Ivana, porre 0°=1 in sostanza è utile in analisi in serie di Taylor ed anche quì mi pare doveroso specificarlo, perchè essendo questa una scelta dettata dall'utilità più che da un'oggettiva necessità potrebbe succedere un domani che sia invece migliore la posizione 0°=0 o 0°=5: scelte peggiori per quanto rigurda la risposta alle proprietà, ma contesualizzate risultano soddisfacenti e più utili.

es. sviluppo in serie di Taylor di (e^x)+4 per x->0

pongo 0°:=5; 0!:=1
=> (e^x)+4=sommatoria per n da 0 a infinito di x^n/n!

[infinito]

So che il motivo per cui è stato posto, per definizione, $a^0 = +1$ (con a diverso da zero) si deve ricercare nel fatto che, con tale definizione, la seconda proprietà delle potenze è valida, anche quando gli esponenti delle due potenze sono uguali.

Insomma, so che si è posto $a^0 = +1$ per definizione e tale definizione si giustifica con il fatto che, così, la seconda proprietà delle potenze è valida anche quando gli esponenti delle due potenze sono uguali....

Difficilmente “mi arrabbio” (e davvero nemmeno ora lo sono, anche se sono "stanco" di sentirmi ripetere le stesse cose a cui ho più volte dato risposta, senza averne alle mie argomentazioni) ma ti (vi) ricordo il titolo di questa discussione (anche se poi è “degenerata”): “Prodotto di n fattori, con n naturale” e il senso della domanda principale: “È possibile estendere il concetto di prodotto anche nel caso di 1 o di 0 fattori, ed è auspicabile che diventi patrimonio comune, cioè una definizione standard?”

Ci sono poi le altre motivazioni che impongono che 0°=1, ma anche solo con quanto sopra spero di averti risposto esaurientemente, cioè di averti dimostrato che la tua visione è decisamente riduttiva e non tiene conto di quasi tutto quello che ho detto nei vari post di questa discussione.

Per capirci: se la mia risposta non ti pare sufficiente dillo, in modo da affrontare e chiarire un punto per volta.

... Preferisco dire “prodotto privo di fattori”, perché a me appare più elegante rispetto a “prodotto di 0 fattori” ...

Sull'eleganza ti ho risposto nel post precedente: se il mio fine è “estendere il concetto di prodotto anche nel caso di 1 o di 0 fattori, allora NECESSARIAMENTE devo definire anche il caso di 0 fattori.
Anche qui, come sopra: “se la mia risposta non ti pare sufficiente dillo, in modo da affrontare e chiarire un punto per volta”.

... e, inoltre, evita ogni eventuale equivoco, da parte dei non matematici, a intendere “prodotto di fattori tutti uguali a zero" (cioè: 0*0*0…)...

Dici “da parte dei non matematici”, ma mi pare di capire che evidentemente il problema c'è invece “da parte di molti matematici”. Io credo che i non matematici abbiano realmente delle difficoltà con questo concetto, che è lo stesso di quello che porta a dire, per esempio, che “se non ho figli, tutti i miei figli sono femmine” ed è collegato a quello che rende non definita la divisone per zero. Ma evitare di utilizzare tale concetto solo in certi ambiti e negarlo in alti aiuta ad avere un unico approccio, il che, lungi dall'aumentare le difficoltà, aiuta la comprensione del concetto di “numero zero”, che ha fatto fare alla matematica dei progressi prodigiosi.
Anche qui, come sopra: “se la mia risposta ...

...Reputo che proprio in base alla scrittura convenzionale$a^0 = +1$ il "prodotto
privo di fattori" risulti uguale a uno.
Non credo sia stato definito il “prodotto privo di fattori”, ma a me appare evidente che la scrittura convenzionale
$a^0 = +1$rende uguale all’elemento neutro della moltiplicazione un "prodotto privo di fattori"...

Allora, dando per scontato il “buon esito” della mia risposta alla citazione precedente, concordi sul fatto che sia “naturale” definire “il prodotto di 0 fattori è 1” (il che ha come conseguenza anche che 0°=1, indipendentemente dal fatto che la funzione $y^x$ non sia continua nell'origine), anche se a chiunque resta la libertà di scegliere le definizioni che vuole, anche la “poco naturale” definizione “non ha significato l'espressione $0^0$?

Infinito, Daniela, Massimo (e a chi altri fosse interessato!) segnalo una bella discussione tra matematici. A me sono piaciuti, in modo particolare gli interventi di Claudio Citrini (il quale precisa che il principio guida dovrebbe essere -secondo Frege - il "principio di
permanenza delle proprietà formali", principio a cui io ho sempre fatto riferimento ) e di Sergio Invernizzi (che risponde, in modo semplice, chiaro e condivisibile, a una domanda di Mauro Cerasoli) :
http://guide.dada.net/matematica_risors ... 7556.shtml" onclick="window.open(this.href);return false;

Mah, non vedo in questa discussione “novità”, e la principale differenza (“oltre al tema”) sta nel fatto che là ognuno esprime il suo parere, con poche “repliche”.

In particolare riguardo le risposte di Claudio Citrini e di Mauro Cerasoli:

Il principio guida dovrebbe essere -secondo Frege - il "principio di permanenza delle proprietà formali". Dunque e' a priori diverso se si parla di interi o di reali (in particolare, è l'esponente che conta).

Qui non è molto dissimile da quello che anche tu hai sempre scritto, ma ti avevo già risposto all'inizio (attendendo invano risposta):

Avevo già detto all'epoca che quando in matematica si vuole estendere un concetto, si usa il principio di permanenza delle proprietà formali...

Concordo, e credo che la mia definizione lo rispetti. Se no dimmi quali proprietà formali non rispetta.

Nel caso di esponenti interi, mi pare, a una rapida scorsa, la posizione $0^0$=0 farebbe decadere la proprietà an/am = $a^{n-m}$ per n=m . Le altre mi pare funzionerebbero.

È l'ennesima volta che si riporta questa assurdità: non puoi iniziare una dimostrazione con un'espressione che non ha significato, applicarci le proprietà che si auspica dovrebbe verificare se avesse significato, ottenere un'espressione e concludere che “quindi” anche tale espressione non ha significato!!!!!!!
Ma, dico, sono io che ho male interpretato o che mi sono sbagliato (prego dimostrarmelo), oppure la vostra risposta non può che essere: “beh, sì: effettivamente è assurdo e molto grave ...”?
Comunque cerco di essere ancora più chiaro: la proprietà “an/am = $a^{n-m}$ per n=m” vale ovviamente solo dove le espressioni hanno significato, quindi, in particolare solo se $a^m \ne 0$, il che si verifica se $\Leftrightarrow a \ne 0 \; \vee \; m = 0$ (Ovviamente resta vero che la funzione $y^x$ non è continua nell'origine, ma anche su questo mi sono già più volte espresso.)

Faccio notare che anche a questo avevo praticamente già risposto precedentemente:

... Sul link che hai postato leggo solo le solite assurdità, che io reputo particolarmente gravi.

Nella “prima” (ed unica) "dimostrazione” del tuo link leggo che:

Ma, se così fosse, potremmo dire: $\left \( \frac 1 0 \right \)^0 = \frac {1^0} {0^0} = \frac 1 1 =1$

è evidente che non puoi iniziare una dimostrazione scrivendo l'espressione priva di significato (non lo ha la base) $\left \( \frac 1 0 \right \)^0$, applicare una proprietà a questa espressione, e pi concludere che ora ha significato!
Sarebbe analogo a dire che non si può moltiplicare per 0 perché $\left \( \frac 1 0 \right \) * 0 = 0$ che è un numero reale

mentre l'operazione $\left \( \frac 1 0 \right \) * 0 = 0$ dovrebbe essere priva di significato, essendo priva di significato la scrittura $\frac 1 0$ .

La risposta di Mauro Cerasoli non è altro che un esempio di applicazione di una formula in cui il risultato è 0! e che “in pratica” dovrebbe essere 1. Non mi pare quindi che abbia alcun apporto positivo alla discussione. Mi pare che Sergio Invernizzi dia semplicemente questa risposta.

[infinito]

Sia ben chiaro che 0° :=1 a mio avviso non dovrebbe essere insegnato, se non come curiosità, non essendo proprio della matematica classica.
Uno studente che scriva 0°=1 è da considerarsi un errore, perchè non combacia con le regole universalmente accettate, a meno che non si precisi appunto volta per volta che si pone 0°:=1...

Stiamo appunto valutando se accettare come “matematica classica”, “teoria standard” o “dato oggettivo”, che il prodotto di 0 fattori sia 1, il che “potrebbe” avere come ovvia conseguenza che 0°=1.
Ormai, viste le argomentazioni che ho postato (e viste le non argomentazioni opposte), io mi sento in diritto di considerarlo accettato. In ogni caso è almeno un'ipotesi considerare valida per valutarne le conseguenze. Non ha quindi significato dire “Non è della matematica classica” o “ non combacia con le regole universalmente accettate”.

Come suggerisce il link di Ivana, porre 0°=1 in sostanza è utile in analisi in serie di Taylor ed anche quì mi pare doveroso specificarlo, perchè essendo questa una scelta dettata dall'utilità più che da un'oggettiva necessità potrebbe succedere un domani che sia invece migliore la posizione 0°=0 ...

No, diciamo che nelle mie argomentazioni non avevo considerato l'applicazione alle serie di Taylor, il che, pur non essendo risolutivo, non può non confermare quanto più volte ho espresso, cioè che “è vero che 0° è EFFETTIVAMENTE, REALMENTE uguale ad 1”.

... potrebbe succedere un domani che sia invece migliore la posizione 0°=0 o 0°=5: scelte peggiori per quanto riguarda la risposta alle proprietà, ma contesualizzate risultano soddisfacenti e più utili.

es. sviluppo in serie di Taylor di (e^x)+4 per x->0

pongo 0°:=5; 0!:=1
=> (e^x)+4=sommatoria per n da 0 a infinito di x^n/n!

??? No, l'esempio (e il concetto) non è assolutamente accettabile: quello non è il polinomio di Taylor, perché ne hai cambiato l'espressione (manca il coefficiente del termine di grado 0).
Non c'è alcuna analogia con quello che si trova evitando di aggiungere $\forall a \ne 0$ alla definizione $a^0=1$ che è perfettamente coerente e le cui proprietà non trovano miglioramenti da tale aggiunta.

[Ivana]

Infinito, come sai, preferisco evitare ogni dissezione obitoriale dei messaggi altrui e, quindi, ti rispondo evitando ogni dissezione…

Per prima cosa, sottolineo che, quando ho precisato di aver fatto riferimento, da subito, al principio di permanenza delle proprietà formali, volevo alludere alla nostra vecchia discussione del 2003, inerente alla filiera da te aperta, dedicata a $0^0$…(Ricordi?)

Continuo a essere d’accordo con Claudio Citrini, perché, a. m. p., anche se “banalmente” [proprio come ha detto l’altro matematico Guido Osimo, scrivendo: Io la vedrei (un po' banalmente) cosi':
1) se voglio vedere $0^0$ come caso particolare di $x^0$, è giusto porlo =$1$
2) se voglio vedere $0^0$come caso particolare di $0^x$, è giusto porlo =$0$ ]
Claudio Citrini è partito da un simbolo privo di significato $0^0$ ($0^0$ non è ancora stato definito) solo per vedere come sarebbe la posizione $0^0=0$ Rispetterebbe il principio di permanenza delle proprietà formali?
Mi piacerebbe, comunque, leggere la risposta che potrebbe darti Claudio Citrini stesso...
Vogliamo provare a contattarlo?

Dal mio punto di vista, credo di aver sempre risposto ai tuoi messaggi, ma non posso certo dare le risposte che tu vorresti leggere… Tu sei libero di proporre tutte le definizioni che vuoi e io le rispetto doverosamente, ma sono altrettanto libera di continuare a seguire quelli che sono i miei processi mentali…


Credo di essere ancora ancorata alle definizioni canoniche, per cui quando parli di estendere il concetto di prodotto al “prodotto di 1 solo fattore” e al “prodotto di 0 fattori” accetto e rispetto la tua proposta, ma resto ancora ancorata al concetto canonico di prodotto, anche se, di fatto, la definizione
$a^0 = 1$
mi evidenzia che un prodotto privo di fattori è uguale all’elemento neutro della moltiplicazione…
Sì, partiamo da due posizioni differenti: tu proponi le tue definizioni, da te create (e, giustamente, hai la piena libertà di crearle!), ma io sono ancora “condizionata” dalle “norme” già accettate dalla comunità dei matematici (o, almeno, dalla maggioranza tra la comunità dei matematici!).
Insomma, io mi attengo a quanto già stabilito, non dimenticando che, volendo definire la potenza di un numero relativo $a$ con l’esponente $1$ e con l’esponente $0$, i matematici hanno dato due nuove e distinte definizioni…

[infinito]

Allora, nonostante mi paia meno chiaro e meno “pratico” che affrontare punto per punto le varie argomentazioni (leggi “dissezionare”), provo a non citare, ma a risponderti seguendo il tuo messaggio.


Io ricordo che sono sempre stato in totale accordo col principio di permanenza delle proprietà formali, e che ogni qual volta tu me lo hai citato “contro” l'abolizione della “famigerata” condizione “$a \ne 0$” io ti ho chiesto di esplicitare quale proprietà veniva meno accettandolo, e da sempre (dal 2003, o da prima, questo non me lo ricordo) tu non mi hai risposto (e io ho sempre pensato che tu non lo abbia fatto per la semplice ragione che non ci sono siffatte proprietà).


Però poi mi viene il dubbio che io non abbia capito quello che ti vuoi dirmi, perché continui a ripetere cose che non mi pare rispondano alle mie domande/richieste.
Io sono perfettamente in accordo con quasi tutte le cose che tu mi dici: col principio di permanenza delle proprietà formali, che il prodotto è associativo, che Peano ha dimostrato che l'aritmetica senza 0° “funziona”, ...
ma non è che non mi piace quello che mi rispondi, è che alle domande specifiche semplicemente non mi rispondi ..., ma, come dici tu: sei altrettanto libera di continuare a seguire quelli che sono i tuoi processi mentali…”



La mia più grande difficoltà a dialogare su questo argomento è che mi pare di incontrare un muro di gomma: a parole tutti dicono che cercano quello che “è più logico , naturale o intuitivo”, ma nei fatti, dopo aver eventualmente “mollato un po'”, ritornano a quello che “hanno sempre saputo che si deve dire” (perché così ci hanno insegnato). Questo mi fa chiedere allora come ho fatto io a considerare così naturale che 0°=1!!!!!!

Per inciso: no, non mi interessa contattare Claudio Citrini (che non conosco per niente), perché non penso che questo sarebbe di una qualche utilità, ma se vuoi farlo tu per te, fallo pure: per me non è un problema (non ho alcuna difficoltà né per far sapere quello che dico e che penso, né a prendermi del “trullo” da parte di chi non lo condivide).



Voglio dire: la Matematica, secondo la mia esperienza, si evolve studiando e approfondendo gli enti oggetto di studio, ma lo fa secondo due principi “opposti”: si approfondisce la conoscenza dell'ente studiato, se ne studiano i casi particolari, se ne studia la struttura più interna, ecc. (in pratica si “complica”), ma poi si reinterpreta il tutto in modo più generale, più semplice, più sintetico (in pratica si “semplifica”), il che permette poi di considerare altri enti come caso particolare dell'ente studiato, cioè di generalizzare, “complicandosi” la vita. Ed è questo continuo semplificare e generalizzare che ha permesso alla “nostra” Matematica di essere quello che è.

Ecco: a me pare proprio che qui non si voglia permettere un passo che è ormai chiaramente irrinunciabile (mi verrebbe da parafrasare Hilbert: “Ma nessuno potrà cacciarmi dal Paradiso in cui mi sono imbattuto”).








Fra l'altro accettare che “siccome in genere si fa così, devo farlo anch'io” per me implica anche il rivedere gran parte di ciò che insegno (e di ciò che penso), e che, secondo me, ogni matematico che conosce (cioè che ama) la sua materia deve insegnare.






Per esempio ai miei alunni io dico queste cose, e vi chiedo di farmi sapere che cosa ne pensate, sia in assoluto (le frasi così come le ho scritte, “in astratto”), sia nel caso specifico (cioè riferite al non accettare l'espressione “0°”):

- Se vi insegnano che Napoleone è morto avvelenato, non avete molti modi di convincervene, se non per fiducia in chi ve lo dice; e se voleste fare una ricerca vostra, probabilmente il massimo che potreste trovare sarebbero dei documenti scritti, di cui dovreste fidarvi;
invece la matematica è diversa: alle superiori potete richiedere la motivazione logica di OGNI cosa che vi viene insegnata, e finché non vi ha convinto (se me lo fate presente) siete autorizzati a non considerala vera.

- In Matematica un'affermazione motivata non importa se è di colui che “va peggio” (a matematica) o dell'insegnante, perché conta la motivazione, non chi la fa.

- La Matematica non è “democratica”, nel senso che se quasi tutta la classe dice che (in N) 3+3=5 e solo una persona dice che 3+3=6, l'affermazione corretta è comunque la seconda.

- Non dovete andare “dietro alla corrente”, ma dovete essere sempre voi stessi; i giovani sono spesso “brutti” perché vanno dietro alle mode, cioè vogliono apparire come non sono, e quindi non sono nulla: siate quello che siete, ricercatelo e siatene orgogliosi, ... e sarete bellissimi!

- (Questo non lo do per “ufficialmente vero”, ma come una mia idea, una mia scoperta) Come la Fisica è “il corpo” della natura, così la Matematica ne è “l'anima”. La Matematica non è una convenzione, ma è una realtà dell'Universo.

[Massimo]

Come ho già detto sono propenso a pensare che 0°=1 (anzi per analoghe ragioni 0!=1), così come sono propenso a pensare che essendo una posizione fuori dall'ordinario, sia necessario specificarla volta per volta per rendere universale un'espressione che potrebbe essere visionata da un lettore che reputa 0° (0! o altre) scritture prive di senso.

C'è poi da dire un qualcosa sul discorso della democraticità o meno della matematica.
A mio avviso la matematica è appunto non democratica e appunto fa un'esplicita eliminazione della scrittura 0°. Quindi la matematica, magari a torto, impedisce tale scrittura. Se qualcuno vuole/necessita di introdurre tale scrittura, dovrà appunto specificarlo.

E' un po' come se avessero creato i numeri naturali definiti come quelli usuali tranne il numero 5...
Allora sarebbe stato che "1+4" sarebbe da considerarsi una scrittura priva di significato. E in questo contesto altra gente avrebbe potuto trovare interessante introdurre il numero 5, ma inserendolo lo avrebbe dovuto specificare volta per volta..

La mia interpretazione è paragonabile a quella informatica delle "librerie di function". Se nella libreria manca 0°=1 non puoi omettere di introdurre una function nel testo del programma, altrimenti il programma non gira. In alternativa potresti cambiare la libreria introducendo appunto una function nuova 0°=1 (il che equivale all'accettare tale posizione senza dirlo) e lasciare più "pulito" il testo del programma, purtroppo il programmino non funzionerà nel pc di altra gente..

Tornando un passo indietro, ricordiamoci inoltre che le potenze nascono come una forma contratta della moltiplicazione dello stesso fattore. Forse, per ragioni a me sconosciute si preferì omettere la scrittura 0° perchè ritenuta un'estensione del significato di potenza poco pratico e difficilmente immaginabile.

Concludendo:
Sono daccordo che porre 0°:=1 sia una tra le migliori scelte possibili per estendere le potenze appunto anche a questa scrittura. Ritengo che sia da considerarsi un'aggiunta alle definizioni universali di potenza e che quindi debba essere esplicitata (in alternativa si possono altresì esplicitare le nuove 3 definizioni di potenza nelle quali la 3a si annichilisce con questa diventando appunto a^0:=1 per ogni a).
Tale posizione è comunque indispensabile per rendere possibile la lettura ad ogni lettore, poichè 0°=1 non è un'affermazione universalmente accettata.