1 numero primo (pour parlé)

[Daniela]

Il concetto che mi pare io non riesca a spiegare è che non cerco di introdurre “artificiosamente” nuove definizioni, ma che le definizioni che usiamo sono spesso solo una parte di definizioni più generali, e che se si riesce ad assimilarle potremo avere altre energie per affrontare meglio situazioni più complesse.

a me risulta che le definizioni piu' generali vadano nella direzione opposta a quella di definire "numero primo" l'elemento neutro del prodotto, ma forse sono limitata io. Penso pero' che io (e mi sembra anche altri) non abbiamo inteso nessuna delle motivazioni valide che tu dici di avere per definire "primo" un numero pieno di divisori (e' uno dei pochissimi (due) naturali ad averne infiniti... insieme al suo collega zero. Si' okkei sono tutti uni, ma ci sono e non puoi far finta di niente). [NOTA per eventuali studenti che leggono. Di solito con l'espressione "divisori dello zero" si indicano i fattori moltiplicativi non banali, e nei campi numerici consueti, N, Z, Q, R, C, non ce ne sono. Ad es nelle matrici nxn potete trovare degli esempi. Io parlavo del fatto banale che n*0=0 per ogni n, come da definizione dell'el. neutro della somma in un campo numerico o anche solo in un monoide o gruppo.]

Perdonami la critica, ma mi pare che tu non stia valutando se è logico quello che affermo io, ma che tu sappia già che “è sbagliato” e che cerchi di dimostrarlo.
Se l'ottica è questa non potrai mai accettare le mie idee.

perdonami tu, ma e' vero, anzi, ovvio che io "lo so gia' e cerco di dimostrarlo", e' cosi' che funziona la matematica. Persino gli animali per ragioni non del tutto comprese (forse legate alla struttura della retina) hanno il concetto di numero piccolo (tra 1 e 6-7-8 dipende dalle specie, e puo' aumentare leggermente con l'allenamento) e quindi la scimmietta sa bene che 3+2=5 e quello che io faccio e' solamente di costruire una struttura dove il tutto e' ben definito. Mi permetto anche di farti notare che se la tua definizione fosse davvero cosi' conveniente, sarebbe stata adottata in maggiore misura, e invece, non la usa quasi nessuno: pensi che la ragione sia che tutti gli altri non ci hanno mai pensato? o pensi che rifiutino la "nuova" definizione per ristrettezza mentale? o che la usino di nascosto ma che ci sia un complotto per non dirlo ai ragazzini a scuola? o che altro? dimmi tu qual e' la tua ipotesi....

Per chiarire questo concetto faccio un esempio (che faccio spesso) che non credo sia uno di quelli che ti piacciono e che può essere considerato OT, ma è solo un esempio che secondo me è molto chiaro.
«Si legge nei Vangeli che al processo di Gesù si presentarono molti falsi testimoni, ma che non si trovarono d'accordo. Ora io mi chiedo: come fanno a non trovarsi d'accordo i falsi testimoni? Basta che si accordino per dire le stesse cose. Invece mi pare che dai testi si capisca bene il perché: non erano “falsi testimoni” nel senso che si intende generalmente noi (cioè non stavano dicendo quello che non pensavano, “il falso”), ma stavano cercando di provare che Gesù era colpevole. Questo non è il modo corretto di giudicare, di fatto avevano già condannato Gesù, e cercavano solo il modo di “farlo legalmente”. Da un simile processo non ci si può salvare.»

Mi sembra che anche in questo caso parli di argomenti che non conosci e senza collocare le strutture nel contesto appropriato in cui si trovano a esistere. La figura di gesu' come descritto nei vangeli (dando quindi per buono che sia esistito eccetera) e' quella di un ebreo che si trova a vivere in giudea nel periodo storico dell'occupazione romana, poco prima della distruzione del secondo tempio. Abbiamo quindi come quadro legale di riferimento da un lato il diritto romano e dall'altro la legge ebraica ("halacha"). Non sono studiosa ne' dell'uno ne' dell'altra ma forse due parole le posso dire. Per quanto riguarda il diritto romano, l'ebreo gesu' non e' certamente un cittadino ("cives"). A lui non si applica il diritto dei codici e delle leggi con tutte le sue tutele dell'imputato (un impianto su cui il nostro stesso diritto in italia si fonda). A lui si applica lo ius gentium cioe' la prassi "naturale" di interazione con i popoli conquistati, e la prassi e' che una persona sgradita si puo' condannare a morte senza problemi e senza una specifica motivazione - e' successo a vercingetorige dopo la parata - e senza pastoie legali e procedurali e processuali. Per quanto riguarda la halacha, leggiamo nei vangeli che gesu' avrebbe ripetutamente violato in pubblico la legge ebraica (per esempio strappando delle spighe di Shabbat) e questo lo rende "chayav misa" cioe' passibile della pena di morte; sapendo questo - come in matematica - si passa alla formalizzazione e alla dimostrazione di come sappiamo gia' che si sono svolti i fatti. All'epoca di Gesu' il Sinedrio non decideva piu' casi in cui l'imputato era passibile di pena capitale, in quanto il paese era occupato dai romani e non si voleva entrare in conflitto con la loro autorita', e' quindi ovvio che - come peraltro anche i vangeli ci riferiscono - pur essendo chiaro che questa persona avrebbe dovuto essere processata - il sinedrio si sia rifiutato di ascoltare il caso e abbia rinviato l'imputato al governatore romano. Scusandomi ancora per l'OT che pero' non ho iniziato io, ci terrei a ricordare che quando funzionava il sinedrio (un tribunale di 71 membri, che oltre alla conoscenza della legge dovevano soddisfare precisi requisiti, dal padroneggiare lingue straniere all'avere almeno un figlio - mirati ad una conoscenza esperienziale e non per sentito dire della complessita' umana e della complessita' del reale) i giudici, dopo aver discusso, ascoltato i testimoni eccetera, parlavano - dal piu' giovane via via e quelli di maggior prestigio per ultimi, per ridurre la possibilita' di influenzarsi a vicenda - si giungeva al voto. Un imputato per il quale tutti e 71 i giudici avessero chiesto all'unanimita' la condanna a morte, sarebbe andato assolto. Perche'? Perche' se cosi' fosse, sarebbe palese ed evidente che un tribunale del genere abbia giudicato dalle apparenze e non abbia compreso a fondo il caso. Lascio giudicare ai lettori se le procedure legali che tu metti in ridicolo siano cosi' irrazionali e stupide come lasci intendere, specie se messe a confronto con la credibilita' della risposta religiosa "era una divinita' e quindi e' risorto dopo essere stato ucciso!" Ma torniamo ai numeri....

Te lo chiarifico.
È sbagliata la dizione classica «a^n si ottiene moltiplicando a per se stessa n volte».
Ci si accorge facilmente dell'errore se ad n si sostituiscono i numeri 1 o 2, infatti moltiplicando 1 volta a per se stesso si ottiene a·a=a², e non a¹.
Allora come mai si tende a dire così?
Beh, la mia interpretazione è semplice: il concetto è come se si “partisse da 1, e poi si moltiplicasse, cioè:
È corretta la dizione “non classica” «a^n si ottiene moltiplicando 1 per a n volte».
Da questa definizione (che spero converrai sia intuitivissima) segue che
a²=1·a·a (l'ho moltiplicato 2 volte), a¹=1·a (l'ho moltiplicato 1 volta), a°=1 (l'ho moltiplicato 0 volte, cioè non l'ho moltiplicato).

In tutta sincerita' l'unica cosa che mi hai chiarito e' che c'e' un po' di confusione, sono certa che si tratti di una svista, perche' naturalmente quanto scrivi e' totalmente sbagliato, "moltiplicare una volta" non significa moltiplicare "a*a" che e' una dizione che deriva dal fatto che si sta facendo confusione tra definizioni diverse, "moltiplicare una volta" e' una operazione unaria (che quindi ha una slot sola) gli operandi sono solo uno che in questo caso e' a, l'operatore moltiplica gli operandi e siccome ce n'e' uno solo non fa proprio nulla (possiamo definire la potenza nei reali positivi e toccarlo con mano se uno proprio non ci crede) e l'output e' uno solo (come ogni funzione che si rispetti) ed e' a. Quanto all'1 il nostro utile elemento neutro, non c'entra proprio nulla, anzi, per definizione di elemento neutro, se lo infili nella costruzione di un operatore, lo puoi cancellare ("rasoio di occam") e non se ne accorge nessuno.

Questo, contrariamente a tutto quello che tu dici essere «una struttura mostruosa», mi pare che sia intuitivo per i ragazzi, perché “si vede bene” come funziona, almeno finché si rimane con prodotti di almeno 1 fattore.
Sì: anche a¹ non da problemi, mentre, “a sentir voi” dovrebbe darne diversi.

I problemi i tuoi ragazzi se li ritroveranno qualcuno al liceo scientifico (se lo frequentano) e gli altri all'universita' (se si iscrivono ad una facolta' scientifica) perche' il giorno che compiono una operazione interna tra gli elementi di due spazi diversi, gli viene scritto sul compito un voto molto basso, magari con un commento del tipo "e' privo del concetto di operazione", e non riescono neanche a capire il perche'. Non puoi sommare un numero in base5 e uno in base7 in maniera naturale, devi a tua scelta, o passare a N di cui quelle due sono rappresentazioni, o lavorare in un prodotto cartesiano (con due basi e' maneggevole) se vuoi costruire un algoritmo che per esempio macini in input le cifre di quei due, e ti calcoli una (o entrambe) le rappresentazioni della somma.

Il problema nasce con il prodotto di 0 fattori, ma (SECONDO ME, nota bene), il problema nasce perché lo fate nascere “voi”.
Voi che dite che se a è diverso da 0 a°=1, altrimenti non ha significato , ecc. ecc.
Ma che diavolo di differenza intuitiva vuoi che ci fra il prodotto di 0 fattori uguali a 3 e il prodotto di 0 fattori uguali a 0?

beh scusa la differenza intuitiva nasce quando "a^0=1" non e' uno slogan ma lo si calcola e si controlla anche passaggio per passaggio se esistono valori di a per cui l'espressione perde significato. D'altra parte se ci fosse una differenza intuitiva basterebbe il buon senso per orientarci tra quei calcoli (come milioni di bottegai analfabeti hanno sempre fatto e in misura minore continuano a fare) senza bisogno di studiare la matematica, dalla quale, se permetti, pretendo che insegni ai ragazzi un po' di discernimento, e non quello che gia' sapevano e che neanche gli viene dimostrato ma solamente enunciato (sperando che lo scrivano giusto).

Chiaro che poi i ragazzi sono disorientati.
La “scienza popolare” nasce quando una verità e data per “pacifica”, cioè di da per scontato che sia vera. Può sembrare impossibile parlare della relatività alle medie o alle elementari, e lo è se vogliamo che i banbini capiscano “tutto”, mase passiamo i concetti “pratici” con semplicità non ci sono problemi.

La mia impressione e' che il disorientamento nasca quando ai ragazzi vengono insegnate delle cose errate - da parte di una persona che ha potere su di loro, per cui, non e' neanche facilissimo alzare la mano e dire "Professore quello che Lei scrive sulla lavagna e' non soltanto errato ma e' privo di senso".

Tanto più nel caso di “prodotto di n fattori”, che è semplice e intuibile anche a livello formale.

Te lo chiarifico.
È sbagliata la dizione classica «a^n si ottiene moltiplicando a per se stessa n volte».
Ci si accorge facilmente dell'errore se ad n si sostituiscono i numeri 1 o 2, infatti moltiplicando 1 volta a per se stesso si ottiene a·a=a², e non a¹.
Allora come mai si tende a dire così?
Beh, la mia interpretazione è semplice: il concetto è come se si “partisse da 1, e poi si moltiplicasse, cioè:
È corretta la dizione “non classica” «a^n si ottiene moltiplicando 1 per a n volte».
Da questa definizione (che spero converrai sia intuitivissima) segue che
a²=1·a·a (l'ho moltiplicato 2 volte), a¹=1·a (l'ho moltiplicato 1 volta), a°=1 (l'ho moltiplicato 0 volte, cioè non l'ho moltiplicato).

E purtroppo quanto scrivi qui sopra lo conferma.

Spero di essere stato chiaro.
Ovviamente nessuno può costringerti a cambiare idea.
Però tutti i cavilli e le mostruosità di cui hai parlato sono “roba tua”, io non ne vedo la minima necessità di introdurli (e non mi convincono nemmeno tanto ...).

Purtroppo un uso della matematica "un po' a orecchio" senza ne' formalizzazione precisa ne' la sanissima curiosita' e onesta' intellettuale dei bambini "che cosa stiamo sommando? in quale spazio? che senso ha?" fanno si' che l'esistenza stessa del problema passa inosservato. Purtroppo questa e' quasi la norma nella scuola e purtroppo e' alla radice della sistematica eradicazione, appunto, della curiosita' e onesta' intellettuale che negli esseri umani e' innata.

Io dico che sono concetti distinti “il numero” (per esempio il numero 5), e il modo di rappresentare quel numero (per esempio “5”, “cinque”, “five”, “V”, “101”, “3+2”, “il naturale prima di 6”, ecc.).
E io finora avrei parlato “dei numeri”.
Se ho fatto eccezione era per evidenziare che cambiando le basi si cambiava il modi di rappresentarli, da cui poteva variare l'essere o meno palindromi.

Certamente un numero non e' la sua rappresentazione ma non ha alcun senso parlare di proprieta' di palindromia al di fuori di una rappresentazione in base n. Nell'insieme dei numeri naturali in senso stretto, chiedersi se esistono numeri palindromi ha lo stesso senso di chiedersi se esistono numeri rossi.

P.S.:
Dicendolo non vorrei fare ancora peggio, ma
spesso mi sembra di generare/fomentare polemiche, e non mi capita solo qui.
Io credo di essere in buona fede quando dico che propongo idee che mi paiono più che valide e ne critico altre che mi pare siano deboli o addirittura sbagliate,
che lo faccio in modo spesso impulsivo, ma che “generalmente” nutro altissima considerazione delle persone che le sostengono.
Però se facendo così si generano delle “tensioni” (polemiche, o simili) allora vuol dire che probabilmente non mi esprimo bene, o addirittura che il mio modo di pensare è “cattivo”.

Se mi sono espresso in malo modo con qualcuno chiedo scusa.
Sappiate comunque che probabilmente si è trattato più di forma che di sostanza.

qui non saprei proprio cosa risponderti, se non esprimere il mio personalissimo ma caloroso sentimento che a me le polemiche piacciono e di continuare ad attizzarne. La mia impressione e' che anche gli altri si stiano divertendo un sacco.

Forse anch'io non sono stato sufficientemente chiaro, cercherò di rimediare:
Per me i numeri primi sono i naturali che hanno esattamente due divisori.
Però è una definizione che "non mi piace", né come estetica, né come sostanza.
Tralascio il commento sull'estetica, ma non i piace la sostanza perché "a intuito" (col cuore, con l'istinto, ecc.) 1 ha uno status particolare, ed ha qualcosa dei numeri primi. Certo, è un'unità (elemento invertibile), ma non sto parlando di questo: a intuito la definizione non esprime "quello che sento" (cosa che invece fa quella di "prodotto di n fattori, con n naturale).
Quindi resto in attesa che da qualche parte (plausibilmente dal mio ben amato e molto stimato subconscio) sorga una definizione o una interpretazione della situazione che mi "aggradi".

a me questo approccio invece piace un sacco, soprattutto se li chiami "numeri di Gaspero" non tanto per noi che siamo vecchi matematici scassati, ma per gli studenti che magari si sentono un po' a disagio a orientarsi tra (numeri primi)_(def.1) (numeri primi)_(def.2) eccetera. A me piacerebbe che andassi alla lavagna la prossima volta che hai lezione, e che scrivessi quanto segue

Numeri primi: Un numero naturale p>1 e' primo se ha esattamente due divisori.
Numeri di Gaspero: un numero naturale e' gasperiano se vale 1 oppure se e' primo.

Dopodiche' ti rivolgi ai ragazzi e apri il dibattito. Per primo parlera' uno/a spiritosone/a che dira' che l'unica differenza e' che in un insieme c'e' 1 e nell'altro no. Ma poi piano piano la discussione prende quota, probabilmente qualcuno pensera' al crivello di eratostene e fara' notare che questo algoritmo utilizza i numeri di Gaspero, qualcun altro come ho fatto io protestera' che 1=1*1 e questo "non sta bene" come hai scritto tu in un messaggio e io due pagine piu' indietro, e poi pianopiano la discussione si sposta ai vari teoremi che conosciamo, qualcuno di loro richiederebbe la precisazione "numeri gasperiani >1" e qualcun altro funzionerebbe, purtroppo al livello dei tuoi studenti non mi pare che abbiano la possibilita' di utilizzare i numeri primi per costruire strutture nuove o per dimostrare teoremi (e sarebbe molto interessante vedere come una definizione puo' incidere pesantemente sull'efficacia di un ente che vogliamo usare come strumento per costruire nuove strutture o teoremi) in ogni caso e' comunque un'esperienza secondo me bellissima e secondo me che insegna un sacco su come cresce e si costruisce la matematica, e che spazza via ogni dubbio (anche per i ragazzi che non diventeranno matematici di professione, ma che comunque, ricordo, sono quelli che votano per i nostri contratti e per i fondi da destinare alla ricerca ecc ecc) sul fatto che la matematica possa essere una specie di catechismo che qualcuno, forse, ha scritto con intenzioni incomprensibili (o era uno scherzo come le teste del modigliani?) e che adesso tutti debbono studiarla a memoria e farne professione di fede e se uno si pone le domande giuste "che cos'e'? in che spazio vive? dove agisce l'operazione? su che cosa?" viene inesorabilmente bocciato, a meno forse di non farsele in clandestinita' nascondendo un quaderno e una penna sotto ad un giornale di "signorine" in bagno e senza fare parola con nessuno del proprio "vizietto" per la matematica. Almeno fino all'universita'. Scusate lo sfogo. Un caro saluto a tutt* e grazie della discussione.

Daniela

[Pasquale]

Da studente, studioso degli insegnamenti sopra professati, ho capito che in matematica, come in altri campi di studio, bisogna fare sempre delle premesse, dalle quali dipendono poi enunciati, convinzioni, risposte, ecc.

Quindi, sull'argomento in questione ho capito che:

premesso che ogni numero intero positivo può essere espresso come prodotto di fattori, di cui almeno due diversi, se i fattori diversi sono solo due, allora il numero si chiama primo; se sono più di due, allora il numero non è primo.

Da cui si deduce che zero è un numero primo (0x1=0x2=.....), mentre uno non solo non è primo, ma non è neanche un numero (perché non può essere espresso come prodotto di almeno due diversi fattori); da quest'ultima conclusione ci si accorge che zero è un numero primo non più perché 0=0x1 (visto che 1 non esiste), ma perché 0=0x2=0x3=....

Tuttavia, l'uno ci serve ed è sempre esistito (senza l'1 non potrebbero esistere i computer) ed allora bisogna dedurre che la premessa è sbagliata e dunque è sbagliata anche la conclusione, per cui il numero 1 deve essere per forza primo.

In definitiva, o 1 è primo, oppure 1 non esiste, oppure se vogliamo che esista e che non sia primo, dobbiamo dirlo esplicitamente: "si conviene che 1 non sia primo".

Certamente da qualche parte ho sbagliato il ragionamemento, ma a quest'ora, con l'ora legale che deve subentrare, non mi riesce di vedere dove. A voi la palla.

Non avevo ancora letto l'ultima Daniela e devo quindi aggiungere che ringrazio Gaspero, Daniela, Ivana, Quelo e tutti gli altri per questo bellissimo topic: meglio del "grande fratello"; era una vita che non accadeva, direi da quando Gaspero ci aveva abbandonato per i suoi impegni. W Base5, W l'Italia!!

[Daniela]

A me piace la costruzione dei naturali come monoide ma piace anche la costruzione di peano. In principio era lo zero - usiamo un simbolo perche' e' speciale, sara' l'elemento neutro dell'addizione. Definiamo una applicazione s in maniera che sia cosi' speciale che s(0) verra' ad essere il nostro el. neutro del prodotto. Lasciamo che si generi in maniera ricorsiva il meraviglioso insieme (c'e' chi dice che lo ha inventato Dio e noi lo abbiamo "trovato", ma continua a riservarci sorprese!) e buon divertimento.

[Ivana]

Riguardo alla definizione di potenza ennesima di a ricordo (e reputo valida ) la seguente (che cito in modo sintetico):
Potenza $a^n$ è il prodotto di n fattori tutti uguali ad a.
Poiché per fare un prodotto devo avere almeno due fattori, si estende il concetto di potenza affinché valga anche n=0 e n=1...

Credo, comunque, che sia stimolante per gli alunni spronarli alla ricerca di definizioni alternative, da mettere a confronto con quelle dei compagni e quelle “canoniche” ...



P.S. Credo che le polemiche possano essere utili a farci riflettere sulle nostre convinzioni alla luce delle diverse convinzioni altrui, purché la polemica resti sempre nell’ambito della dialettica, come mi sembra sia avvenuto qui finora, prestando attenzione che non sfoci nella cosiddetta “flame”.

A proposito di discussioni accese e considerata la reticolarità del pensiero umano, inserisco, il seguente link: http://www.maecla.it/File_download/LAVO ... /index.htm" onclick="window.open(this.href);return false;
Si tratta di un lavoro di gruppo, a cui hanno partecipato anche ottimi matematici, nato in FOR (ambiente di formazione continua per tutti i docenti italiani), per approfondire il problema della COmunicazione e degli Ostacoli alla COmunicazione.
( Dal punto di vista squisitamente matematico è molto interessante la pagina web di Giorgio Pietrocola:
http://www.maecla.it/File_download/LAVO ... rocola.htm" onclick="window.open(this.href);return false; )

[Daniela]

premesso che ogni numero intero positivo può essere espresso come prodotto di fattori, di cui almeno due diversi, se i fattori diversi sono solo due, allora il numero si chiama primo; se sono più di due, allora il numero non è primo.

Da cui si deduce che zero è un numero primo (0x1=0x2=.....), mentre uno non solo non è primo, ma non è neanche un numero (perché non può essere espresso come prodotto di almeno due diversi fattori); da quest'ultima conclusione ci si accorge che zero è un numero primo non più perché 0=0x1 (visto che 1 non esiste), ma perché 0=0x2=0x3=....

Tuttavia, l'uno ci serve ed è sempre esistito (senza l'1 non potrebbero esistere i computer) ed allora bisogna dedurre che la premessa è sbagliata e dunque è sbagliata anche la conclusione, per cui il numero 1 deve essere per forza primo.

In definitiva, o 1 è primo, oppure 1 non esiste, oppure se vogliamo che esista e che non sia primo, dobbiamo dirlo esplicitamente: "si conviene che 1 non sia primo".

Perche' Pasquale stai imponendo che la fattorizzazione degli interi positivi (anzi dei naturali) debba avere almeno due fattori distinti, se no ti rifiuti di chiamarlo "numero"? e perche' tenti di estendere l'utilissima scomposizione ordinata in fattori primi - che e' unica per gli n>1 - agli elementi neutri?

[Daniela]

Credo che la faccenda della potenza sia semplicemente una svista, che ha portato dal poco chiaro "moltiplicare una sola volta a per se stesso" a scriverlo in maniera ambigua se non fuorviante "moltiplicare a per a una sola volta" che a quel punto e' stato interpretato in maniera errata.
Ivana sei una miniera di risorse, COme faremmo senza di te, grazie anCOra per tutte le preziose segnalazioni - e per le animazioni che io sono sicura tanti lettori non scrivono per COmplimentarsi perche' non sanno bene COsa scrivere ma non ho dubbi che tutti se le godono magari COl caffe' della mattina....

[infinito]

a me risulta che le definizioni piu' generali vadano nella direzione opposta a quella di definire "numero primo" l'elemento neutro del prodotto, ma forse sono limitata io. Penso pero' che io (e mi sembra anche altri) non abbiamo inteso nessuna delle motivazioni valide che tu dici di avere per definire "primo" un numero pieno di divisori ...

Daniela ....
dici che io ho «delle motivazioni valide ... per definire "primo"» il numero 1, mentre è dall'inizio che dico di non averne e che per questo lo definisco non primo, anche se mi trovo in quasi totale sintonia con Quelo per quanto riguarda il "sentire".
Questo intendevo con il mio primo post:

"Papale papale": secondo me, ragionando, non trovo motivazioni valide perché si consideri plausibile l'appartenenza di 1 ai numeri primi (anche se "è il primo" ...).
... però rimango lo stesso con l'idea che possa farne parte "in qualche maniera" (la Matematica non credo sia solo "ragione" ... - chiedo scusa se dicendo questo "offendo qualcuno").

e poi, nel mio post precedente, esprimo con chiarezza (credo, visto anche il grassetto) che

Per me i numeri primi sono i naturali che hanno esattamente due divisori,
anche se poi ribadisco che non è una definizione che per me è "definitiva", visto che non mi aggrada.
Ora spero di essere stato chiaro (o almeno "più chiaro").

... un numero pieno di divisori (e' uno dei pochissimi (due) naturali ad averne infiniti... insieme al suo collega zero. Si' okkei sono tutti uni, ma ci sono e non puoi far finta di niente).

Qui potevo tralasciare ...
Non è l'unico numero ad avere infiniti divisori: se li ha lui allora li hanno anche tutti gli altri.
Casomai se 1 è un numero primo (cosa che io non ho detto) allora tutti i numeri hanno infiniti divisori primi.


... Lascio giudicare ai lettori se le procedure legali che tu metti in ridicolo siano cosi' irrazionali e stupide come lasci intendere, ... (Prendo questa frase per indicare tutto il pezzo ...) Non vorrei andare troppo OT, però:
- Tutto quel pezzo era solo un esempio per chiarire il concetto precedente, senza alcuna pretesa che tu considerassi vero o falso il fatto di Gesù (o se pure pensassi che il tutto è solo una favola).
- io parlo del processo del sinedrio, dando per buono quello che dicono i Vangeli, non di quello di Pilato, che è stato successivo.
- Nel processo il fatto che avesse violato il sabato doveva essere provato, tant'è che quando lo ha fatto PUBBLICAMENTE nessuno lo ha, non dico arrestato, ma nemmeno è riuscito a rispondere alle sue motivazioni (almeno stando ai Vangeli).
- «procedure legali che tu metti in ridicolo» ??? Io ho detto che a QUEL PROCESSO c'erano dei falsi testimoni, e che QUEL PROCESSO non è stato come la legge ebraica prescriveva.
Inoltre la "Legge" ebraica "teoricamente" era quello che oggi noi chiamiamo "Pentateuco", cioè la prima parte della Bibbia (che io considero un libro sacro).
- «Mi sembra che ANCHE in questo caso parli di argomenti che NON CONOSCI» mi sembra un'affermazione "grave", attutita appena da quell' "anche".

I problemi i tuoi ragazzi se li ritroveranno qualcuno al liceo scientifico ...

Davvero, mi sembra di non volerci intendere ...
Se mi consideri "zero" e sei sicura che quello che dico io non possa essere vero, allora non puoi avere un dialogo con me, ma puoi solo sperare che io capisca quello che dici tu.
Ciononostante, con un significativo "sforzo" provo a risponderti.

Allora TU (DANIELA) hai scritto «Tu proponi di introdurre una struttura mostruosa che e' una relazione n-aria dove n ...», ma io non ho proposto assolutamente niente di tutto questo, io ho solo proposto di considerare che dicendo "il prodotto di n fattori" si possa intendere che n è naturale (quindi anche 1 o 0). Altro non mi sembra di aver proposto.
Quindi quando IO (GASPERO) ho scritto «Questo, contrariamente a tutto quello che tu dici essere «una struttura mostruosa», mi pare che sia intuitivo per i ragazzi, perché “si vede bene” come funziona, almeno finché si rimane con prodotti di almeno 1 fattore» intendevo dire che non ho alcun bisogno di introdurre scritture mostruose, perché mi limito a estendere anche ad 1 e a 0 quello che già "voi" (ovviamente anche io) avete fatto quando avete definito il prodotto di n fattori, con n maggiore di 2. Ma io intendo, per esempio, questo: se a è un numero reale, n è naturale e se f(a) è "il prodotto di n fattori uguali ad a", allora f è una funzione da RxN in R (può "essere intesa" anche come da R in R), oppure se n è naturale e g(n) è "il prodotto dei primi n numeri naturali positivi", allora g(n) è una funzione da N in N. In tutto questo non vedo mostruosità.


la differenza intuitiva nasce quando "a^0=1" non e' uno slogan ... Davvero, non è per polemica: non ho capito che cosa stai dicendo. Ho sempre «calcolato e controllato anche passaggio per passaggio se esistono valori di a per cui l'espressione perde significato» applicando le "mie definizioni", e non ho mai trovato nessuna espressione priva di significato; e neppure coloro (con cui ho parlato "faccia a faccia) che hanno cercato di dimostrarmi che ce ne erano. E "secondo me" sono estremamente attento alle definizioni, alle contraddizioni "di fino", agli effetti che si hanno portando alle estreme conseguenze piccole variazioni negli enunciati.

... la matematica, dalla quale, se permetti, pretendo che insegni ai ragazzi un po' di discernimento

Ovviamente ("ovviamente" almeno secondo me ...) è una delle finalità della matematica ... per altri commenti vedi sopra.

La mia impressione e' che il disorientamento nasca quando ai ragazzi vengono insegnate delle cose errate - da parte di una persona che ha potere su di loro, per cui, non e' neanche facilissimo alzare la mano e dire "Professore quello che Lei scrive sulla lavagna e' non soltanto errato ma e' privo di senso".

Al di là che credo sia inevitabile credere a cose che non sono vere, e secondo me la tua CERTEZZA che io stia dicendo totali assurdità dovrebbe aiutarti a capirlo (dopo di che le conseguenze di tale comprensione potrebbero anche essere illuminanti), non so se hai pensato che quello che io insegno è abbastanza "pubblico", che non nascondo affatto certe mie idee (come credo che sia evidente anche qui, su Base Cinque), che fra i genitori dei miei alunni ci sono anche insegnanti di matematica o altri altrettanto qualificati, e che da noi si è deciso che fra il biennio e il triennio si cambi l'insegnate di matematica (quindi che non si incorra nell'errore di confondere la matematica con quello che si è fato con un insegnante) quindi ragazzi di quinta che io ho avuto al biennio potrebbero dirmi che ho detto delle cose che non tornano. Inoltre mi risulta che, nonostante diversi problemi che ho con alcuni ragazzi, TUTTI mi hanno sempre detto che hanno poca o nessuna difficoltà a criticarmi. E nonostante tutto questo gli unici che i hanno presentato qualche perplessità sono stai pochi ragazzi di prima, prima che introducessi le definizioni di cui ho parlato qui (generalmente tutti figli di insegnanti di mate), li ho anche invitati a portare le osservazioni che venivano fatte loro da chicchessia, ma ti garantisco che nessuno, mai, (ne alunni, né colleghi, né genitori) ha mai trovato una contraddizione nelle mie argomentazioni, o almeno non me l'ha mai trovata. Ti posso però anche dire che la stragrande maggioranza di coloro che si sono cimentati con le mie argomentazioni generalmente, appena visto che "non c'erano argomentazioni valide" si sono disinteressati del problema, e non hanno approfondito (almeno questo è il mo giudizio); alcuni hanno detto che avrebbero poi fatto caso, nell'uso comune, se le mie definizioni portassero o meno contraddizioni, e poi avrebbero eventualmente rivisto le definizioni. Risultato: nessuno mi ha mia riferito né di alcuna contraddizione, né di alcuna revisione. Fai tu.

Purtroppo un uso della matematica "un po' a orecchio" senza ne' formalizzazione precisa ne' la sanissima curiosita' e onesta' intellettuale dei bambini "che cosa stiamo sommando? in quale spazio? che senso ha?" fanno si' che l'esistenza stessa del problema passa inosservato. Purtroppo questa e' quasi la norma nella scuola e purtroppo e' alla radice della sistematica eradicazione, appunto, della curiosita' e onesta' intellettuale che negli esseri umani e' innata.

Daniela ... ma che stai dicendo: che sono un totale ignorante di matematica, che non sono curioso, non critico, non formale, ecc.??? Se posso permettermi (e io direi sicuramente che sicuramente posso): «Fa' più attenzione a quello che scrivi ...».

Certamente un numero non e' la sua rappresentazione ma non ha alcun senso parlare di proprieta' di palindromia al di fuori di una rappresentazione in base n. Nell'insieme dei numeri naturali in senso stretto, chiedersi se esistono numeri palindromi ha lo stesso senso di chiedersi se esistono numeri rossi.

Questa è appunto una delle cose che avevo detto all'inizio dell'argomento («... quindi non è una proprietà dei numeri, ma dei numeri nel "nostro" sistema di numerazione»). Te lo avevo detto per spiegarti meglio ciò che, dato per scontato, mi era sembrato avesse contribuito alle "nostre" incomprensioni. Diciamo che "se concordi non importa scriverlo" ...

... La mia impressione e' che anche gli altri si stiano divertendo un sacco.

Io non i diverto affatto con le polemiche.
Il fatto che altri si divertano (a mio parere) non è minimamente sufficiente a continuare con un comportamento diffusissimo che reputo estremamente diseducativo, grave e, in una parola, "brutto".

Numeri primi: Un numero naturale p>1 e' primo se ha esattamente due divisori.
Numeri di Gaspero: un numero naturale e' gasperiano se vale 1 oppure se e' primo.

Al di là dei nomi e dell'argomento, qualcosa di simile lo faccio spesso. Per esempio quando si dee dare una definizione la faccio spesso decidere a loro (qualche volta "pilotata da lontano", altra "per davvero"), per esempio se con "rette parallele" si intendano o no anche "rette coincidenti", se dicendo A include B si consideri che A possa o meno coincidere con B, se con "R+" si intenda 0 incluso o escluso", ecc. A volte si è anche detto «ora è presto per decidere, prendiamo per buona questa definizione, ma ci riserviamo di rivederla in seguito». Peri numeri primi non si è fatto, ma non credo che per loro sia così interessante. No, credo che semplicemente si continui a definire che "1 non è un numero primo".

Scusate lo sfogo. Un caro saluto a tutt* e grazie della discussione.

Beh, dopo una discussione ("secondo me") censurabile hai finito ("secondo me") bene.

Ora non ti resta che rivedere PER DAVVERO le definizioni che ti ho suggerito...

Poiché per fare un prodotto devo avere almeno due fattori, si estende il concetto di potenza affinché valga anche n=0 e n=1...

Ivana, lo dissi già a suo tempo (e qui lo ribadisco per chi a quel tempo non c'era ... o per chi ci ha ripensato su), inizialmente il prodotto non "devo avere almeno due fattori", ma "devo avere due fattori". POI eventualmente lo estendo ad altri numeri di fattori, sia maggiori, sia minori di 2. Tu dai per scontata una cosa parziale.

Credo che la faccenda della potenza sia semplicemente una svista, che ha portato dal poco chiaro "moltiplicare una sola volta a per se stesso" a scriverlo in maniera ambigua se non fuorviante "moltiplicare a per a una sola volta" che a quel punto e' stato interpretato in maniera errata.

Ma perché non dici quello che è? Se si parla di "a", "moltiplicare una sola volta a per se stesso" non è "poco chiaro", ma è chiarissimo: significa "a·a", questo se si considera (e come si potrebbe non considerare) che il prodotto si ha "inizialmente per due fattori.
È ancor più evidente è che è falso che "moltiplicare a per a una sola volta"» è ambiguo e fuorviante. è invece chiarissimo che "moltiplicando a per a una sola volta" si ottiene a².
Sul perché poi se lo faccio ottengo un "2" all'esponente invece di "1", ci si può interrogare. Io credo di aver trovato una risposta semplice, intuitiva, elegante e generalizzabile, in una parola "bella", per cui credo che si possa considerare degna di essere valutata seriamente come candidata ad essere l'idea alla base della definizione.

[Ivana]

...Ivana sei una miniera di risorse, COme faremmo senza di te, grazie anCOra per tutte le preziose segnalazioni - e per le animazioni che io sono sicura tanti lettori non scrivono per COmplimentarsi perche' non sanno bene COsa scrivere ma non ho dubbi che tutti se le godono magari COl caffe' della mattina....

Saluti "tangramici"

[Ivana]

Ivana, lo dissi già a suo tempo (e qui lo ribadisco per chi a quel tempo non c'era ... o per chi ci ha ripensato su), inizialmente il prodotto non "devo avere almeno due fattori", ma "devo avere due fattori". POI eventualmente lo estendo ad altri numeri di fattori, sia maggiori, sia minori di 2. Tu dai per scontata una cosa parziale.

Cerco di esprimere quello che è il mio concetto di prodotto restando nell’ambito dei numeri naturali:
il prodotto è il risultato della moltiplicazione tra due o più fattori.
Io avevo scritto che per fare un prodotto devo avere almeno due fattori, perché
il prodotto di tre o più numeri naturali, dati in un determinato ordine, è il numero che si ottiene moltiplicando il primo numero per il secondo numero e il prodotto ottenuto per il terzo numero ecc.
Anche qui:
http://www.scuolaelettrica.it/media/cla ... ica5.shtml" onclick="window.open(this.href);return false;
si legge:
“nel fare la operazione matematica, detta moltiplicazione servono almeno due numeri”
E qua:
http://www.itchiavari.org/elevpot.html" onclick="window.open(this.href);return false;
si legge:
"siccome un prodotto deve avere almeno 2 fattori, l’esponente della potenza deve essere un numero naturale non minore di 2."
Se prediligiamo la "rigorosità", allora rivolgiamoci a Peano che ha scritto i sei assiomi di N e ha definito le operazioni dell’aritmetica dei numeri naturali.
La moltiplicazione viene definita per mezzo di due posizioni:
$a*0=0$

$a*(b)^+=(a*b)+a$

Specifico che $(b)^+$ significa "il numero naturale successivo di $b$"
Se non erro, una volta provata la validità della legge associativa, cioè che $a*(b*c)=(a*b)*c$ Peano definisce il prodotto fra più fattori: $a*b*c$
Bisognerebbe, però, consultare il Formulario Mathematico di Peano…
Intanto in base5 c’è questa pagina:
http://utenti.quipo.it/base5/scuola/molteor.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

Cari saluti
Ivana

[Pasquale]

Ah, ma il mio era un esercizio di studente sulle premesse, per vedere a quali conclusioni possono condurre, senza escludere ragionamenti esatti o sbagliati su premesse esatte o sbagliate (quindi 4 possibilità).
Nella circostanza ho svolto il ruolo dello studente che non ha capito niente sulle premesse, ma non so se i ragionamenti erano esatti su quelle premesse.

[infinito]

Apro un altro topic sul prodotto ...
mi pare che non abbia molto senso continuare con un OT galoppante così grosso ...
continua in Prodotto di n fattori, con n naturale.

[Daniela]

Ciao Gaspero, leggo solo adesso quanto mi hai scritto. Ritengo ancora che quanto scrivi sia errato. Ritengo che la tua definizione di "numero primo" sia inadatta all'uso e poco pratica, e se provi a dimostrare qualche teorema, osserverai che dovrai dividere tutto in due sottocasi: "i numeri gasperoprimi diversi da 1" e "il numero 1"
Quanto a gesu', continua pure ad adorarlo se credi - non intendo certo dettar legge a chicchessia su cosa e' opportuno o non opportuno che pensi e faccia - ma ti pregherei di non avere la pretesa di venirmi a insegnare (a me che non sono religiosa, ma che rigetto lui e la vostra religione senza ambiguita'; ma anche a gente infinitamente meno ignorante di me) che cosa ha da dire la Tora' su di lui. Che fra parentesi ho scoperto con divertito stupore che e' una tradizione condivisa da parecchie visioni del mondo e religioni non cristiane....

Grazie Ivana!